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(共19张PPT)
1. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2. 灵活运用直角三角形全等的判定方法进行证明计算.
前面我们学习了哪些三角形全等的判定方法？
直角三角形又有怎样特殊的判定方法呢 让我们来一起研究一下这个问题吧！
回顾
边边边(SSS)；边角边(SAS)；角边角(ASA)；角角边(AAS).
前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形. 因为两个直角三角形的直角相等，请你列出其他两个使直角三角形全等的条件.
如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗
思考
1. 两条直角边分别相等(SAS)；
2. 斜边和一个锐角分别相等(AAS或ASA).
探究 如图，在△ABC和△A'B'C′中，∠C′=∠C=90°，A′B′=AB，B'C′=BC. 这两个三角形全等吗
A
C
B
A′
C′
B′
如图，由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C′B'与射线CB重合. 再由B'C′=BC，可知点B′与点B重合.
为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.
设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，则∠BMA>∠C，∠BMA是钝角. 若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M'，则有AB>BM′>BM. 设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN＞AB.
B(B′)
C(C′)
A(A′)
M
M′
N
在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法.
因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个. 再由点A′在射线CA上，A'B′=AB，可知点A'与点A重合. 这样，△A'B'C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B'C′与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC.
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.
( 可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
判定直角三角形全等的方法:
归纳总结
用符号语言表达：
在 Rt△ABC 与 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，
∵
BC = B'C'
AB = A'B'
∴ △ABC ≌ △A'B'C' ( HL ).
B'
A'
C'
B
A
C
例 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC = BD.
求证：BC = AD.
A
B
C
D
分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD. 由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C =∠D = 90°.
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA，
AC = BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)，
∴BC = AD.
A
B
C
D
例 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC = BD.
求证：BC = AD.
变式 如图，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB=DE.求证：AB∥DE.
证明：∵AD⊥BE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ACB和△DCE是直角三角形.
∵C是BE的中点，
∴BC=EC.
在Rt△ACB和Rt△DCE中，
∴△ACB≌△DCE(HL)，
∴∠B=∠E，∴AB∥DE.
AB=DE
BC=EC
A
B
C
D
E
1.如图，要用“HL” 判断Rt△ABC和 Rt△DEF全等的条件是( )
C
A. AC=DF，BC=EF
B. ∠A=∠D，AB=DE
C. AC=DF，AB=DE
D. ∠B=∠E，BC=EF
2.如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=( )
A.28° B.59°
C.60° D.62°
B
A
C
D
B
E
3.(结论开放)如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，∠BED=∠CFA=90°，且AB=CD，若要使Rt△ACF≌Rt△DBE，
则可以添加的条件是 (请写出一个答案即可).
CF = BE(答案不唯一)
4.如图AB=AE，BC=ED，AB⊥BF，AE⊥EF，F是CD上一点，∠C=∠D=90°，证明：Rt△BCF≌Rt△EDF.
证明：如图，连接AF，
∵AB⊥BF，AE⊥EF，
∴∠ABF=∠AEF，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF(HL)，∴BF=EF，
在Rt△BCF和Rt△EDF中，
∴Rt△BCF≌Rt△EDF(HL).
AF=AF
AB=AE
BF=EF
BC=ED
5.如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，若BE=CF，写出图中所有的全等三角形，并说明理由.
解：①△BCF≌△CBE；
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠CFB=∠BEC=90°，
∵BE=CF，BC=BC，
∴△BCF≌△CBE(HL);
②△ABE≌△ACF；
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∵BE=CF，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACF(AAS);
5.如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，若BE=CF，写出图中所有的全等三角形，并说明理由.
解：③△BOF≌△COE；
设BE与CF相交于点O，
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠OFB=∠OEC，
由①知△BCF≌△CBE，∴BF=CE，
又∵∠BOF=∠COE，
∴△BOF≌△COE(AAS).
O
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”).
只须找除直角外的两个条件即可
(两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等)
证明方法
内容
用“HL”判定
直角三角形全等
在直角三角形中
前提条件

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