资源简介

(共24张PPT)
1. 探索并掌握等边三角形的性质．
2. 探索并掌握等边三角形的判定方法．
3.了解等边三角形与等腰三角形的关系.
4. 会运用等边三角形的性质和判定方法解决几何问题.
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
两条边相等
三条边相等
我们知道，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形. 对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和判定.
探究1 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
等腰三角形的性质 等边三角形的性质
边 两边相等(定义)
角 等边对等角
“三线合一” 是
轴对称图形 是；1条或3条对称轴
三边相等(定义)
？
？
？
思考1
等边三角形的三个角都相等吗？
C
A
B
已知：如图，△ABC 是等边三角形.
求证：∠A =∠B =∠C= 60°.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB = AC = BC.
∴∠B =∠C=∠A .
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
猜想:等边三角形的三个角都相等
归纳总结
等边三角形的性质 1：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 60°.
符号语言：
如图，在△ABC中，
∵AB=BC=AC，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
C
A
B
等边三角形有“三线合一”的性质吗？为什么？
思考2
归纳总结
等边三角形的性质 2：
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合( 简写成“三线合一”)
C
A
B
∟
∟
∟
等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
C
A
B
思考3
归纳总结
等边三角形的性质 3：
等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴.
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE的长.
A
B
C
D
E
解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DBE= ∠ABC=30°.
∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°.
∴CD=CE= AC= .
探究2
一个三角形满足什么条件是等边三角形？
等边三角形
一般三角形
三条边相等
可以类比等腰三角形的判定方法来研究
判定方法 等腰三角形 等边三角形
边 有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)
角 有两个角相等的三角形是等腰三角形
三边都相等的三角形是等边三角形(定义)
三个角都相等的三角形是等边三角形？
已知：如图，在△ABC 中，∠A =∠B =∠C.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：∵∠A =∠B，∠B =∠C，
∴AB = BC = AC.
∴△ABC 是等边三角形.
C
A
B
证明
三个角都相等的三角形是等边三角形.
一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形
思考4
等腰三角形
等边三角形
三条边相等
分类讨论：
(1) 腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形；
(2) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 .
三边相等(定义)
证明
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 .
情况一：等腰三角形的顶角为60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.
证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠A=60°，
∴∠B=∠C= (180°-∠A)=60° .
∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
证明：∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60° .
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°.
∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
情况二：等腰三角形的底角为60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.
证明：△ABC是等边三角形.
等边三角形的判定方法
判定方法 符号语言 图形
三条边都相等的三角形是等边三角形 /
C
A
B
归纳总结
在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C，
∴AB=BC=AC.
在△ABC中，
∵∠A=60°
(或∠B=60°
或 ∠C=60°)，
∴AB=BC=AC.
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是 60° 的等腰三角形
是等边三角形
例2 如图，△ABC 是等边三角形，DE // BC，分别交 AB，AC 于点 D，E. 求证：△ADE 是等边三角形.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵DE//BC，
∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED .
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
变式 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.若∠E=60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形.
证明：∵AD//BC，∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠EAD，∴BE//CD，
∵∠E＝60°，∴∠ECD＝∠E＝60°，
又∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD＝60°，
∴∠EBC＝60°，∴∠E＝∠B＝∠BCE，
∴△BCE为等边三角形．
1.下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是( )
A.AB=AC，∠B=60°
B.AB=AC，∠A=∠B
C.∠A=∠B=60°
D.∠A+∠B=2∠C
D
2.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于( )
A.18°
B.20°
C.30°
D.15°
D
3.(2023江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为________cm.
2
4.(补充证明过程)已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠ABD=30°,求证：△ABC为等边三角形.
证明：∵AB=BC，
∴△ABC是 _____________.
∵BD⊥AC于点D，
∴∠ABC=2∠ABD=________.
又AB=BC，
∴△ABC为等边三角形.(_______________________________________ )
等腰三角形
60°
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
5.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E，若DE＝3，求BC的长.
解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE为等边三角形，∴OD＝DE＝OE＝3，
∵BO平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DBO，∠ABO＝∠DOB，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD，
同理可得CE＝OE，∴BC＝BD＋DE＋CE＝OD＋DE＋OE＝9.
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60°
轴对称性
轴对称图形，有3条对称轴
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
性质
“三线合一”

展开更多......

收起↑