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(共22张PPT)
1.能熟练运用整式乘法、平方差公式等解释规律的数学原理.
2.通过计算、观察、分析和归纳，提升从具体数据中抽象出数学规律的能力，理解从特殊到一般的数学探究方法，增强运用整式乘法公式解决实际问题的应用能力.
本章学习整式乘法的哪些内容？
回 顾
整式的乘法
整式的除法
幂的运算性质
乘法公式
(a+b)(a－b)=a2－b2
(a±b) 2=a2±2ab+b2
am·an=am+n
(am)n=amn
(ab)n = anbn
am ÷an=am－n
互逆运算
特殊形式
这节课尝试用这些公式来解决一些实际问题.
活动1 月历中的奥秘(续)
如右图所示，是某月的月历.
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星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
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问题1 选择其中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论
6×14－7×13=－7；
16×24－17×23=－7；
结论：结果恒为－7.
再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律.
问题2 换一个月的月历试一试，是否有同样的规律.
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星期日
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星期六
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15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
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9×17－10×16=－7；
19×27－20×26=－7；
结果恒为－7，所以依然有同样的规律.
问题3 请利用整式的运算对以上的规律加以证明.
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假设蓝色方框左上角的数字为n，则右上角，左下角，右下角的数字依次可以表示为n＋1、n＋7、n＋8.
4个位置上的数交叉相乘，再相减可以表示为：
n(n＋8)－(n＋1)(n＋7)
=n2＋8n－(n2＋8n＋7)
=n2＋8n－n2－8n－7)
=－7
问题4 你还能发现其他规律吗？
①任意一行连续7个数的和为中心数的 7倍；
8＋9＋10＋11＋12＋13＋14=77=11×7.
②同一列连续3个数的和为中间数的 3倍；
2＋9＋16=27=9×7.
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星期一
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星期三
星期四
星期五
星期六
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15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
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请尝试利用整式的运算对以上的规律加以证明.
证明：任意一行连续7个数的和为中心数的 7倍.
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假设任意一行最左边的数字为n，则这行后面的数字依次为：n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6，中心数为n+3.
则这行数的和为：
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)
= 7n+21 = 7(n+3) .
证明：同一列连续3个数的和为中间数的 3倍 .
假设任意一列最上边的数字为n，则这列下面的数字依次为：n+7、n+14，中间数为n+7.
则这列连续3个数的和为为：
n+(n+7)+(n+14)= 3n+21 = 3(n+7) .
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活动2 和为定值的两数积的规律
问题1 观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积.
① 30×30， 35×25，43×17，52×8
② 50×50， 53×47，74×26，91×9
30＋30=60
35＋25=60
43＋17=60
52＋8=60
50＋50=100
53＋47=100
74＋26=100
91＋9=100
每组中两个数的和为定值.
① 30×30， 35×25，43×17，52×8
② 50×50， 53×47，74×26，91×9
问题1 观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积.
① 30×30=900，
35×25=(30+5)(30－5)=302－52=875，
43×17=(30+13)(30－13)=302－132=731，
52×8=(30+22)(30－22)=302－222=416；
① 30×30， 35×25，43×17，52×8
② 50×50， 53×47，74×26，91×9
问题1 观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积.
② 50×50=2500，
53×47=(50+3)(50－3)=502－32=2491，
74×26=(50+24)(50－24)=502－242=1924，
91×9=(50+41)(50－41)=502－412=819.
当两个数的和为定值时，两数差值越小，积越大.当两数相等时，积最大.
问题2 你能用本章所学的知识解释你发现的规律吗？
设两数分别为a和b，且a＋b=2m(m为定值)，则b =2m－a .
则两数乘积为：a×b = a×(2m－a)=－a2＋2ma
=－(a2－2ma)
=－(a2－2ma＋m2)＋m2
=m2－(a－m)2
当a=m时(即a=b=m)，(a－m)2=0，乘积取得最大值m2.
问题3 利用你发现的规律解决下面的问题：
用10米长的绳子围一个长方形，如何使面积最大？此时长方形的两条邻边长有什么关系 你能得出更一般的结论吗
解：设长为 a 米，宽为 b 米，则 a+b=10÷2=5，长方形面积 S=a×b.
当 a=b=2.5 米时，面积最大为 2.5×2.5=6.25 (m2)，
此时长方形的两条邻边长度相等，即长方形变为正方形.
结论：在周长固定的所有长方形中，正方形的面积最大.
1.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，例如
利用上述规律计算：99 +4×99 +6×99 +4×99+1=( )
A. 997 B. 998 C.107 D. 108
D
2.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到a(a+b)＝a2+ab，那么利用图2所得到的数学等式是( )
A．(a+b+c)2＝a2+b2+c2
B．(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
C．(a+b+c)2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc
D．(a+b+c)2＝2a+2b+2c
B
3.日历与人们日常生活密切相关，日历中蕴含着丰富的数学问题.如图，在2025年1月份的日历中，两个长方形中四个角上的数字交叉相乘，再相减，例如7×20－6×21=________，11×16－9×18=________，不难发现，结果都是________．
(1)完成上面的填空．
14
14
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(2)请你再选择两个类似的长方形框试一试，看看是否符合这个规律．
解：14×27－13×28=378－364=14，
18×23－16×25=414－400=14，
结果都是14；符合规律.
(3)若设每个方框的左上角数字设为n，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
解：①设右边方框左上角的数字为n，则右上角的数字为n+2，左下角的数字为n+7，右下角的数字为n+9.
发现的规律是(n+2)(n+7)－n(n+9)=14.
证明：(n+2)(n+7)－n(n+9)=n2+9n+14－n －9n=14；
②设左边方框左上角的数字为n，则右上角的数字为
n+1，左下角的数字为n+14，右下角的数字为n+15.
发现的规律是(n+1)(n+14)－n(n+15)=14.
证明：(n+1)(n+14)－n(n+15)=n2+15n+14－n2－15n=14.
4.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息(n为正整数)．
(i)192－172=______=______×______.
(ii)(2n＋7)2－(2n＋5)2=__________.
72
8
9
8n＋24
(iii)请根据你学过的相关数学知识，证明(ii)中的结论成立．
证明：(2n+7)2－(2n+5)2
=[(2n+7)+(2n+5)][(2n+7)－(2n+5)]
=(4n+12)×2
=8n+24.
观察→猜想→验证→证明
从具体例子中发现规律，再通过整式乘法严格证明.
展开多项式、配方求最值，将实际问题转化为代数模型
运用知识
数学思想
数学活动

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