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(共21张PPT)
1.探索平方差公式，理解平方差公式的几何意义.
2.掌握平方差公式的结构特征，能熟练运用平方差公式进行计算.
某校组织了《“徽”聚梦想 引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形(如图)，准备进一步优化改造，加一些文字；需要将原正方形的一组对边增加3cm，另一组对边减少3cm，改造以后的图形面积与原来的面积相比相同吗？
除了多项式乘多项式的方法，
你还有更简单的方法
验证吗
(1)(x＋1)(x－1)= ；
(2)(m＋2)(m－2)= ；
(3)(2x＋1)(2x－1)= .
x2－1
m2－4
4x2－1
探 究 计算下列各式：
思考:观察以上算式及其运算结果，你有什么发现
①都是形如a+b的多项式与形如a+b的多项式相乘；
②两数和×两数差=平方差.
猜想:(a+b)(a－b)=a2－b2
(a+b)(a－b)
= a2－ab+ab－b2 (多项式乘多项式)
= a2－b2 (合并同类项)
猜 想 (a+b)(a－b)=a2－b2，如何验证猜想是否正确
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
(a+b) (a－b) =a2－b2
归纳总结
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a+b) (a－b) =a2－b2
这个公式叫作(乘法的)平方差公式：
平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形.
思 考 你能根据下图图形的面积说明平方差公式吗
a
b
a
b
b
①
②
③
④
分析：观察由图形各边长可知，(1) S①+S②=S①+S③；
(2) 区域④和区域(①+③+④)均为正方形.
由图可知：S①+S②= (a+b) (a－b) ，
S①+S③= a2－S④ = a2－b2，
∵S①+S②=S①+S③，
∴(a+b) (a－b)= a2－b2
问题解决
某校组织了《“徽”聚梦想 引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形(如图)，准备进一步优化改造，加一些文字；需要将原正方形的一组对边增加3cm，另一组对边减少3cm，改造以后的图形面积与原来的面积相比相同吗？
解：设原来正方形的边长为a cm，面积为a2cm2，
变化后图形的长为(a+3)cm，宽为(a﹣3)cm，
则变化后的面积为(a2﹣9)cm2，
因为a2＞(a2﹣9)，所以改造以后的图形面积与原来的面积相比减少了.
= ( 3x )2－22.
例1 计算：
(1)( 3x + 2 )( 3x－2 ) ；
分析：在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即
( 3x + 2 )( 3x－2 )
( a + b )( a － b ) = a2 － b2
解：(1)(3 x + 2 )( 3 x－2 )
= (3 x)2－22
= 9x2－4；
例1 计算：
(2) (－x + 2y ) (－x－2y ) .
(2)(－x + 2y ) (－x－2y )
= (－x)2－( 2y )2
= x2－4y2 .
例2 计算：
(1) (x－1)(x + 1)(x2 + 1) ；
解：(1) (x－1)(x + 1)(x2 + 1)
=(x2－1)(x2 + 1)
= x4－1；
例2 计算：
(2) (y + 2)(y－2)－(y－1)(y + 5)；
(2) (y + 2)(y－2)－(y－1)(y + 5)
=y2－22－(y2 + 4y－5)
= y2－4－y2－4y + 5
=－4y + 1；
不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.
例2 计算：
(3) 102×98.
(3) 102×98
=(100 + 2)(100 － 2)
= 1002－22
= 1000－4
= 9 996.
归纳总结
1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2.右边是相同项的平方减去相反项的平方；
3.公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
平方差公式的常见变形 位置变化 (b+a)(－b+a)=a2－b2
符号变化 (－a－b)(a－b)=b2－a2
系数变化 (2a+3b)(2a－3b)=4a2－9b2
指数变化 (a2+b2)(a2－b2)=a4－b4
换式变化 (a+b+c)(a－b－c)=[a+(b+c)][a－(b+c)]=a2－(b+c)2
增项变化 (a+b+c)(a+b－c)=(a+b)2－c2
连用公式 (a+b)(a－b)(a +b )=(a －b )(a +b )=a －b
逆用公式 a －b =(a+b)(a－b)
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
2. (2024逐宁)下列运算结果正确的是( )
A. 3a－2a=1 B. a2·a3=a6
C. (－a)4=－a4 D. (a+3)(a－3)=a2－9
D
－6
3. (2024凉山州)已知a2－b2=12，且a－b=－2，则a+b= .
4. 计算.
(1)(a+3b)(a－ 3b)；
=4x4－y2；
=a2－9b2 ；
(2)原式=(－2x2 )2－y2
解:(1)原式=a2－(3b)2
(2)(－2x2－y)(－2x2+y)；
(3)原式=(3x)2－42－(6x2+5x－6)
= 9x2－16－6x2－5x+6
= 3x2－5x－10；
(3)(3x+4)(3x－4)－(2x+3)(3x－2)；
(4)20182－2016×2020 .
(4)原式= 20182－(2018－2)×(2018+2)
=20182－(20182－22)
=22=4.
5.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图①)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②).
(1)上述操作能验证的等式是______________________；
(2)应用(1)中的等式，完成下列各题：
①已知x2－4y2＝12，x＋2y＝4，求x－2y的值；
a2－b2 ＝(a＋b)(a－b)
解：(2)① 因为x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)，
x2－4y2＝12，x＋2y＝4，
所以12＝4(x－2y)，即x－2y＝3；
②计算：(12＋32＋52＋…＋992)－(22＋42＋62＋…＋1002).
②原式＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2)－(3＋4)－…－(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)
＝ －5050.
6.观察：(2+3) －2 =7×3；(4+3) －4 =11×3.
嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
验证：
(1)(6+3) －6 的结果是3的 倍；
(2)设偶数为2n，试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除.
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解：由题意得偶数为2n，比偶数大3的数为(2n+3)，
所以(2n+3)2－(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3－2n)=3(4n+3).
因为4n+3为整数，
所以3(4n+3)能被3整除.
1.左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2.右边是相同项的平方减去相反项的平方；
3.公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
(a+b)(a－b)=a2－b2
几何意义：
注意
内容
平方差公式

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