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第二十二章二次函数检测试卷人教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
3．下列关于抛物线的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，
4．若函数，当函数值时，则自变量x的值是（　　）
A．± B．或 C．±或 D．
5．如果，那么二次函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如表：
… 0 1 3 …
… 3 5 3 …
下列结论：（1）；（2）当时，的值随值的增大而减小．（3）是方程的一个根；（4）当时，．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（ ）
B．
C． D．或
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知方程的两根分别为，则二次函数的图象的对称轴为直线 ．
10．若是关于的二次函数，则的值是 ．
11．若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是 ．
12．已知，，且，设，则，k的最小值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)若该抛物线的顶点为P，求的面积．
14．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出方程的两个根．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
(4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围．
15．已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2．
（1）求b的值；
（2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值；
（3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．
16．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备用每个6元的价格购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的关系式为：y＝﹣30x+600．
（1）按照上述市场调查的销售规律，写出销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式；
（2）为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元；
（3）若要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润．
17．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（，），（，），…都是“慧泉”点．
（1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．
①求a，c的值；
②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，求实数n的取值范围．
18．已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P．
（1）若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为　 　 ；
（2）在（1）的条件下，若点（m，y1），（m+3，y2）均在该函数的图象上，且y1＜y2，求m的取值范围；
（3）当1≤x≤3时，这个二次函数的最小值为3，求t的值．
参考答案
一、选择题
1—8：DBCBBACC
二、填空题
9．
10．
11．或
12．3
三、解答题
13．【解】（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：∵，
∴顶点，
∴．
14．【解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，
一元二次方程的两个根分别是，；
（2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方，
不等式的解集为；
（3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为，
在对称轴的右侧随的增大而减小，
随的增大而减小的自变量的取值范围是；
（4）解：由图象可知，当时，
方程组有一组解，
方程有两个相等的实数根，
当时，
方程组有两组解，
方程有两个不相等的实数根，
方程有两个不相等的实数根时，．
15．【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，
∴2．
∴b＝﹣4．
（2）由题意，∵a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2+bx+c的开口方向向上．
∴当x＝2时，函数取得最小值＝4﹣8+c＝c﹣4；当x＝4时，函数取得最大值＝16﹣16+c＝c．
∵当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，
∴c+c﹣4＝6．
∴c＝5．
（3）由题意，由（1）得抛物线为y＝x2﹣4x+c，
又∵抛物线与x轴有且只有一个交点，
∴①Δ＝16﹣4c＝0，则c＝4；
②当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，则，可得0≤c＜3．
∴c的取值范围为0≤c＜3或c＝4．
16．【解答】解：（1）由题意可得，w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600，
∴函数解析式为 w＝﹣30x2+780x﹣3600；
（2）由（1）得销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数解析式为y＝﹣30x2+780x﹣3600
当获利为1200元时，﹣30x2+780x﹣3600＝1200，
解得：x1＝16 或x2＝10，
答：为了方便顾客，售价定10元时可获利1200元．
（3）∵w＝﹣30x2+780x﹣3600＝﹣30（x﹣13）2+1470，
∵a＝﹣30＜0，
∴图象开口向下，
∴当x＝﹣13 时，w有最大值，最大值为1470．
即：当售价定为13元时，获得的利润最大，最大利润为1470元．
17．【解答】解：（1）函数y＝2x﹣3的图象上存在“慧泉”点，
根据题意﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，
故其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）；
（2）①∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点，
∴﹣x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0，
∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．
∴，
解得a＝﹣1，c＝﹣4；
②∵a＝﹣1，c＝﹣4，
∴二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4，
∴x＝﹣1时，y＝﹣1﹣3﹣4＝﹣8，
∵y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x）2，
∴对称轴为直线x，
∴当x时，函数有最大值为，
∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，
∴实数n的取值范围是n≤4．
18．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P，
∴P（0，t2﹣1）．
∴将点P向右平移4个单位得到P（4，t2﹣1）．
又∵此时P（4，t2﹣1）在二次函数y＝（x﹣t）2﹣1上，
∴（4﹣t）2﹣1＝t2﹣1．
∴t＝2．
故答案为：2．
（2）∵点（m，y），（m+3，y2）在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，
∴，．
∵y1＜y2，
∴m2﹣4m+3＜m2+2m．
∴m．
（3）由题意，①当t＜1时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y的最小值为3．
∴（1﹣t）2﹣1＝3．
∴t＝﹣1或t＝3（舍去）．
②当1≤t≤3时，二次函数的最小值为﹣1，不合题意，舍去．
③当t＞3时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y的最小值为3．
∴（3﹣t）2﹣1＝3．
∴t＝1（舍去）或t＝5．
综上可知，t的值为﹣1或5．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
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