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2025-2026学年四川省成都市西北中学高二上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点 1,3,5 关于原点成中心对称的点的坐标是( )
A. 1, 3, 5 B. 1, 3,5 C. 1,3, 5 D. 1, 3, 5
2.已知点 是点 5,4,3 在坐标平面 内的射影，则 =( )
A. 5 B. 34 C. 41 D. 5 2
3.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对 400 名学生进行抽样，先将 400 名学生进行编号，001，
002，……，399，400.从中抽取 40 个样本，如图提供随机数表的第 5 行到第 6 行，若从表中第 5 行第 6 列
开始向右读取数据，则得到的第 3 个样本编号是( )
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A. 457 B. 253 C. 007 D. 860
4.已知 = 2, 1,3 ， = 4,2, ，且 // ，则 的值为( )
A. 6 B. 6 C. 103 D.
10
3
5.如图， 1 1 1 1是正方体，则 和 1 所成角的余弦值为( )
A. 0 B. 1 4 5 4 59 C. 9 D. 9
6.若 , , 构成空间的一个基底，则下列向量可以构成一个基底的是( )
A. + , , B. , , +
C. , , + D. + + , , +
7.已知一组样本数据 = 1,2,3, , 20 ，其中 = 1,2,3, , 20 为正实数．满足 1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ ≤ 20.
下列说法不正确的是( )
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A. 50 10+ 样本数据的第 百分位数为 112
B.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数
C.已知这组数据的极差是 6，则数据 2 1 1,2 2 1, , 2 20 1 的极差是 11
D.样本数据的方差 2 = 1 20 220 =1 16，则这组样本数据的总和等于 80
8.四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没
有出现点数 6 的是( )
A.平均数为 3，中位数为 2 B.平均数为 2，方差为 2.4
C.中位数为 3，众数为 2 D.中位数为 3，方差为 2.8
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.柜子里有 3 双不同的鞋，如果从中随机地取出 2 只，设事件 =“取出的鞋不成双”，事件 =“取出的
鞋都是左脚的”，事件 =“取出的鞋都是一只脚的”，事件 =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不
是一双鞋”，则下列关系正确的有( )
A. 和 互斥 B. 和 互斥 C. D. = ∪
10.下列命题是假命题的是( )
A.零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；
B.若 是直线 的方向向量，则 ∈ 也是直线 的方向向量；
C.在空间直角坐标系中， = 0,1,0 是坐标平面 的一个法向量；
D. = 2, 3,1 , = 2,0,3 , = 0,0,2 ，则 = 9．
11.下列说法正确的是( )
A.用简单随机抽样的方法从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 5 的样本，则个体 被抽到的概率是
0.1；
B.已知一组数据 1,2, , 6,7 的平均数为 4，则这组数据的方差是 5；
C.数据 27，12，14，30，15，17，19，23 的第 80 百分位数是 23；
D.若样本数据 1, 2, …, 10的标准差为 1，则数据 2 1 1,2 2 1,…, 2 10 1 的标准差为 2．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知空间四边形 ，点 分别为 、 的中点，且 = , = , = ，用 、 、 表示 ，
则 = ．
13 1.在长方体 1 1 1 1中， = 2, = 3, 1 = 4.以 为原点，以 3 ,
1 , 12 4
1 为空间的一个
单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面 1的一个法向量为 (用向量的坐标表示)．
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14.若 = 0.6, = 0.8，且 与 相互独立，则 = ， ∪ = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某高校的入学面试中共有 3 道题目，面试者依次作答，一旦某题答对则面试通过，否则作答下一题，3 题
答完为止．小李答对 3 题的概率分别为 0.6，0.5，0.4.用 表示答对题目，用 表示没有答对题目，假设小李
对不同题目能否答对是独立的，那么
(1)写出样本空间；
(2)求小李答完第 3 题才通过面试的概率；
(3)求小李最终通过面试的概率．
16.(本小题 15 分)
在平行六面体 ′ ′ ′ ′中， = 4， = 3， ′ = 5，∠ = 90 ，∠ ′ = ∠ ′ =
60 .求：
(1) ′ ；
(2) ′ 的长；
(3) ′与 ′ 所成角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，侧棱 ⊥底面 ， 是 的中点， 是 的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ⊥平面 ；
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(3)若 = , ∠ = 60 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
记 的内角 、 、 的对边分别为 ， ， ，已知 sin = 2cos ， 2 + 2 2 = 2
(1)求 ；
(2)若 的面积为 3 + 3，求 ．
19.(本小题 17 分)
“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，
造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理
和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出 100 人，并将这 100
人按年龄分为第 1 组 25,35 ，第 2 组 35,45 ，第 3 组 45,55 ，第 4 组 55,65 ，如图所示．
(1)求 的值，并估计这组数据的平均数和中位数；
(2)现从年龄在 35,45 及 45,55 的人群中按分层抽样抽取 5 人，再从中选 2 人作为生态文明建设知识宣讲
员，求这两人来自同一组的概率；
(3)从年龄在 35,45 及 45,55 的人群中按分层抽样共抽取 50 人，在抽取的人中年龄在 35,45 的平均数为 40，
方差为 14，年龄在 45,55 的平均数为 50，方差为 24．
( )已知总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
, , 21; , , 22，记总的样本平均数为 ，样本方差为 2.证明：

