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(共29张PPT)
1.理解并掌握三角形的外角的概念.
2.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的外角和.
3.会利用三角形的外角性质解决问题.
足球场上，一支足球队正在进行紧张的赛前训练，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮助作出选择，应传给在C处的球员还是D处的球员，其射门不易射偏？
A
B
C
D
E
传球应该传给C还是D更容易射门呢？
射门角度越大射进去的可能性越大！
将球员站位和足球门抽象成几何图形：
A
B
C
D
E
只要知道C和D谁到球门的角度更大，就知道该传给谁.
问题1 ∠C是△ACD的内角，那么∠BDA是△ACD的什么角？
A
B
C
D
把△ACD的一边CD延长，得到∠BDA. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
思考1 (1)延长AD至点F，除了∠BDA，你还能找出△ACD其他的外角吗？
A
B
C
D
F
∠CDF是△ACD的一个外角.
思考1 (2)画出△ACD中的所有外角，数一数△ACD共有多少个外角？
B
C
D
F
A
①△ACD有6个外角；
②每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
想要知道球传给谁，就要知道外角∠BDA和内角∠C的大小关系.
问题2 填空：
(1)∠BDA+∠ADC= ________( )
(2)在△ACD中，∠A+∠ADC+∠C=________.
邻补角互补
180°
180°
问题3 观察上面两个式子，你能得到∠BDA和∠C的大小关系吗？
∵∠BDA+∠ADC=180° ，
∴∠BDA = 180° -∠ADC
= 180° -(180°-∠A-∠C)
= ∠A+∠C
∴∠BDA＞∠C .
足球应该传给在D处的球员.
思考2 通过上述证明过程，你还能发现什么结论？
∵∠BDA+∠ADC=180° ，
∴∠BDA = 180° -∠ADC= 180° -(180°-∠A-∠C)= ∠A+∠C ，
∴∠BDA＞∠C .
①∠BDA=∠C+∠A；
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
探究 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
已知: ∠ACD 是△ABC 的一个外角，
求证: ∠ACD =∠A +∠B.
解法一：证明：∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠ACB +∠ACD = 180°
∴∠ACD = 180° -∠ACB
=180 - ( 180° -∠A -∠B)
= ∠A +∠B.
D
C
B
A
已知: ∠ACD 是△ABC 的一个外角，
求证: ∠ACD =∠A +∠B.
解法二：证明：如图，过点 C 作直线 l，使 l // AB .
∵ l //AB，
∴∠1 =∠4 ( 两直线平行，内错角相等 )，
∠2 =∠5 ( 两直线平行，同位角相等 ).
∵∠ACD = ∠4 +∠5.
∴∠ACD = ∠1+∠2.
即∠ACD = ∠A +∠B.
l
A
C
B
1
2
3
4
5
D
归纳总结
一般地，由三角形的内角和定理可以推出下面的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论是由定理直接推出的结论. 和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
问题4 如图，顺次延长△ABC的三边，求∠FAC，∠DBA，∠ECB是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠FAC= ∠2+ ∠3，
∠DBA= ∠1+ ∠3，
∠ECB= ∠1+ ∠2.
又∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠FAC+ ∠DBA+ ∠ECB=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
你还能给出其它的解法吗？
解法二：由∠1 +∠FAC = 180°，
∠2 +∠ABD = 180°，
∠3 +∠ECB = 180°，
得∠1 +∠2 +∠3 +∠FAC +∠ABD +∠ECB = 540°，
由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
得∠FAC +∠ABD +∠ECB = 540° - 180° = 360°.
问题4 如图，顺次延长△ABC的三边，求∠FAC，∠DBA，∠ECB是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
问题4 如图，顺次延长△ABC的三边，求∠FAC，∠DBA，∠ECB是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解法三：过点A作AH∥BC.
∵AH∥BC，∴∠FAH =∠2，∠HAC =∠3，
又∵∠2+∠ABD =180°，∠3+∠BCE =180°，
∴∠FAH+∠ABD =180°，∠HAC +∠BCE =180°，
∴∠FAH+∠ABD +∠HAC +∠BCE =∠FAC+∠ABD +
∠BCE=360°.
H
归纳总结
三角形的外角和定理：在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫作三角形的外角和. 三角形的外角和为360°.
温馨提示：三角形的外角和是指从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加得到的和，而不是三角形的六个外角之和.
