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(共18张PPT)
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想.
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能发现什么？
a米
b米
b米
a米
(a-b)
分析：右图是由左图剪掉边长为b米的小正方形后拼接而成，所以左图剩余部分的面积和右图面积相等. 因此
a米
b米
b米
a米
(a-b)
a2-b2=(a+b)(a-b)， (a+b)(a-b)=a2-b2
那这个有什么应用呢？
这个是平方差公式.
分解因式，填空并观察下列式子有什么共同特征？
(x+5)(x-5)
等式左边是两个数的平方差，等式右边都可以写成两个整式的乘积，即a2-b2= (a+b)(a-b)
(3m+2n)(3m–2n)
(3x+y)(3x-y)
)
) (
(
b
a
b
a
-
+
=
b2
a2
-
)
)(
(
b
a
b
a
b2
a2
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
思考 多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
例1 分解因式：
(1) 4x2-9；
解：(1) 4x2-9
=(2x)2-32
=(2x+3)(2x-3)；
分析：由于4x =(2x) ，9=3 ，所以4x -9=(2x) -3 ，即可以利用平方差公式分解因式.
(2) a2- 25b2.
(2) a2-25b2
=a2-(5b)2
=(a+5b)(a-5b).
分析：由于25b =(5b) ，所以a -25b =a -(5b) ，即可以利用平方差公式分解因式.
例2 分解因式：
(1) x -y4；
(2) (x+p)2 - (x+q)2.
分析：由于y4=(y2)2，所以x2-y =x2-(y2)2，即可以利用平方差公式分解因式.
解：(1) x2-y4
=x2-(y2)2
=(x+y2)(x-y2)；
分析：可把x+p和x+q各看成一个整体，设x+p=a，x+q=b，则原式化为a2-b2，即可以利用平方差公式分解因式.
(2) (x+p)2 - (x+q)2
=[(x+p)+(x+q)]·[(x+p)-(x+q)]
=(2x+p+q)(p-q) .
归纳总结
1.语言描述: 两个数的平方差等于这两个数的之和与这两个数之差的积.
2.字母表示: a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )
注意：平方差公式中“这两个数”是字母a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式.
变式 把下列各式因式分解：
(1) -m2 +n2；
(2) 16x2 -y2；
解：(1)-m2 +n2
=n2 -m2
=(n + m)(n - m)
(2)16x2 -y2
=(4x +y)(4x - y)
(3) x4 - y4；
(3) x4 - y4
=(x2 +y2)(x2 -y2)
=(x2 +y2)(x +y)(x - y)
(4) (m+6)2 - n2；
(4)(m+6)2 - n2
=(m +6+n)(m +6-n)
位置变化
系数变化
指数变化
增项变化
因式分解必须要进行到每一个多项式都不能再分解为止
归纳总结
常见变形: (1) 位置变化：-b2 +a2 = (a+b)(a-b)
(2) 系数变化：4a2 -b2 = (2a+b)(2a-b)
(3) 指数变化：a4 - b4 = (a2+b2)(a+b)(a-b)
(4) 增项变化：(a+c)2 - b2 =(a +c+b)(a +c-b)
例3 用因式分解简便运算：
(1)1012 - 992；
(2)53.52×4 - 46.52×4.
解：(1)1012 - 992
= (101＋99)(101－99)
= 400
(2)53.52×4 - 46.52×4
= 4(53.52－46.52)
= 4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)
= 4×100×7
= 2800
较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
A
A．a(a-3)(a+3) B．a(a2+9)
C．(a-3)(a+3) D．a2(a2-9)
1. (2024云南)分解因式：a3 -9a = ( )
解：(1) 1.21x2－144y2
＝(1.1x＋12y)(1.1x-12y)
(2) 16x4 － a4b4
＝(4x2 + a2b2)(4x2 - a2b2)
＝(4x2 + a2b2)(2x+ ab)(2x- ab)
2. 把下列各式因式分解：
(1) 1.21x2－144y； (2) 16x4 － a4b4；
(3)81(a-b)2－4(a+b)2； (4)(2a2－b2)2－a4.
(3)81(a-b)2－4(a+b)2
＝[9(a - b)+2(a+ b)][9(a - b)-2(a+ b)]
＝(11a - 7b)(7a - 11b)
(4) (2a2－b2)2－a4
＝(2a2－b2+a2)(2a2－b2－a2)
＝(3a2－b2)(a2－b2)
＝(3a2－b2)(a+b)(a-b)
解：(m+2n)2-(3m-n)2
=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(-2m + 3n)
=-(4m+n)(2m-3n).
当4m+n=40，2m-3n=5时，原式= - 40×5 = -200．
3. 已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
又由题意得x+y=90，
解方程组 解得
∴长方形的面积=60×30=1800(平方厘米).
4. 已知长方形的周长为180厘米，两邻边长分别为x厘米，y厘米，且x3+x2y-4xy2-4y3=0，求长方形的面积.
解：∵x3+x2y-4xy2-4y3=0，
∴x2(x+y)-4y2(x+y)=0，
∵(x+y)(x+2y)(x-2y)=0，
∴x+y＞0，x+2y＞0，
∴x=2y.
用平方差公式
因式分解
法则
常见变形
(1) 位置变化：-b2 +a2 = (a+b)(a-b)
(2) 系数变化：4a2 -b2 = (2a+b)(2a-b)
(3) 指数变化：a4 - b4 = (a2+b2)(a+b)(a-b)
(4) 增项变化：(a+c)2 - b2 =(a +c+b)(a +c-b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
字母表示： a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )

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