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1.探索负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质.
2.能熟练运用整数指数幂的运算性质进行计算.
随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断推广.例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范围，再到有理数范围.
同样地，对于幂的运算an，是否也可以从正整数指数幂推广到更大的范围呢？下面，我们从追溯幂的符号的演变开始.
溯源 幂的符号的演变经历了漫长的时间，a ，a ，a 的一些表示如图所示.
△ ，K ，△ △
γ
γ
γ
3世纪
丢番图
Aq，Acu，Aqq
韦达
(Vietè，1540—1603)
16世纪
哈利奥特
(Harriot，1560—1621)
aa，aaa，aaaa
a2，a3，a4
笛卡尔
1637年
an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广.
17世纪
回顾 已经学习过的幂的运算有哪些？
(1)am·an=am+n(m，n是正整数)；
(2)(am)n=amn(m，n是正整数)；
(3)(ab)n=anbn(n是正整数)；
(4)am÷an=am一n(a≠0，m，n是正整数，m>n)；
(5)( )n= (n是正整数)；
(6)当a≠0时，a =1.
以上出现的幂，指数均为
正整数或0，那幂的指数可以
是负整数吗？
1676年，牛顿(Newton，1643—1727)提出了一个设想：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a ，a ，a ，…，所以我将 ， ， ，…写成a－ ，a－ ，a－ ，···.”
你认为牛顿的这
个设想合理吗
思考 如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么
由分式的约分可知，当a≠0时， . ①
如果把正整数指数幂的运算性质 (a≠0，m，n是正整数，m>n)中的条件m>n去掉，则有 . ②
由①②两式，我们想到如果规定 (a≠0)，就能使 这条性质也适用于像 这样的情形.
归纳总结
一般地，当n是正整数时，
这就是说，a－n (a≠0)是an的倒数.
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广
到全体整数.
为使上述运算性质适用范围更广，同时也
可以更简便地表示分式，数学中规定：
引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质“am·an=am+n
(m，n是正整数)”能否推广到m、n是任意整数的情形
思考
归纳总结
一般地，am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.
探究
尝试用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用.
(am)n=amn(m，n是正整数)；
(ab)n=anbn(n是正整数)；
am÷an=am一n(a≠0，m，n是正整数，m>n)；
( )n= (n是正整数)；
(am)n=amn(m，n是正整数)
(am)n=amn这条性质对于n是任意整数的情形仍然适用.
(ab)n=anbn(n是正整数)
(ab)n=anbn这条性质对于n是任意整数的情形仍然适用.
am÷an=am-n(a≠0，m，n是正整数，m>n)
am÷an=am一n这条性质对于n是任意整数的情形仍然适用.
( )n= (n是正整数)
( )n= 这条性质对于n是任意整数的情形仍然适用.
(am)n=amn(m，n是正整数)；
(ab)n=anbn(n是正整数)；
am÷an=am一n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)；
( )n= (n是正整数)；
事实上，随着指数的范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂.
归纳总结
例 计算：
(1)a－2÷a5； (2) ； (3) (a－1b2)3； (4)
解：(1)a－2÷a5=a－2－5=a－7= ；
(3)(a－1b2)3=a－3b6=
；
；
变式 计算：
(1) ； (2) .
解：原式
；
解：原式
.
探究 同底数幂的乘法与除法的关系：
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，
特别地， ， 所以 ，即商的乘方 可以转化为积的乘方 .
因此同底数幂的除法 可以转化为同底数幂的乘法 .
归纳总结
am·an=am+n(m，n是整数)；
(am)n=amn(m，n是整数)；
(ab)n=anbn(n是整数)；
整数指数幂的运算性质可以归结为：
1.(2024宁夏)下列运算正确的是( )
B
A. B. C. D.
2.根据数值转换机的示意图，输出的值为_____．
解：原式
；
3.计算：
(1)(2024广东) ；
解：原式
(2)(2024山西) .
3.计算：
解：原式
.
(3) .
4.先化简，再求值： ，其中 .
解：原式
当x=4时，原式=4.
负整数指数幂
运算性质
负整数
指数幂
a－n (a≠0)是an的倒数.
am·an=am+n(m，n是整数)；
(am)n=amn(m，n是整数)；
(ab)n=anbn(n是整数)；
am÷an=am一n(a≠0，m，n是整数)；
( )n= (n是整数)；
整数指数幂的运算性质：

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