资源简介

2025-2026学年四川省荣县中学校高二上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 , 2的方向向量分别为 = (1,4, 2), = ( 2,1, )，若 1 ⊥ 2，则 等于( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.在开学质检考试后，某小组长对本组 6 名同学的数学各题得分进行统计，其中 6 名同学在最后一道解答
题的得分按从低到高的顺序排列为：6，7，8， ，12，15，已知该组数据的中位数等于这组数据的极差，
则 =( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
3.甲、乙两个不透明的袋中各有 5 个仅颜色不同的球，其中甲袋中有 3 个红球，2 个白球，乙袋中有 2 个
红球，3 个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为
A. 4 9 12 135 B. 25 C. 25 D. 25
4.如图，在三棱锥 中， , , 两两垂直， = 2, = = 1, 为 的中点，则 的值
为( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 13 4 2
5.若一组数据 1, 2, 3, 4, 5的平均数为 5，方差为 2，则 2 1 3,2 2 3,2 3 3，2 4 3,2 5 3 的平均
数和方差分别为( )
A. 7， 1 B. 7，1 C. 7，2 D. 7，8
6.已知空间中三点 (0,1,0)， (2,2,0)， ( 1,3,1)，则下列结论中正确的有( )
A.平面 的一个法向量是(1, 2,5) B. 的一个单位向量的坐标是(1,1,0)
C. | | = 2 D. 与 是共线向量
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7.如图，在三棱锥 中，点 为底面 的重心，点 是线段 上靠近点 的三等分点，过点 的
= = = 1+ 1 + 1平面分别交棱 ， ， 于点 ， ， ，若 ， ， ，则 =( )
A. 133 B.
2 C. 3 93 2 D. 2
8.如图，正方体 1 1 1 1中， ， 分别是线段 , 1 上的动点(不含端点)，则下列各项中会随着
， 的运动而变化的是( )
A.异面直线 1与直线 所成的角的大小
B.平面 1 1与平面 1 所成的角的大小
C.直线 1到平面 1 距离的大小
D.异面直线 1， 1之间的距离的大小
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系 中，以下结论正确的是( )
A.点 ( 3,1,5)关于原点 的对称点的坐标为(3, 1, 5)
B.点 (1,3, 4)关于 轴的对称点的坐标为( 1, 3,4)
C.点 ( 1,2,3)关于 平面对称的点的坐标是( 1,2, 3)
D.两点 ( 1,1,2), (1,3,3)间的距离为 3
10.某中学学生会对本校高二年级 1000 名学生睡觉时间情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为 50，将
数据分组整理后，列表如下：
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一星期内 23：00 后睡觉的天数 0 1 2 3 4 5 6 7
23：00 后睡觉人数占调查人数的百分
4% 4% 8% % 20% 24% 16% 10%
比
从表中可以得出正确的结论为( )
A.表中 的数值为 14
B.估计该校高二年级学生中一星期内 23：00 后睡觉的天数不超过 3 天的约有 160 人
C.估计该校高二年级学生中一星期内 23：00 后睡觉的天数的众数为 5
D.估计该校高二年级学生中一星期内 23：00 后睡觉的天数的第 80 百分位数为 6
11.如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 2 1 = 4，点 为 1的中点，点 为侧面 1 1 (含
边界)上的动点，则下列说法正确的是( )
A.存在点 ，使得 ⊥ 1
B.满足 = 1的点 的轨迹长度为 5
C. + 1的最小值为 4 2 + 2 5
D.若 平面 4，则线段 长度的最小值为5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 1 1.已知甲、乙两球落人盒子的概率分别为4和3 .假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球至少有一个
落入盒子的概率为 ．
13.已知直线 的方向向量 = ( ,1,2)，平面 的法向量 = (2, , 4)，若 ⊥ ，则 2 + = ．
14.在空间直角坐标系 中，有点 (1,0,0)， (0,2,0)， (0,0,3)，平面 过点 、 、 ，点 是平面 外一点，
其坐标为(1,2,3)，点 是点 在平面 上的投影.过点 作一条直线 ，使得 与平面 所成的角为 60°，且直线
交平面 于点 .已知 = ，则 的值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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如图，已知平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为 1 的正方形， 1 = 2, ∠ 1 = ∠ 1 =
60°，设 = , = , 1 = ．
(1)用 , , 表示 1，并求 1 ；
(2)求 cos 1, ．
16.(本小题 15 分)
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评
分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50), [50,60), …, [80,90), [90,100]
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在[40,50)的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，∠ = 90°， ⊥平面 ， = = 1， =
2， 是 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
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(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2025 年 8 月 21 日， 在官方公众号发文称，正式发布 3.1 模型，此次升级也标志着
国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针
对 ， 两部门开展专项技能培训．
(1)已知该公司 ， 两部门分别有 3 位领导，此次培训需要从这 6 位领导中随机选取 2 位分别负责第一天
和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由 ， 两部门的领导分别负责一天的
概率；
(2) 3 2 1此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为4 , 3 , 2，每轮的培训结果均
相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率．
19.(本小题 17 分)
已知四棱锥 的底面是边长为 1 的正方形，其中 ≠ ，二面角 的大小为60 ，平面
⊥平面 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 = 1，求直线 与平面 所成角的大小；
(3)如图，若 ⊥ ，平面 ∩平面 = , 为 上一动点.平面 与平面 夹角的大小为 ，求 cos
的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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10.
11.
12.12
13. 4
14.4849
15.【详解】(1)解：因为 = , = , 1 = ，且 = , 1 = 1，
所以 1 = + + 1 = + + 1 = + + ，
又因为底面 是边长为 1 的正方形且 1 = 2, ∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
2 2
所以 1 = + + =
2 + + 2 + 2 + 2 + 2
= 1 + 1 + 4 + 0 + 2 × 1 × 2 × 12 + 2 × 1 × 2 ×
1
2 = 10．
(2)解：因为底面 是边长为 1 的正方形，且 1 = 2，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
又由 = = , 1 = ，
所以 1 = = = 2 × 1 ×
1
2 2 × 1 ×
1
2 = 0，
所以 cos 1,
1 =

