资源简介

(共21张PPT)
5.1 直角三角形的性质定理
课时1 直角三角形的性质和判定
第5章 直角三角形
1.掌握“直角三角形两锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形.
2.探索、理解并掌握直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系.
如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度
30°+ 60°= 90°
45°+ 45°= 90°
如图，在直角 △ABC 中， ∠C = 90°，两锐角的和等于多少呢？
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
在Rt△ABC 中，由三角形内角和定理，得∠A +∠B +∠C = 180°，因为 ∠C = 90°，故∠A + ∠B = 90°.
A
B
C
思考
A
B
C
在Rt△ABC 中，
∵　∠C = 90°，
∴　∠A + ∠B = 90°．　
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
1.如图在△ABC中，∠B = 50°，高AD、CE交于H，则∠AHC =______.
130°
A
C
B
D
H
E
议一议 “直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？
条件：一个三角形是直角三角形
结论：这个三角形的两个锐角互余
逆命题：
如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.
这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？
在 △ABC 中，因为 ∠A +∠B +∠C = 180°，
又∠A +∠B = 90°，
所以∠C = 90°.
于是 △ABC 是直角三角形.
如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.
在△ABC 中，
∵∠A + ∠B = 90°，
∴△ABC 是直角三角形．　
直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形.　　　
应用格式：
2.如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？
A
B
C
D
H
解：∵AB// CD，∴∠ CAB+∠ACD=180°.
又∠CAH =∠CAB，∠ACH =∠ACD，
∴∠CAH+∠ACH=(∠CAB+∠ACD)=90°.
∴△AHC是直角三角形.
如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB 的中点 D，连接 DC. 以点 D 为圆心，DB 长为半径画圆弧，则所画的弧经过点 C 吗？DC与 AB 之间有怎样的数量关系？
可以发现，该弧经过点C，且DC = DB = AB.
思考
AB ＝ ；
DC ＝ .
度量AB、CD的长度：
9 cm
4.5 cm
过点 D 作 DE∥BC，DF∥AC，分别交 AC，BC 于点 E，F，
在 △ADE 与 △DBF 中，
E
F
证明：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线.
于是∠ADE =∠B，∠AED =∠ACB = 90°，
∠FDC =∠ECD，∠DFB =∠ACB = 90°.
从而 DE = BF. ①
∠AED =∠DFB，
∠ADE =∠B，
AD = DB，
所以∠ADE△DBF(角角边)，
在 △DFC 与△CED 中，
∠DFC = ∠CED，
∠FDC = ∠ECD，
DC = CD，
所以△DFC∠CED(角角边)，
从而 CF＝DE . ②
由 ① 式和 ② 式得，CF = BF.
因此，直线 DF 是线段 BC 的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB.
因此 DC = DB =AB.
E
F
在 Rt△ABC 中，
因为 D 为斜边 AB 上的中点，
所以有 CD = AD = BD =AB.
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
应用格式：
例1 如图，已知 CD 是△ABC 的边AB上的中线，且CD =AB.
求证：△ABC 是直角三角形.
证明：因为 CD = AB = AD = BD，
所以 ∠1 = ∠A，∠2 = ∠B.
因为∠A+∠B+∠ACB =180°，∠ACB =∠1+∠2，
所以 ∠A + ∠B + ∠1 + ∠2 = 180°，
从而 2(∠A + ∠B)= 180°.
因此 ∠A + ∠B = 90°.
所以△ABC 是直角三角形.
3.如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.
(1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm；
(2)若∠C = 30°， AB = 5 cm，则 AC =_____cm， BD =_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
1. 说说直角三角形有哪些性质？
2. 怎么判断一个三角形是直角三角形？
通过本节课学习，回答下列问题：
①直角三角形的两个锐角互余；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
2. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，CD⊥AB，与 ∠1 互余的角有（　　）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD
C
1.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是_______________.
直角三角形
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD = ∠B．求证：△ACD 是直角三角形．
证明：∵∠ACB = 90°，∴∠A +∠B = 90°．
∵∠ACD = ∠B，∴∠A +∠ACD = 90°．
∴△ACD 是直角三角形．
解：∵AD 是△ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，
DF＝AF＝AC＝×8＝4．
4.如图，在 △ABC 中，AD 是高，E、F 分别是AB、AC 的中点．
(1) 若AB ＝ 10，AC ＝ 8，求四边形 AEDF 的周长；
∴四边形 AEDF 的周长＝ AE＋DE＋DF＋AF
＝ 5＋5＋4＋4 ＝ 18．
(2)求证：EF 垂直平分 AD.
证明：∵DE ＝ AE，DF ＝ AF，
∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上．
∴EF 垂直平分 AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．

展开更多......

收起↑