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2025年10月初四数学月考试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（30分）
1．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列一元二次方程最适合用因式分解法求解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为（ ）．（参考数据：）
A． B． C． D．
5．已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（　　）
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
6．已知（m﹣2）x|m|+x＝1是关于x的一元二次方程，则m可取的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．m≠2
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（ ）
A．2a B．2 a C．3a D．
8．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
9．如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么
A． B． C． D．
10．如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：
（1）AD=CE；
（2）；
（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；
（4）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（21分）
11．如图，中，为的中点，，若，，则 ．
12．某钢铁厂今年1月份钢产量为4万吨，三月份钢产量为4.84万吨，每月的增长率相同，问2、3月份平均每月的增长率是 ．
13．方程x2﹣2(3x﹣2)+(x+1)=0的一般形式是 ．
14．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，．若，，则的长为 ．
15．已知线段a、b、c，如果a：b：c＝1：2：3，那么“”的值是 ．
16．如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ．
17．如图,在边长为2的菱形ABCD中, ∠ABC＝120°, E,F分别为AD,CD上的动点,且AE+CF=2,则线段EF长的最小值是 ．
三、解答题（6）
18．用公式法解下列方程：
(1)； (2)．
19．计算：解方程：（6）
（1）； （2）；
20．解方程．（6）
(1)； (2)．
21．已知，求．（5）
22．已知是一元二次方程的二次项系数，是一次项系数，是常数项，且满足，写出这个一元二次方程．（6）
23．如图，点D、E分别在AC、BC上，如果测得CD＝20m，CE＝40m，AD=100m，BE=20m，DE=45m，求A、B两地间的距离．（6）
24．某校在数学实践活动中，数学组准备了5个活动课题，活动1：设计测算校园里一面靠墙围成的花坛面积与所用篱笆的关系；活动2：用旋转设计图案；活动3：探究校园内喷泉喷水高度与水平距离之间的关系；活动4：探究投掷骰子游戏；活动5：探究四点共圆的条件．该班数学老师准备采取随机抽签的方式把学生分成5组，同时进行“研学”活动课题．
(1)该班学生亚男希望能抽签到活动2，求他能心想事成的概率；
(2)亚男和他的好朋友思齐希望能在不同小组，这样可以相互分享学习成果，则他们不在同一小组的可能性能否大于75%？请用树状图或列表法来验证你的判断是否正确（7）．
25．如图，有一块三角形土地，它的一条边米，边上的高米．某单位要沿着边修一座底面是矩形的大楼，D、G分别在边上．且大楼的宽与长的比是，求这个矩形的长．（6）

26．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（6）
(1)求证：BF=DE；
(2)当点E运动到AC中点时 (其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由
27．已知：如图，在中，AB=AC，，垂足为点D，AN是外角的平分线，，垂足为点E，连接DE交AC于点．
(1)求证：四边形ADCE为矩形；（6）
(2)当满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
(3)在（2）的条件下，若，求正方形ADCE周长．
28．四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．（9）
(1)四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D=2：3：4，则∠A的度数为_______；
(2)如图1，四边形为对角互补四边形，，．
求证：平分．
小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM=BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为_______；
(3)如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD=60°，AB=AD，试证明：
①AC平分∠BCD；
②CA=CB+CD；
(4)如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，，且满足∠ABC=60°，AD=CD，则BA、BC、BD三者关系为_______．
试卷第1页，共3页
《2025年10月初四数学月考试题》参考答案
一、单选题（30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B D B B D B A
二、填空题（21分）
11．
12．10%
13．x2﹣5x+5=0
14．4
15．
16．
17．
三、解答题（6）
18．（1）解：∵，
∴，
故方程无实数解；
（2）解：∵，
∴，
故方程无实数解．
19．解：（1）（x+1）2=4x，
∴x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴x-1=0，
解得：x1=x2=1．
（2）（x+4）2=5（x+4），
∴（x+4）2-5（x+4）=0，
∴（x+4）（x+4-5）=0，
∴x+4=0，x+4-5=0，
解得：x1=-4，x2=1．
20．（1）解：，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
，，
∴，．
21．解：令，
∴，，，
∴原式．
22．解：∵，且，
，
，
∵是二次项系数，是一次项系数，是常数项，
∴关于x的一元二次方程为．
23．解：∵CD=20m，CE=40m，AD=100m，BE=20m，
∴AC=CD+AD=120m，BC=CE+BE=60m．
∴CE：AC=40：120=1：3，CD：BC=20：60=1：3．
∴CE：AC=CD：BC．
∵∠C=∠C，
∴△CED∽△CAB．
∴DE：AB=CD：BC=1：3．
∴AB=3DE=135m．
∴A、B两地间的距离为135m．
24．（1）解：该班活动课题共有5种，其中学生亚男希望能抽签到活动2的可能性有1种，则他能心想事成的概率是．
（2）解：他们不在同一小组的可能性能大于．
理由：设5个小组分别为A，B，C，D，E，根据题意，可以列出如下的表格：
A B C D E
A AA AB AC AD AE
B BA BB BC BD BE
C CA CB CC CD CE
D DA DB DC DD DE
E EA EB EC ED EE
由表可知，共有25种等可能情况，其中两个人不在同一小组的情况有20种，
∴P（两人不在同一小组）．
∴他们不在同一小组的可能性能大于．
25．解：∵大楼的宽与长的比是，
∴设，则，
∵，
∴，
它们的对应高线比等于对应线段的比，
即，
∴，
∴，
∴,
∴这个矩形的长米．
26．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
27．（1）证明：∵，，垂足为点D，
∴．
∵AN是外角的平分线，
∴．
∵与是邻补角，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：当时，四边形ADCE是一个正方形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴AD=CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
（3）解：由勾股定理，得
，AD=CD，
即，
∴AD=2，
正方形ADCE周长．
28．解：（1）四边形为对角互补四边形，
，
，
，
∴ ，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴（SAS）
， ，
∴，
∴△ACM是等腰直角三角形，∠ACM=90°，
∴∠ACB=90°-∠ACM=45°，即平分，
，
，
，
故答案为：；
（3）①延长至，使，连接，
四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
平分；
②，，
，
；
（4）延长至，使，连接，
四边形为对角互补四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
过点作交于点，
为的中点，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
答案第1页，共2页

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