资源简介

5.2 勾股定理及其逆定理
课时2 勾股定理的实际应用
第5章 直角三角形
1.?能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.
2.运用勾股定理画出无理数的具体长度.
问题1：在数轴上分别画出表示3，﹣2.5的点.
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
问题2：求下列直角三角形的各边长.
1
2
1
2
3
3
﹣2.5
1
议一议 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数2和3的点？
?
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
A1
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
1
1
如图，由勾股定理可知，当两条直角边都为1时，该直角三角形的斜边OA1?长为2以原点O为圆心，OA1 为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示2的点；
?
议一议 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数2和3的点？
?
A1
A2
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
1
1
当两条直角边分别为2，1时，该直角三角形的斜边OA2 长为3 ，以原点O为圆心，OA2 为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示3的点.
?
议一议 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数2和3的点？
?
请你用同样的方法作表示实数5的点
?
问题：木板可以横着过吗？可以竖着过吗？
分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框通过，只能试试斜着能否通过. 求出AC，再与木板的宽度比较，就能知道木板能否通过.
利用勾股定理，还可以帮助我们解决一些实际问题.
探究：一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
探究：一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.
????????2=????????2+????????2=12+22=5
?
????????=5≈2.24米.
?
如图是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图. 假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m. 他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙 脚移近了0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移 0.5 m？
（已知13.75≈3.71，15≈3.87）
?
思考
抽象成
数学问题
解决
实际问题
实际问题：
梯子顶端往上移动的距离.
A'
C'
C
A
B
墙面
地面
梯子
几何问题：求_________的长.
AB，A'B
解：在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，
由勾股定理得，AB=42?1.52= 13.75≈3.71，
在Rt△A′BC′中，A′C′=4m，BC′=1m，
由勾股定理得，A′B= 42?12 = 15≈3.87（m），
因此A′A=A′B-AB≈3.87-3.71=0.16（m）.
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.
?
A'
C'
C
A
B
例3 （古代数学问题）“今有池方一丈， 葭生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适 与岸齐. 问水深、葭长各几何？”意思是： 有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分 为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向 拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？
分析：根据题意，先画出水池截面示意图，如图所示. 设 AB 为芦苇，BC 为芦苇出水部分，长 1 尺，将芦苇拉向岸边，其顶部 B 点恰好碰到岸边 B'.
有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分 为1尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向 拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面. 问水深与芦苇长各为多少？
解：如图，设水池深x尺， 则AC=x尺，
AB=AB′=(x+1)尺.
因为正方形池塘的边长为10尺， 所以B′C=5尺.
在Rt△ACB′中，根据勾股定理得，x2+52=（x+1）2，
解得 x=12.
故芦苇长为13尺.
答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
C
A
B
如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草.
(1) 求这条“近路”的长；(2) 他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？
别踩我,我怕疼!
(2) 他们仅仅少走了(3 + 4 - 5)×2 = 4 (步).
解：(1) 在 Rt△ ABC 中，根据勾股定理得

∴这条“近路”的长为 5 米.
1. 如何在数轴上表示无理数？2. 利用勾股定理解决实际问题的步骤是什么？
通过本节课学习，回答下列问题：
1. 从电线杆上离地面 5 m 的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是(　　)
A. 24 m B. 12 m
C. m D. m
D
2. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是(　　)
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
D
3.如图是一个边长为 1 的正方体硬纸盒，现在 A 处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面爬到 B 处吃食物，求蚂蚁爬行的最短路程是多少？
A
B
2
1
A
B
C
解：由题意得 AC = 2，BC = 1.在 Rt△ABC 中，由勾股定理得AB2 = AC2 + BC2 = 22+ 12 = 5.∴ AB = ，
即最短路程为 .

展开更多......

收起↑