2 = 2 2 + 1 + + +
2
2 + 2
( )用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1 2 +
13. 4,6,3
14.0.48
0.92
15.【详解】(1)由 表示答对题目，用 表示没有答对题目，
那么可能的所有可能结果为： , , , ，
所以样本空间为： , , ,
(2)记 , = 1,2,3 分别表示答对和答错第 道题，
由题意知 ( 1) = 0.6, ( 2) = 0.5, ( 3) = 0.4，
小李答完第 3 题才通过面试，即前两道题目答错，第三道题目答对，
所以小李答完第 3 题才通过面试的概率 = ( 1 2 3) = ( 1) ( 2) ( 3) = (1 0.6)(1 0.5) × 0.4 =
0.08．
(3)由题意知 ( 1) = 0.4, ( 2) = 0.5, ( 3) = 0.6，
则小李没有通过面试的概率为 ( 1 2 3) = ( 1) ( 2) ( 3) = 0.4 × 0.5 × 0.6 = 0.12，
所以小李通过面试的概率为 1 ( 1 2 3) = 1 0.12 = 0.88．
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16. (1) ′ = 【详解】 ′ cos60 = 5 × 4 × 12 = 10；
(2) ′ = ′ + + = + 因为 ′，
2 2 ′ =
2
+ ′ = +
2
+
2
′ + 2 2 ′ 2 ′所以 ，
= 42 + 32 + 52 + 2 × 0 2 × 10 2 × 3 × 5 × 12 = 15，

所以 ′ = 15；
(3) ′ = + ′又因为 ，
′ ′
2
所以 = + ′ ′ = ′ + ′ ′
= 10 + 3 × 5 × 1 52 = 152 2，

cos ′ , ′
′ ′ 15
所以 = 2 = 15×5 =
15
10 ， ′ ′
所以 15′与 ′ 所成角的余弦值为 10 ．
17.【详解】(1) ∵四边形 是菱形，
∴ 和 互相平分，
∵ 是 中点，
∴ 也是 中点，
又∵ = ，
∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵四边形 是菱形，∴ ⊥ ，
又∵ ∩ = ， , 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(3)过 作与 平行的直线与 交于 ，则 ⊥底面 ，
以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系；
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设 = = 2 由于∠ = 60 ，则 = 3， = 1，
则 (0,0,0)， (0, 1,2)， ( 3, 0,0)
所以 = ( 32 ,
1
2 , 1)，
由于 轴⊥平面 ，所以平面 的一个法向量 = (1,0,0)，

