资源简介

5.2 勾股定理及其逆定理
课时3 勾股定理的逆定理
第5章 直角三角形
1.?能利用勾股定理逆定理的数学模型解决现实世界的实际问题.
2. 运用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形.
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
具体做法：把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第4个结和第8个结钉牢（拉直绳子）.这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角.
动手验证
画图验证
发现结论
2.52+62=6.52
42+7.52=8.52
最长边6.5所对的角是直角
最长边8.5所对的角是直角
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
猜 想:
古埃及人和我国古代大禹治水时也就是用这种类似方法确定直角.
A　
B　
C　
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
验证:
分析：我们知道可以利用一个角是直角或两个角互余来判断一个三角形是直角三角形. 于是，要证明一个三角形为直角三角形，只需证明其有 一个角为直角. 联想到证明角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC中有一个角为直角， 则可判断△ABC是直角三角形. 下面我们按此思路来探索.
如图，作Rt△A'B'C'，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.
在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理得， A′B′2=a2+b2.
因为a2+b2=c2，
所以A′B′2=c2，即A′B′=c.
在△ABC和△A′B′C′中，????????=????’????’=????????????=????’????’=????????????=????’????’=????
所以△ABC≌△A′B′C′（边边边）.
因此∠C=∠C′=90°.
所以△ABC是直角三角形.
?
A
C
a
B
b
c
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a 、b 、c满 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
特别说明：
A　
B　
C　
a
b
c
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
例4 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a=6，b=8，c=10；
（2）a=12，b=15，c=20.
解（1）因为62+82=100，102=100，所以62+82=102.
因此，这个三角形是直角三角形.
（2）因为122+152=369，202=400， 所以122+152≠202.
因此，这个三角形不是直角三角形.
例4 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a=6，b=8，c=10；
（2）a=12，b=15，c=20.
勾股数：
像15，8，17这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.
常见勾股数：
奇数类：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等
偶数类：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；等等
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
例5 如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8， AC=17，求DC的长.
解：在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，
因为62+82=102，即BD2+AD2=AB2，
所以△ADB为直角三角形，且∠ADB=90°.
所以∠ADC=180°-∠ADB=90°.
在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2，
所以DC=172?82=15.
?
勾股定理
的逆定理
内容
作用
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数
勾股数一定是正整数
1. 已知 a，b，c 是 △ABC 三边的长，且满足关系式 ，则 △ABC 的形状是________________．
等腰直角三角形
2. 一个三角形的三边长分别为 15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm.
12
解：∵AB? + BC? = (n? - 1)? + (2n)?
= n4 - 2n? + 1 + 4n?
= n4 + 2n? + 1
= (n? + 1)?
= AC?，
∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
3. 已知 △ABC 中，AB = n? - 1，BC = 2n，AC = n? + 1(n 为大于 1 的正整数). 试问 △ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
（1）证明：∵CD = 1，BC＝5，BD = 2，
∴ CD2 + BD2 = BC2，∴ △BDC 是直角三角形.
（2）解：设腰长 AB = AC = x，则 AD = x - 1.
在 Rt△ADB 中，∵AB2 = AD2 + BD2，∴ x2 = (x - 1)2 + 22，
解得
?
4.如图，△ABC 中，AB = AC，D 是 AC 边上的一点，CD = 1，BC =5，BD = 2．
（1）求证：△BCD 是直角三角形；
（2）求 △ABC 的面积．

展开更多......

收起↑