例 如图，在△ABC中，若外角∠CBE与外角∠BCF的平分线交于点P，∠P=50°，求∠A的度数.
解：∵BP平分∠CBE(已知)，
∴∠CBP= ∠CBE= (∠A+∠ACB)(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
同理可得：∠BCP = (∠A+∠ABC).
∵∠P+∠CBP+∠BCP=180°，
∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形的内角和等于180°)，
A
B
C
P
E
F
∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP(等式的性质)
=180°- (∠A+∠ACB)- (∠A+∠ABC)
=180°- (∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
=180°- (∠A+180°)
=90°- ∠A，
又∵∠P=50°(已知)，
∴∠A=80°.
A
B
C
P
E
F
变式 如图，在△ABC中，∠ABC 的平分线BP与外角∠ACD的平分线CP相交于点P，试找出∠P与∠A之间的关系.
解：∵∠ACD是△ABC的外角(已知)，∠PCD是△PBC的外角(已知)，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠P=∠PCD-∠PBC(等式的性质)，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD(已知)，
∴∠PBC= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD，
∴∠P= ∠ACD- ∠ABC= (∠ACD-∠ABC)= ∠A(等量代换).
A
B
C
D
P
(1)如图，在△ABC中，外角∠CBE与外角∠BCF的平分线交于点P，那么∠P =90°- ∠A；
(2)如图，在△ABC中，∠ABC 的平分线BP与外角∠ACD
的平分线相交于点P，∠P = ∠A.
归纳总结
1. (2024广东)如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为(　　)
A. 120° B. 90°
C. 60° D. 30°
C
2. 如图，∠α的度数为(　　)
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
B
3. 如图，∠1＝120°，∠2＝130°，则∠3的度数为(　 　)
A
A. 110° B. 120°
C. 140° D. 260°
4. (真实问题情境)如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，∠D保持不变，则图中∠ECF应________(填“增加”或“减少”)________°.
增加
20
5. (解题方法型阅读理解题)已知AB和AC相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B，∠C，∠BAC之间的关系．
小明的思路 小颖的思路
解：如图①，以点A为端点作射线AD，… 解：如图②，延长BD交AC于点E，…
(1)请选择其中一种思路求出∠BDC与∠B，∠C，∠BAC之间的关系；
(1)请选择其中一种思路求出∠BDC与∠B，∠C，∠BAC之间的关系；
小明的思路
解：如图①，以点A为端点作射线AD，…
解：按小明的思路：以点A为端点作射线AD，
∵∠1是△ABD的外角，
∴∠1＝∠B＋∠BAD，
同理∠2＝∠C＋∠CAD，
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠BAD＋∠C＋∠CAD，
即∠BDC＝∠B＋∠C＋∠BAC.
(1)请选择其中一种思路求出∠BDC与∠B，∠C，∠BAC之间的关系；
按小颖的思路：延长 BD 交 AC 于点 E ，
∵∠ BDC 是△ EDC 的外角，
∴∠ BDC ＝∠ C ＋∠ CED ，
∵∠ CED 是△ ABE 的外角，
∴∠ CED ＝∠ BAC ＋∠ B ，
∴∠ BDC ＝∠ C ＋∠ BAC ＋∠ B.
(答案不唯一，选择一种即可)
小颖的思路
解：如图②，延长BD交AC于点E，…
(2)如图③，∠ABD和∠ACD的平分线相交于点E，分别交AC，AB于点F，G. 已知∠BDC＝140°，∠BEC＝110°，求∠A的度数．
解：由(1)的结论可得：
∠BDC＝∠ABD＋∠ACD＋∠A，∠BEC＝∠ABE＋∠ACE＋∠A，
∵∠ABD和∠ACD的平分线相交于点E，
∴∠ABD＝2∠ABE，∠ACD＝2∠ACE.
∴∠BDC＝∠BEC＋∠ABE＋∠ACE，
∵∠BDC＝140°，∠BEC＝110°，
∴∠ABE＋∠ACE＝30°，∴∠A＝∠BEC－(∠ABE＋∠ACE)＝80°.
拓展应用
利用三角形的外角解决不规则图形的角度问题时，通常将不规则图形划分成几个三角形的拼接，再利用已知条件、三角形内角和、外角和定理，依次推导相关角之间的关系，常用的“燕尾型”的角度关系如下：∠ BOC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C .
三角形的外角和为360°.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
概念
性质
三角形
的外角
三角形的
外角和

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