= 0． 1
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16.【详解】(1)因为(0.004 + + 0.018 + 0.022 × 2 + 0.028) × 10 = 1，
所以 = 0.006
(2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022 + 0.018) × 10 = 0.4，
所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4
(3)受访职工评分在[50,60)的有：50 × 0.006 × 10 = 3(人)，
即为 1, 2, 3；
受访职工评分在[40,50)的有：50 × 0.004 × 10 = 2(人)，即为 1, 2．
从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是
1, 2 , 1, 3 , 1, 1 , 1, 2
2, 3 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 1 , 3, 2 , 1, 2
又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种，即 1, 2 ，
= 1故所求的概率为 10
17.【详解】(1)证明：∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ ∠ = 90 ， ，
则∠ = 90°，
则 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面
∴ ⊥平面 ；
(2) ∵ ⊥平面 ， ⊥ ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图
所示的空间直角坐标系，
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∵ = = 1， = 2，∠ = 90°，则 = 2 2 = 1，
∵ 1 1为 的中点，则 = 2 = 2，
则 0,0,0 、 0,0,1 、 1, 12 , 0 、 0,1,0 、 1,0,0 ，
= 0,0,1 ， = 1, 1 , 0 ， = 1, 1,0 ， 2 = 0, 1,1 ，
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
设平面 的法向量为 = 2, 2, 2 ，
由 = 0
1 = 0
，得 1 = 0，取 1 = 1，则 = 2, = 0 1 1
= 0，可得 = 1,2,0 ，
1 2 1
= 0 2 由 2
= 0

