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1.理解并掌握幂的乘方法则和积的乘方法则.
2.会运用幂的乘方法则和积的乘方法则进行运算.
地球、木星、太阳可以近似地看成球体. 木星、太阳的半径分别约为地球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约为地球的多少倍？
V球 = πr3 ，
其中 V 是球的体积，
r 是球的半径.
你知道 (102)3 等于多少吗？
分析：V球= πr3
r木=10·r地
V木=103·V地
r太=102·r地
V太=(102)3·V地
地球、木星、太阳可以近似地看成球体. 木星、太阳的半径分别约为地球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约为地球的多少倍？
探 究1 根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果.
6
6
(1)
你发现了什么规律？
(2)
(3)
__________
__________
a2·a2·a2
am·am·am
3m
猜 想 (am)n = amn (当m、n都是正整数)
证明：
( a m ) n
归纳总结
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
因此，我们有
即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
问题解决 地球、木星、太阳可以近似地看成球体. 木星、太阳的半径分别约为地球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约为地球的多少倍？
(V球 = πr3 )
V木=103·V地
V太 =（102）3·V地
=102×3·V地
=106·V地
答：木星体积为地球的103倍；太阳体积为地球的106倍.
例1 计算：
(1) (103) 5 ； (2) (a 4)4 ；
(3)(a m)2 ； (4) － (x 4)3 .
解：(1)(103) 5 = 103× 5= 1015；
(2)(a 4)4 = a4× 4 = a16；
(3)(a m)2 = am× 2 =a 2m ；
(4) － (x 4)3 = － x4× 3 = － x12 .
变 式 已知5m = 3，5n = 2，求下列各式的值.
(1)53m； (2)52n； (3)53m + 2n．
解：(1)53m = (5m)3 = 33 = 27；
(2)52n = (5n)2 = 22 = 4；
(3)53m＋2n = 53m×52n = 27×4 = 108.
此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法法则，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m (m，n都是正整数)
思 考1 (1) (－a2)5 和 (－a5)2 的结果相同吗？与同伴交流.
(－a5)2 表示 2 个 －a5 相乘，结果没有负号.
不相同.
(－a2)5 表示 5 个 －a2 相乘，其结果带有负号.
(2) 下面这道题该怎么进行计算呢？
＝ (a10)3
= a30
(3) [(am)n] p = (m， n， p为正整数)能否利用幂的乘方法则来进行计算呢？
幂的乘方:
[ (am)n] p =
(am)n= amn　
( amn ) p
把 amn中mn可以看做整体
=amnp
思 考2 同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？
底数不变
指数相乘
指数相加
同底数幂
的乘法
幂的乘方
(am)n = amn
am·an = am+n
相同点
其中m，n都是正整数
不同点
不同点
探 究2 下面的运算过程用到哪些运算律 运算结果有什么规律
(1)(ab) = ( ab ) · ( ab ) = ( a·a )·( b·b )=a( )b( )；
(2)(ab) =________________ = ________________ = a( ) b( ).
2
2
( ab ) · ( ab )· ( ab )
(a·a·a ) · (b·b·b )
3
3
乘方的意义
乘方的意义
乘法交换律、结合律
乘法交换律、结合律
同底数幂相乘的法则
同底数幂相乘的法则
你发现了什么规律？
猜 想 (ab)n = anbn (n为正整数)
证明：
归纳总结
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数 n，
因此，我们有
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
思 考 三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn (n为正整数)
例2 计算：
(1) (2a)3 ； (2) (－5b) 3 ；
(3)(xy2)2； (4) (－2x3y)4.
解：(1)(2a)3 =23·a3 = 8a3；
(2)(－5b) 3 = (－5) 3 ·b3 =－125b3；
(3)(xy2)2 = x2·(y2)2 = x2y4；
(4) (－2x3y)4 = (－2)4·(x3)4·y4 = 16x12y4 .
变 式 计算：83×(－0.125)4.
