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(共40张PPT)
1.会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题.
2.会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题.
3.会通过逻辑推理解决最短路径问题.
小亮走得更短.
两点之间，线段最短.
从村庄A到村庄B有三条路，小明、小亮和小刚分别骑自行车从村庄A出发，沿不同的路去村庄B，谁走得路程短？为什么？
如图，河岸上有一点 P，现需过点 P 建造一座跨河大桥. 为了节约建造成本，应该选择哪条线路？为什么？
选择PC .
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题. 在前面的学习中，我们知道，“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等，接下来我们对最短路径问题进行探究.
1.查阅资料，列举生活中的最短路径问题.
2.了解光行最速原理：光线所行进的“光程”最短，即光行进的时间最短.
活动准备
活动一 牧民饮马问题
活动任务
任务1 如图，牧民从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B地. 牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短
l
B
A
你能用数学语言描述这个问题吗？
上面的问题可以转化为:
如图，如果把河边 l 近似地看成一条直线，C为直线 l 上的一个动点，当点C在 l 的什么位置时，AC与CB 的和最小.
A
B
l
C
思考 1.如图，如果点A，B是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找一点C，使AC与CB 的和最小.
连接A、B两点，交直线 l 于点C，则点C即为所求的位置，可以使AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
B
l
A
C
思考 2.在任务1中，点A，B在直线 l 的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为1中的问题吗
A
B
l
C
如果我们能够把点B移到 l 的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持BC=B′C，就可以将问题转化为“两点在直线两侧的情况”.
如何利用轴对称找到点B'呢
作法如图，
(1)作出点B关于 l 的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线 l 相交于点C．则点C 即为所求．
B′
A
B
l
C
由轴对称可知CB=CB'.
任务2 证明你在任务1中得到的结论.
C
B′
A
B
l
C′
证明：如图，在直线l上另外任取一点C′(不与点C重合)，连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，
AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′所以AC+BC方法总结
此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，再根据已知条件求解.
任务3 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接D′C交AB于点E，则点E即为所求.
D′
E
活动二 牧民饮马问题的拓展
任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处. 牧民怎样走可使所走的路径最短
A
草地
河
你能用数学语言描述这个问题吗？
上面的问题可以转化为:
如图，在直线 l1 和直线 l2 上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.
l1
l2
A
利用轴对称知识，你知道怎么找到点M，N吗
作法如图.
(1)分别作出点A关于直线l1，l2的对称点A1，A2；
l1
l2
A
A1
N
A2
M
通过轴对称把周长最小值转化为两点间距离最短的问题. △AMN周长的最小值为AM+MN+AN=A1A2.
(2)连接A1A2，分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
任务2 如图，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处. 牧民怎样走可使所走的路径最短
A
草地
河
B
你能用数学语言描述这个问题吗？
上面的问题可以转化为:
如图，在直线 l1 和直线 l2 上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小.
l2
l1
B
A
B1
M
A1
N
作法如图.
(1)分别作点A，B关于直线l1，l2的对称点A1，B1；
(2)连接A1B1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
作图依据：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形AMNB的周长的最小值为AM+MN+NB+AB=A1B1+AB.
依据是两点之间，线段最短.
l2
l1
B
A
B1
M
A1
N
任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处. 如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短
草地
河
生活区
你能用数学语言描述这个问题吗？
上面的问题可以转化为:
如图，在直线l1、l2和l3上分别找到点A、B、C，使得△ABC的周长最小.
l1
l2
l3
作法如图.
(1)设直线l1和l2、l1和l3、l2和l3的交点分别为M、N、P；
(2)过点M作l3的垂线，交l3于点C；
(3)作点C关于直线l1，l2的对称点C1，C2；
(4)连接C1C2，交直线l1，l2于点A，B，
则点A，B即为所求.
M
N
P
C
C1
C2
B
A
作图依据：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，△ABC周长的最小值为AB+BC+AC=C1C2. 当MC最小，即MC⊥l3时，
C1C2最短.
依据是两点之间，线段最短.
l1
l2
l3
M
N
P
C
C1
C2
B
A
求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作固定点关于动点所在直线的对称点，连接对称点，对称点的连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
方法总结
任务4 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
如图，河流AB与公路CD相交于点O，∠BOD＝30°，∠BOD的内部有一牧马点P，且OP＝6 km，牧民驱马需先将一封信送到公路边，然后再去河边饮马，饮完马后回到牧马点，请你帮牧民设计出所走的最短路径，并计算最短路径的长.
如图，分别作点P关于AB，CD的对称点E，F，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接PM，PN，则折线PN－NM－MP即为最短路径.
F
E
N
M
连接OE，OF，由对称性可知：OP＝OE＝OF＝6 km，MP＝ME，NP＝NF，∠POB=∠EOB，∠POD=∠FOD，
∴∠POE＝2∠POB，∠POF＝2∠POD，
∴∠EOF＝∠POE＋∠POF＝2∠POB＋2∠POD＝2∠BOD＝60°，
又∵OE＝OF＝6 km，
∴△EOF是等边三角形，
∴EF＝OE＝OF＝6 km，
∴PN＋NM＋MP＝FN＋NM＋ME＝EF＝6 km.
F
E
N
M
任务一 如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
活动三 造桥选址问题
如图，我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN⊥直线b，交直线a于点M.
上面的问题可以转化为:
A
B
a
b


