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(共20张PPT)
1.探索并证明含30° 角的直角三角形的性质.
2.会运用含30° 角的直角三角形的性质进行相关证明和计算.
30°
用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（即30°角所对的直角边）与斜边的长度，你有什么发现吗？
一起来看看吧！
探究 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？
C
A
B
通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半.
试着证明你的
结论.
30°
证明：在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°.
求证：BC = AB.
分析：要证明BC= AB，只要证明2BC=AB. 为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可.
C
A
B
30°
C
A
B
D
30°
如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，
则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD.
又因为∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°，
所以△ABD是等边三角形，
所以BD=AB.
又BD=2BC，
所以BC=AB.
你还有其他证明方法吗？
C
A
B
证明：在斜边AB上截取BD=BC，连接CD.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴∠B=60°.
∵BD=BC，∴△BCD为等边三角形，
∴∠DCB=60°，CD=BC=BD.
∴∠ACD=∠A=30°，
∴AD=CD. ∴BC=CD=BD=AD.
∴BC= AB.
D
归纳总结
含 30° 角的直角三角形的性质：
在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
符号语言：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，
∴BC = AB.
C
A
B
思考 这个性质反过来说还成立吗？
猜想：直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
请试着证明你的猜想.
C
A
B
30°
已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC = AB.
求证：∠A=30°.
如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，
则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD.
又因为BC = AB，CD=BC，
所以BD=AB=AD. 所以△ABD是等边三角形，
所以∠BAD=60°，
所以∠A=30°(“三线合一”).
D
拓展延伸
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
几何语言：
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC= AB，∴∠A=30°.
C
A
B
例1 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4m，∠A = 30°. 求立柱 BC，DE的长.
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
∴BC = AB，DE = AD.
∴BC = ×7.4 = 3.7 .
又 AD = AB，
∴DE = AD = ×3.7 = l.85 .
答:立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是1.85 m.
变式 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 15°，DE 是 AB 的垂直平分线，BE = 5，求 AC 的长．
∵ DE 是 AB 的垂直平分线，
∴ BE = AE= 5.
∴∠B = ∠EAB = 15°.
∴∠AEC = 30°.
∵∠C = 90°，
∴ AC = AE = 2.5.
解：连接 AE.
在直角三角形中，遇到15°角，常借助角平分线或线段垂直平分线构造30°角解题.
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AB的长为( )
A.3
B.5
C.8
D.9
C
2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于 (　　)
A．3 B．2 C．1.5 D．1
∵ PC∥OA，
∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°.
又∵ PC＝3，∴ PE＝1.5.
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，
∴ PD＝PE＝1.5.
解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E.
E
C
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是(　　)
A. 8 B. 16 C. 12 D. 24
B
4.(2024新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为________．
6或12
解析：点D位置不确定，可分为以下2种情况讨论：①如解图①，当点D在线段AB上时；
②如解图②，当点D在线段AB的延长线上时.
解图①
解图②
5.如图，△ABC为等边三角形，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AD于点F.
(1)求证：AD＝3DF；
证明：如图，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠BCA＝60°，
∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∠DAC＝30°，
∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA＝30°，∴∠DCF＝30°，
∴在Rt△CFD中，CF＝2DF，∴AF＝2DF，
∴AD＝AF＋DF＝2DF＋DF＝3DF；
(2)若EF＝1，AE＝，求△ABC的面积．
解：在Rt△AEF中，∠CAD＝30°，
∴EF＝AF，
由(1)知AF＝2DF，∴EF＝DF＝1，
∴AD＝3DF＝3，
∵EF垂直平分AC，
∴BC＝AC＝2AE＝2，
∴S△ABC＝BC·AD＝×2×3＝3.
含 30° 角的直角三角形的性质：
在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，
∴BC = AB.
C
A
B

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