解：83×(－0.125)4
= 83×(－0.125)3 ×(－0.125)
=[8×(－0.125)]3 ×(－0.125)
= －1×(－0.125)
=0.125
积的乘方法则的逆用：
an·bn = (ab)n (n为正整数)
例3 计算：
(1) 2(x3)2·x3－(3x3)3+(5x)2·x7 ； (2) 8x2·x5·(－x5) + 5(x4)3 .
解：(1)2(x3)2·x3－(3x3)3+(5x)2·x7
= 2x6·x3－27x9+25x2·x7
= 2x9－27x9+25x9
= 0；
(2) 8x2·x5·(－x5) + 5(x4)3
=8x2·x5·(－x5) + 5x12
=－8x2·x5·x5+ 5x12
=－8x12+ 5x12
=－3x12.
注意：运算顺序是先乘方，再乘除，最后算加减
1. (2024济南)下列运算正确的是( )
A. 3x+3y=6xy
B. (xy2)3=xy6
C. 3(x+8)=3x+8
D. x2·x3=x5
D
2. 下面是小明同学和小亮同学计算(m2·m3)5的过程：
解：小明：(m2·m3)5＝(m2)5·(m3)5①
＝m10·m15②
＝m25
小亮：(m2·m3)5＝(m5)5③
＝m25④
则下列选项中描述他们做题步骤依据的运算性质不正确的是(　　)
A. ①依据的运算性质是积的乘方 B. ②依据的运算性质是幂的乘方
C. ③依据的运算性质是同底数幂的乘法 D. ④依据的运算性质是积的乘方
D
3. 填空：
(1)若xm x2m = 3，则x9m=__________；
(2)已知 am=3，an=5，则a2m+3n =__________；
(3)若n为正整数，且 x2n = 3，则 (3x3n)2 的值为________．
解析：∵xm·x2m = 3，
∴x3m = 3，
∴x9m = (x3m)3 = 33 = 27.
解析： a2m+3n= a2m·a3n=(am)2·(an)3
=32×53=9×125 =1125.
243
27
1125
解析： (3x3n)2 =32·(x3n)2=32·(x2n)3
=32×33=9×27 =243.
4.(解题方法型阅读理解题)下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较2a，2b的大小(a＞0)．
因为a＞b，所以2a＞2b.
因为当底数相同时，指数越大幂的值越大；
②比较350和275的大小．
因为350＝(32)25＝925，275＝(23)25＝825，9＞8，所以925>825，
即350＞275.
因为当指数相同时，底数越大幂的值越大．
＜
根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小：320________915；(填写“＞”“＜”或“＝”)
(2)已知a＝355，b＝444，c＝533，试比较a，b，c的大小．
解：a＝355＝(35)11＝24311，
b＝444＝(44)11＝25611，
c＝533＝(53)11＝12511，
因为125<243<256，所以12511＜24311＜25611，所以533＜355＜444，
即c＜a＜b.
5.先化简，再求值: [ －2(a－b)]3·(a+b)·[－(a+b)(a－b)]2 ，其中 a = 2，b = 1.
解: [ －2(a －b)]3 ·(a +b) ·[ －(a +b) (a －b)]2
= －8(a－b)3·(a+b)·(a+b)2·(a－b)2
= －8(a－b)5(a+b)3
将 a = 2，b = 1 代入，得
原式 = －8×(2－1)5 × (2+1)3 = －216.
幂的乘方，底数不变，指数相乘
(am)n=amn (m, n都是正整数）
幂的乘方与
积的乘方
幂的乘方
幂的乘方法则的推广：
[(am)n]p=amnp (m，n，p都是正整数)
幂的乘方法则的逆用：
amn=(am)n=(an)m (m，n都是正整数)
幂的乘方与
积的乘方
积的乘方
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(ab)n = anbn (n是正整数)
积的乘方法则的推广：
(abc)n = anbncn (n为正整数)
积的乘方法则的逆用：
an·bn = (ab)n (n为正整数)

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