，得
= 0 2 + = 0
，取 2 = 1，则 2 = 1, 2 = 1，可得 = 1,1,1 ，
2
因为 cos < , > = = 3 15 5× 3 = 5 ，结合图像二面角为锐角，
15
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 5 ．
18.【详解】(1)记 部门的 3 名领导为 1, 2, 3， 部门的 3 名领导为 1, 2, 3，
从这 6 位领导中随机选取 2 位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有：
1 2, 1 3, 1 1, 1 2, 1 3, 2 1, 2 3, 2 1, 2 2, 2 3, 3 1, 3 2, 3 1, 3 2, 3 3,
1 1, 1 2, 1 3, 1 2, 1 3, 2 1, 2 2, 2 3, 2 1, 2 3, 3 1, 3 2, 3 3, 3 1, 3 2，
共 30 种，
这两天的工作由 ， 两部门的领导分别负责一天，不同结果有：
1 1, 1 2, 1 3, 2 1, 2 2, 2 3, 3 1, 3 2, 3 3, 1 1, 1 2, 1 3, 2 1, 2 2, 2 3, 3 1, 3 2, 3 3,共 18 种，
18 3
所以这两天的工作由 ， 两部门的领导分别负责一天的概率为30 = 5．
(2)记 =“每位员工经过培训合格”， =“每位员工第 轮培训达到优秀”( = 1,2,3)，
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= 3则 1 4 ,
2 1
2 = 3 , 3 = 2， = 1 2 3 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3，
依题意， ( ) = 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3
= 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3
= 3 × 2 × 1 + 1 × 2 × 1 + 3 × 1 × 1 + 3 × 2 × 1 = 174 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24，
17
所以每位员工经过培训合格的概率为24．
19.【详解】(1)连接 , 交于点 ，连接 ，在平面 内过 作 ⊥ ，垂足为 ，
因为 ≠ ，所以垂足 不与点 重合，如图：
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = , 平面 ，则 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
在正方形 中， ⊥ ． ∩ = , 平面 , 平面 ，
则 ⊥平面 ，又因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)方法一：在平面 内，过 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，
由(1)得， ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ，且 ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
所以易知∠ 是二面角 的平面角，∠ = 60°，
2
在边长为 1 的正方形 中， = 2 ，
2 3 6
所以 = tan30° = 2 × 3 = 6 ，
6
在 中，sin∠ = = 6 = 3 2 3 ，
2
在 中， = 2, cos∠ = 1 sin2∠ = 63 , = 1，
12 = ( 2)2 + 2 2 2 cos∠ 3，解得 = 3或 = 3 ，
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( )当 = 3，又因为 = 2，在 中，满足 2 + 2 = 2，则 ⊥ ．
又因为 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，则 ⊥ ，所以 = 2 + 2 = 2，
又因为 //平面 ，所以 到平面 的距离与 到平面 的距离相等，
过 作 ⊥ ，垂足为 .又因为易证 ⊥平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
平面 ∩平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
在 中， = 2 22 ，所以 到平面 的距离为 2 ．
2
设 与平面 1所成角为 ，则 sin = 22 = 2，
又因为 ∈ 0, 2 ，则 = 6．
2
( )当 = 3，在 中，12 = 33 3 + ( 2)
2 2 × 33 2 cos∠ 得：cos∠ =
6
3 ，
3 2 2 3 2
如图，在 中， 2 = 23 + ( 2 ) 2 × 3 × 2 cos∠ =
1
6，
中， = 2 + 2 = 1 1 2 66+ 2 = 3 = 3 ，
因为 = = 2 ，
1 1设 到平面 的距离为 ，所以3 = 2 × 3 ，
1 1 6 3 1 1 6 3
得：3 2 × 3 × 3 = 2 3 × 2 × 6 × 3 ×
2 = 22 ，解得 2 ，所以 到平面
2
的距离为 2 ，
2
3 设 与平面 所成角为 , sin = 26 = 2 ，又因为 ∈ 0, 2 ，所以 = 3．
3
综上， 与平面 所成角为6或3．
方法二：以 为 轴，以 为 轴，过点 的平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，如图．
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则 (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0)，
设 ( , , )，则 = ( , , ), = ( 1,1,0).因为 = 1，
所以 2 + 2 + 2 = 1①.
因为 ⊥ ，所以 = + = 0②.
因为 ⊥平面 ，所以平面 法向量 = (1, 1,0)，
= 0
设平面 法向量 1 = ( , , ), = (0,1,0), = ( 1, , )
1， ,
1 = 0
= 0
则 ( 1) + + = 0，不妨取 = ，则 = 1 .所以 1 = ( , 0,1 )．