设直线 与平面 所成角为 ， ∈ 0, 2 ，
3
则 sin = cos , = 2 62×1 = 4 ，
10所以直线 与平面 所成角的余弦值 cos = 4
18.【详解】(1)由余弦定理有 2 + 2 2 = 2 cos ，对比已知 2 + 2 2 = 2 ，
2 2
cos = +
2 2 2
可得 2 = 2 = 2 ，
因为 ∈ 0, ，所以 sin > 0，
2 2 2
从而 sin = 1 2 = 1 2 = 2 ，
1
又因为 sin = 2cos ，即 cos = 2，
注意到 ∈ 0, ，

所以 = 3．
(2)由(1)可得 = 3，cos =
2 5
2 ， ∈ 0, ，从而 = 4， = 3 4 = 12，
而 sin = sin 5 12 = sin
+ = 2 × 34 6 2 2 +
2
2 ×
1 = 6+ 22 4 ，

由正弦定理有
sin5
= sin =3 sin
，
12 4
6+ 2 3+1 3 6
从而 = 4 2 = 2 , = 2 2 = 2 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
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= 1 2 sin =
1 3+1 6 2 3+ 3 22 2 2 2 = 8 ，
3+ 3
由已知 的面积为 3 + 3，可得 28 = 3 + 3，
所以 = 2 2．
19.【详解】(1)由题意可得 0.01 + 0.02 + + 0.04 × 10 = 1，解得 = 0.03，
所以平均数为 0.01 × 30 + 0.02 × 40 + 0.03 × 50 + 0.04 × 60 × 10 = 50；
因为 0.01 × 10 + 0.02 × 10 < 0.5,0.01 × 10 + 0.02 × 10 + 0.03 × 10 > 0.5，
0.5 0.3
所以中位数在 45,55 内，中位数为 45 + 0.3 × 10 =
155
3 ；
(2)由在 35,45 及 45,55 的人群中按分层抽样抽取 5 人，因为两组频率之比为 2: 3，
所以在 35,45 内抽取了 2 人，记这两人为 , ，在 45,55 内抽取了 3 人，记这三人为 , , ，
从中选 2 人有 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 共 10 种取法，
其中这两人来自于同一组的取法有 , , , , , , , 共 4 种取法，
4 2
所以这两人来自同一组的概率为10 = 5；
(3)( ) = 1 + 1 + 2 + … + + 1 + 2 + … + ，
= 1又因为 1 + 2 + … + ，所以 1 + 2 + … + = ，
同理可得 1 + 2 + … + = ，
= 1 所以 + + = + + + ，
21 =
1
[( 1 )
2 + ( 2 )2 + + ( )2] =
1

= 1( )2，所以 = 1( )2 = 21，
=1
同理可得 2 2 = 2，

1
根据方差的定义可得 2 = 2 2 2 2 2 + 1 + 2 + + + 1 + 2 + +
2 ，
2 1

= 2 + [ = 1( ) + = 1(
2
) ]
2 = 1所以 2 + [ = 1( + ) + = 1( + )
2]，
又 = 1( + )2 = = 1[( )2 + 2( )( ) + ( )2]
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= = 1( 2 ) + 2 = 1( )( ) + = 1( )2
=1 =1
又 2 = 2 = 2 1 + 2 + +


2 = 1( )( ) = 2( ) = 1( ) = 2( )[ 1 + 2 + + ]
= 2 1 + 2 + + = 2 = 0，
又 = 1( )2 = ( )2，
所以 = 1( + )2 = 21 + ( )2，
同理 = 1( 2 2 + ) = 2 + ( )2，
1
所以 2 = 2 + 2 + 1 +
2
2 + 2
2 = 所以 2 2 2 2 + 1 + + + 2 +
( )年龄在 35,45 及 45,55 的人群的比例为 0.2: 0.3 = 2: 3，
所以利用分层抽样的方法在 35,45 及 45,55 的人群中共抽取 50 人，
则在 35,45 的人群中应抽取 20 人，在 45,55 的人群中应抽到 30 人，
则 = 20, = 40, 21 = 14; = 30, = 50, 22 = 24，
20 30
所以 = 50 × 40 + 50 × 50 = 46，
2 = 20 14 + 40 46 2 + 3050 50 24 + 50 46
2 = 20 + 24 = 44．
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