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5.1 直角三角形的性质定理
课时2 含????????°角的直角三角形的性质及其应用
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第5章 直角三角形
1.?掌握直角三角形中30°角所对直角边与斜边的数量关系.
2.?理解直角三角形中直角边是斜边的一半，那这条直角边所对的角等于30°的几何意义.
3. 学会通过直角三角形的特殊性质解决一些简单的实际问题.
小明是一名滑雪爱好者，他和朋友们来到了一个著名的滑雪场. 滑雪场的山坡非常陡峭，坡度为30°. 小明站在山坡的顶端，准备开始他的滑雪之旅. 他从山坡的顶端A点开始滑行，一直滑到山坡的底部B点. 从A点到B点的距离AB = 500米，小明想知道，在他滑行的过程中，他的高度到底下降了多少?
30°
如图，将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，你有什么发现？
等边三角形
直角三角形
这个三角形的边之间有什么关系？
30°
探究：如图，在△????????????中，∠????=90°，∠????=30°，测量∠????所对的直角边????????与斜边????????，你能得到什么结论?再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗?证明你的结论.
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A
B
C
30°
{EB9631B5-78F2-41C9-869B-9F39066F8104}测量
第一次
第二次
第三次
????????
????????
{EB9631B5-78F2-41C9-869B-9F39066F8104}测量
第一次
第二次
第三次
猜想：在Rt△????????????中，如果∠????=30°，那么直角边????????等于斜边????????的一半.
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A
B
C
30°
D
证明：如图，取斜边AB的中点D，连接CD.
根据直角三角形的性质定理得，CD =12 AB = BD，
于是△DBC是等腰三角形.
由于∠ACB = 90°，∠A = 30°，
因此∠B = 60°.
于是△DBC是等边三角形，因此BC = BD =12AB .
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可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试
猜想：在Rt△????????????中，如果∠????=30°，那么直角边????????等于斜边????????的一半.
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证明（法二）：如图，延长????????到????，使????????=????????，连接????????，则????????是????????的垂直平分线，
∴????????=????????.
又∵∠????=90°?∠???????????? =90°?30°=60°，
∴△????????????是等边三角形，
∴????????=????????. 又????????=2????????，
∴????????=12????????.
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A
B
C
30°
D
猜想：在Rt△????????????中，如果∠????=30°，那么直角边????????等于斜边????????的一半.
?
A
B
C
30°
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（简记为：30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
几何语言：
∵ ∠C=90°，∠A=30°
∴ BC＝12AB
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注意：必须满足两个条件
①有一个30°的角；
②直角三角形中.
小明是一名滑雪爱好者，他和朋友们来到了一个著名的滑雪场. 滑雪场的山坡非常陡峭，坡度为30°. 小明站在山坡的顶端，准备开始他的滑雪之旅. 他从山坡的顶端A点开始滑行，一直滑到山坡的底部B点. 从A点到B点的距离AB = 500米，小明想知道，在他滑行的过程中，他的高度到底下降了多少?
30°
解： ∵????????⊥????????，∠????=30°，
∴????????=12????????=12×500=250（米）.
答：小明的高度下降了250米.
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C
例2 ?在 A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距303海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？（已知3≈1.732）
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D
分析 如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A 作AD ⊥ OB，垂足为D.
AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离，若 AD 大于20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
解：如图，取轮船航向所在的直线为OB.过点 A 作AD⊥OB，垂足为 D，连接 AO.
在 Rt△AOD中，AO = 303海里，∠AOD =3 0°，
于是 AD = 12 AO = 12×303=153 ≈25.98 (海里).
因为 AD ≈25.98 > 20，
所以轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
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例2 ?在 A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距303海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？（已知3≈1.732）
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例3 ?如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90°，若BC =12AB，
求证： ∠A = 30°.
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证明（方法一）如图，取斜边AB 的中点D，连接CD.
因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
所以CD =12AB = BD.
因为BC =12AB，所以BC = BD = CD，
即△BDC为等边三角形. 于是∠B = 60°
因为∠A + ∠B = 90°，所以∠A = 30°

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（方法二）如图，延长BC到F，使CF = BC，连接AF
因为∠BCA = 90°，BC = CF,
所以AC垂直平分BF，
于是 AB = AF
（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
又BC = 12AB，BC = CF =12BF， 所以BF = AB，
因此BF = AB = AF，即△ABF是等边三角形
所以∠B = 60°， 因此∠CAB = 90°- ∠B = 30°
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含30°角的直角三角形的判定
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°.
在Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，BC=12AB ，
∴∠A = 30°．　
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应用格式：
如图所示，在四边形 ACBD 中，AD∥BC，AB⊥AC，且 AC ＝12BC，求∠DAC 的度数．
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解：∵AB⊥AC， ∴∠CAB ＝ 90°.
∵AC ＝12BC，∴∠CBA ＝ 30°.
∵AD∥BC，∴∠BAD ＝∠CBA ＝30°．
∴∠DAC ＝∠CAB＋∠BAD ＝ 120°.
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通过本节课学习，回答下列问题：
1. 在有一个锐角等于 30°的直角三角形中，有什么特殊性质？
2. 如何根据边的关系判定直角三角形中含有30°角？
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
判定：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
1.如图，在Rt△????????????中，∠????????????＝90°,∠????＝30°,????????是斜边????????上的高，????????＝3cm，则????????的长度是(　　)
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm
?
D
2.如图是西宁市某公园一段索道的示意图,已知????、????两点间的距离为30米,∠????=30°,则缆车从????点到????点过程中,上升的高度(????????的长)为______米.
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15
3.已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
D
解:过????作????????⊥????????交????????的延长线于点????.
∵∠????=∠????????????=15° (已知),
∴∠????????????= ∠????+∠????????????
= 15°+15°=30°，
∴????????= 12 ????????=12 ×20=10.
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A
C
B
15 °
15 °
20
)
)
4.某轮船由西向东航行，在????处测得小岛????的方位是北偏东75°，继续航行7 n mile后，在????处测得小岛????的方位是北偏东60°.
(1)此时轮船与小岛????的距离????????＝　　n mile；
(2)在小岛????方圆3 n mile内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．
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7　
(2)在小岛????方圆3 n mile内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．
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解：(2)没有．理由如下：
过点????作????????⊥????????于点????.
∵∠????????????＝90°?60°＝30°，∠????????????＝90°，
∴????????＝12????????＝12×7＝3.5(n mile).
∵3.5＞3，
∴该轮船继续向东航行，没有触礁的危险．
?
D

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