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第四章 指数函数与对数函数
4.3对数
4.3.1 对数的概念
学案
一、学习目标
1.理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系，及常用对数和自然对数
2.掌握对数式和指数式的互化.
3.通过指数与对数的互化培养学生的逆向思维.
基础梳理
1.对数的概念
如果，那么数x叫以a为底N的对数，记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数.
2.常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，可简记为，可简记为.
3.对数与指数的关系.若= x.
4.负数和0没有对数.
5.对数恒等式：= N；= x（a＞0且a≠1）.
三、巩固练习
1.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y℃，且.当茶水温度降至55℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（结果保留整数，参考数据：）( )
A.6 min B.7 min C.8 min D.9 min
2.已知，则( )
A. B. C.6 D.5
3.天文学中为了衡量天体的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯( Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,天体就越亮;星等的数值越大,天体就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R. Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述,两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍,则r的近似值为(当较小时,)( )
A. B. C. D.
4.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系(为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )
A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时
5.设，则( )
A. B. C. D.
6.（多选）若,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7. （多选）若，则( )
A. B. C. D.
答案以及解析
1.答案：B
解析：本题考查指数、对数的互化及对数的运算，指数函数在实际生活中的应用.由题意可知，当时，，即，解得，所以.当时，，即，则，所以茶水泡制时间大约为7 min.故选B.
2.答案：A
解析：本题考查指数式、对数式的互化与运算.因为，所以，因此.故选A.
3.答案：B
解析：本题考查对数式与指数式的互化以及对数运算.设“心宿二”和天津四”的亮度分别为.由题意得，，所以，所以，所以与r最接近的是，故选B.
4.答案：C
解析：由题意，得②÷①，得，故.故食品在33℃的保鲜时间是(小时).
5.答案：B
解析：，，，故选B.
6.答案：ACD
解析：由,得,则,又,,故选ACD.
7.答案：AD
解析：因为在上单调递增，且，所以，故A正确；因为在R上单调递增，且，所以，故B错；取，，知，故C错；由指数函数的性质可知D正确.故选AD.

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