资源简介

(共24张PPT)
1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.
2.运用“边角边 (SAS)”判定方法进行简单的证明.
3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件.
小钰在家中整理物品时，不小心将家里的几个三角形玻璃装饰品打碎了，她已经将碎片收集好并拼好，决定带最少的玻璃碎片去店里制作新的三角形玻璃装饰，最少带几块去呢？
怎么办啊
要不我们把两个碎片都带着！
①
②
A
B
C
一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证制作的三角形玻璃和之前的全等吗？
玻璃(1)
根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A'B'C'满足三条边分别相等，三个角分别相等，即
AB=A'B'，BC=B'C'，CA=C′A'，
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C′，
就能判定△ABC≌△A'B'C'.
问题 利用全等三角形的定义如何判定三角形全等？
A
B
C
A′
B′
C′
能否在这六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
只带碎片②，保证一边相等可以吗？
探究1 (1)先任意画出一个△ABC，再画△A′B′C′，使得△ABC和△A′B′C′一边相等，你画的△ABC和△A′B′C′一定全等吗？
A
B
C
A′
B′
C′
不一定全等.
探究1 (2)先任意画出一个△ABC，再画△A′B′C′，使得△ABC和△A′B′C′一角相等，你画的△ABC和△A′B′C′一定全等吗？
A
B
C
A′
B′
C′
不一定全等.
探究1 (3)先任意画出一个△ABC，再画△A′B′C′，使得△ABC和△A′B′C′一边和一角相等，你画的△ABC和△A′B′C′一定全等吗？
A
B
C
A′
B′
C′
不一定全等.
同学们自己画一画，两个三角形的两条边或两个角分别等时，这两个三角形全等吗
带碎片①，保证三个条件相等可以吗？
满足六个条件中的一个或两个，△ABC和△A′B′C′不一定全等
探究2 先任意画出一个△ABC，再画△A′B′C′，使得△ABC和△A′B′C′两边及其夹角相等，你画的△ABC和△A′B′C′一定全等吗？
如图，直观上，如果∠A，AB，AC的大小确定了，△ABC的形状、大小也就确定了.
也就是说，在△A'B'C′与△ABC中，如果∠A′=∠A，A′B′=AB，A'C′=AC，那么△A′B'C′≌△ABC.
这个判断正确吗？
C
A
B
A′
B′
C′
由∠A′=∠A可知，如果使点A′与点A重合，并且使射线A′B'与射线AB重合，那么射线A'C′与射线AC重合.
C(C′)
A(A′)
B(B′)
由A'B′=AB，A'C′=AC，可知点B′，C′分别与点B，C重合.
△A'B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B'C′与△ABC能够完全重合.
△A'B′C′≌△ABC.
几何语言：如图，在△ ABC 和
△ DEF 中，
∴△ ABC ≌△ DEF ( SAS ).
书写顺序为“边—角—边”
夹角相等写在中间
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)
因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
归纳总结
例 如图，AC=AD，AB平分∠CAD，求证∠C=∠D.
C
A
B
D
分析：如果能证明△ABC≌△ABD，就可以得出∠C=∠D.由题意可知，△ABC与△ABD具备“边角边”的条件.
证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB.
在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(SAS)，
∴∠A＝∠D．
AB既是△ABC的边又是△ABD的边. 我们称它为这两个三角形的公共边.
变式 如图，点E、B在AD上，AE＝DB，AC＝DF，∠A＝∠D．
求证：BC∥EF．
证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴BC∥EF．
玻璃(2)
①
②
③
两边及一边的对角相等也可以保证制作的三角形玻璃和之前的全等吗？
带碎片①和碎片③就可以保证两边和一角相等，就可以还原这块玻璃！
思考 如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等. 如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗
A
B
C
D
如图，△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD显然不全等.
这说明，两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
1.如图1是路桥博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径CD，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出A，B两点之间的距离，即可得到CD的长度，其依据的数学基本事实是(　　)
A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两点之间，线段最短
B
2.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则可以直接判定(　　)
A. △AEG≌△ABC B. △AEG≌△ACF
C. △ABF≌△ADG D. △ABC≌△ADE
D
3.(2024云南)如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD．求证：△ABC≌△AED.
证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).
4. (解题方法型阅读理解题)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图(1)，△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围，经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图得到△ADC≌△EDB的理由是_______.
B
A. SSS B. SAS C. AAS D. HL
(2)求得AD的取值范围是_______.
A. 6＜AD＜8 B. 6 ≤ AD ≤ 8
C. 1 ＜AD＜7 D. 1 ≤ AD ≤ 7
C
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】(3)如图(2)，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．
求证：AC＝BF．
分析：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证得△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，即可证得AC＝BF．
M
M
证明：如图：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，∴BD＝DC，
在△ADC与△MDB中，
∴△ADC≌△MDB(SAS)，
∴AC＝MB，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．
拓展应用
找模型：遇到“中点”或“中线”考虑倍长中线模型.
用模型：倍长中线或作平行线构造全等三角形，再利用中线的性质证明三角形全等.
已知： AD 是△ ABC 的边 BC 上的中线，延长 AD 至点 E ，使 ED ＝ AD ，连接 BE
结论：△ ACD ≌△ EBD (SAS)
倍长中线
用“SAS”判定
三角形全等
几何语言：如图，在△ ABC 和△ DEF 中，
∴△ ABC ≌△ DEF ( SAS ).
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)

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