因为二面角 为60°，所以 cos

, = 1 | | 11 | = = ③.| 1 1+1 2+(1 )2 2
由①②③解得 = 0, = 0, = 1 2 2 1，或 = 3 , = 3 , = 3，即 (0,0,1)或
2 2 1
3 , 3 , 3 ．
( )当 (0,0,1)时， = (1,0, 1), = (1,1, 1), = (0, 1,1)
= 0 + = 0, = 0,
设平面 法向量 22 = ( , , ), 则 即 = 0 + = 0, = .2
不妨取 = 1，则 = 1.所以 2 = (0,1,1)．
cos , = 2 1 12 | = = ， | 2 1+1 1+1 2
设 与平面 所成角为 ，
sin = cos , = 1 π2 2 .又因为 ∈ 0, 2 ，所以 = 6．
( ) 2 2 1当 1 23 , 3 , 3 时， = 3 , 3 ,
1 , = 1 , 13 3 3 ,
1
3 ,
= 2 , 1 13 3 , 3 ．
3 = 0设平面 法向量 3 = ( , , ), , 3 = 0
1 1 1
则 3
+ 3 3 = 0 = 0
2 1 ，即 ,
3 3 +
1 = 0 = 3
不妨取 = 1，则 = 1.所以 3 = (0,1,1)．
2 1
cos
3, = 3
+3 3
3 |
= =
| 3 1+4+1 1+1 2
，
9 9 9
, sin = cos , = 3 . ∈ 0, π π设 与平面 所成角为 3 2 又因为 2 ，所以 = 3．
π 综上， 与平面 所成角为6或3．
(3)法一：因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 面 ，所以 ⊥面 ．
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所以 ⊥ , ⊥ .以{ , , }为正交基建立空间直角坐标系．
因为 // , 平面 , 平面 ，所以 //平面 ．
又因为 平面 ，且平面 ∩平面 = ，所以 // , // ，
设 (0,0, ), (0, , ), (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0)， = (1,1, ), = (0,1,0)，
= 0
设平面 法向量 4 = ( , , )

， 4
,
4 = 0
+ = 0
则 = 0，不妨取 = 1，则 = .所以 4 = ( , 0,1)．
因为 ⊥平面 ，所以平面 法向量 = (1, 1,0)．
因为二面角 为60°，所以 cos60° = cos , 4 ，
1 = 即2 ，解得 = 1，即 = 1． 2+1 2
→ →
设 (0, , 1), = (0, , 1), = (1,0,0)，设平面 法向量 5 = ( , , )，
5 = 0 = 0
，则 ，不妨取 = 1，则 = .所以 = (0,1, )． 5 = 0 + = 0
5
= (0, 1,1), = (1,0,0)，设平面 法向量 6 = ( , , )，
6 = 0 = 0,

，则
= 0 ( 1) + = 0,
不妨取 = 1，则 = 1 ，所以 6 = (0,1,1 )．
6
则|cos | = cos 5,
|1 (1 )|
6 = ，
1+ 2 1+(1 )2
2
= , = 1 , + = 1, cos = |1 | = 1+
2 2
设
1+ 2 1+ 2 1+ 2 2+ 2+ 2
= 1+
2 2 2 2 2 2 +1 1
2 2+( + )2 2 +1 = 2 2 2 +2 = 1 ( 1)2+1，
≤ +
2
2 =
1 1
4 .当且仅当 = = 2时，(cos )min =
3 3
5，即 cos 最小值为5．
法二：求出 = 1 的过程同法一，
将 补成正方体 ，平面 ∩平面 = ，所以 即为 ．
又因为 ∈ ，过 作 ⊥ ，垂足为 ，因为 ⊥平面 ，
所以∠ 为二面角 的平面角 ．
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1
2 2
在 中，2 sin =
1
2
+ 1
④，cos = 2 ⑤，
由④⑤得：2cos 1 2 2sin = + 1 ≥ 2 1，
2cos 1 1则 sin ≥ 2 sin 1，得 2cos ≥ 2 sin > 0．
则 4 1 sin2 ≥ 4 + sin2 4sin ，解得 0 ≤ sin ≤ 45，
当且仅当 = 时，(sin )max =
4
5，此时 cos = 1 sin
2 = 3 35，即 cos 最小值为5．
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