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5.2 勾股定理及其逆定理
课时1 勾股定理
第5章 直角三角形
1. 了解勾股定理的文化背景，体会勾股定理的探索过程.
2. 了解利用拼图法验证勾股定理的方法.
3. 能利用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等，我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么它们一定会识别这种语言的，这个事实可以说明勾股定理的重大意义.
我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”
【观察】如图，在方格纸上（设小方格的边长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？
可以发现，两直角边分别为3，4的直角三角形，其斜边为5.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.
按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五.
你知道为什么吗？
勾
股
由于正方形的面积等于其边长的平方，于是可以借助正方形探究这一结论.
【探究】画一个边长为a+b的正方形，将其分割成四个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为 c，如图所示. 由此，你能探索出a2+ b2 =c2这一结论吗？
由于四边形ABCD的面积S等于大正方形EFGH的面积减去4 个小直角三角形的面积.
因而S=(a+b)2-ab×4
=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2
在△ABE与△BCF中，
所以△ABE△BCF（边角边），
因此∠1=∠3. 又∠1+∠2=90°， 所以∠3+∠2=90°，
因此∠CBA=180°-(∠3+∠2)=90°.
同理可证∠DCB=∠ADC=∠BAD=90°.
又BC=CD=DA=AB=c，
因此四边形ABCD是正方形， 所以S=c2.
综上可知，S=a2+b2=c2.
AE = BF，
∠AEB = ∠BFC，
BE = CF，
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
这一结论称为勾股定理.
这个的动图形象的说明了勾股定理的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
┌
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
证法一：赵爽弦图
b
b
a
a
c
边长分别为a，b的两个正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形.
四个直角三角形和一个小正方形拼接成边长为c的大正方形.
c
b
a
a
b
b
c
a
b
a
跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明勾股定理.
b
b
a
a
c
c
a
b
左边图形的面积= a2+b2
∵右边图形由左边图形拼接而成，
∴得到a2+b2=c2 .
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.并且，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
右边图形的面积=c2
证法二：加菲尔德总统拼图
b
b
a
a
c
c
┐
┌
┌
（1）
（2
+
∴ a2+b2=c2.
证法三：毕达哥拉斯拼图
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
分别计算左右两个正方形的面积，你能得出什么结论？
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
4
4
几何
代数
勾股定理
变式：
a2＝c2－ b2，b2＝c2－ a2
勾股定理反应了直角三角形三边的关系，成为沟通几何和代数的桥梁.
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
┌
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
勾股定理
例1 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.
（1）若a=1，b=2，求c.
（2）若a=15，c=17，求b.
解：（1）根据勾股定理得，c2=a2+b2=12+22=5.
因为c>0，所以c=
（2）根据勾股定理得，b2=c2-a2=172-152=64.
因为b>0，所以b=8.
例2 如图，已知在等腰三角形ABC中，AB= AC=13，BC=10，AD是底边BC上的高线，求AD的长
解：根据等腰三角形的性质定理得，AD也是底边BC上 的中线，因此BD=BC=5.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，
因此AD= =12
故AD的长为12.
求下列图中未知边长 x，y 的值：
解：由勾股定理可得
81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
解：由勾股定理可得
y2 + 144 = 169，
解得 y = 5.
几何
代数
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
┌
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
勾股定理
1．下列说法正确的是(　 　)
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
D
2.在△中， ∠B=90 ，，则两直角边的关系是（ ）.
A. a=c B. a>c C. aA
解析：因为∠B=90°,所以b是斜边，a,c是直角边.因为b =2a ,所以2a =a +c ,即a =c .
所以a=c.
3.某直角三角形一直角边长为3，另一直角边和斜边的和为9，求斜边的长为多少？
解：设斜边长为x,则另一直角边长为9- x.
由勾股定理，得3 +(9-x)2=x2
化简得18x = 90解 9-x=4得 x=5
∴斜边长为5.
4.如图，在△中，AB=13，BC=14，AC=15，求边BC上的高AD的长.
解：设BD=x(x>0),则CD=14-x.
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AD =13 -x .
同理，在Rt△ABD中，AD =15 -(14-x) .
∴ 13 -x =15 -(14-x) ,
解得x=5.
∴AD =13 -5 =144，即AD=12.

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