M
N
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN＋NB最小
由于河宽固定，因此当AM＋NB最小时，AM+MN+BN最小.
B
a
b

A

M
N
思考 1.当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小
能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把这个问题转化为“牧民饮马”问题
将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.
A′

A

M
思考 2.当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小？
B
a
b

A

M
N
A′

A

M
作法如图.
连接A'B，线段A'B与直线b的交点N的位置即为所求.
试着证明这个结论吧.
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B∴A′N+NB即A′N+NB+MN∴AM+NB+MN即AM+NB+MN的值最小.
B
a
b

A

M
N
A′

A

M
N′
M′
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等图形变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
方法总结
A1
任务2 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
某大学建立分校，本部与分校隔着两条平行的小河. 如图，小河甲的两岸为l1，l2，小河乙的两岸为l3，l4，且l1//l2//l3//l4，A为本部大门，B为分校大门. 为了方便两校区人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸. 为使A，B两点间来往路径最短，试在图中画出符合条件的路径，并标明桥的位置.
A
B
l1
l2
l3
l4
甲
乙
解：作法如图.
B1
每组选出代表向全班同学展示本组的研究成果，分享活动经验，并反思活动中的不足.
①明确分工：使每位成员都有明确的任务.
②完成活动任务，形成研究报告.
组成5～8人一组的研究小组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人.
展示交流
组建合作团队
方案构思
方案实施
讨论与交流，集思广益，形成解决任务的方案.
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成表、表现评分表、自我反思表等进行评价. 与老师和全班同学一起，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和教师评价，完成本次综合与实践活动.
1.如图，已知点 D，点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的中点，AD = 5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF + EF 的最小值为_____.
A
B
C
D
E
F
解析：∵点B 和点C 关于直线 AD 对称，
∴BF = CF .
求BF + EF 最小值，只需 CF + EF 最小.
连接EC，线段 CE 的长即为 BF + EF 的最小值.
∵D、E 是等边△ABC 中 BC、AB 的中点，
∴CE = AD = 5.
∴BF+EF的最小值为5.
5
2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在BC上．
(1)分别在AB，AC上找点E，F，连接EF，DF，使得DF＋EF最小；
解：作法如图.
(1)作点D关于AC的对称点D′；
(2)过D′作AB的垂线，交AB于点E，交AC于点F；
(3)点E，F即为所求作. 此时DF＋EF的值最小，为线段D′E的长度.
D′
E
F
(2)在(1)的作图条件下，当点D在BC上运动时，判断DF＋EF的值是否会发生变化？请说明理由．
解：DF＋EF的值不会发生变化，理由如下；
如图，连接BF，
因为D′E⊥AB，所以∠AEF＝90°.
又因为△ABC为等腰直角三角形，∠A＝45°，
所以∠AFE＝180°－90°－45°＝45°＝∠A，
所以EF＝AE.
D′
E
F
因为∠AEF＝∠ABC=90°，所以D′E∥BC，
所以∠DBF＝∠EFB，∠BDF＝∠DFD′.
因为∠EFA＝∠D′FC=∠DFC=45°，
所以∠DFD′＝90°=∠BDF.
在△BDF和△FEB中，，
所以△BDF≌△FEB(AAS)，所以DF＝BE，
所以DF＋EF＝BE＋AE＝AB，
所以DF＋EF的值不变，恒为AB的长．
D′
E
F
E
D
3.如图，某河在CC1处直角拐弯，河宽均相同，现要在河流拐弯的两旁分别造桥DD1，EE1，桥要与河垂直，问如何造桥可使ADD1E1EB的路程最短？
A
B
B1
A1
D1
E1
C
C1
解：作法如图.
(1)作 AA1⊥外河岸，且 AA1 = 河宽；
(2)作 BB1⊥外河岸，且 BB1 = 河宽；
(3)连接 A1B1，与内河岸相交于 E1，D1；
(4)过 E1，D1作河岸的垂线段 EE1 、DD1，即为桥.
牧民饮马
问题
牧民饮马问
题的拓展
造桥选址
问题
最短路径
问题

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