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探索勾股定理
1.1探索勾股定理
（30分提至70分用）
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课前准备 三角形 直角三角形 2 三角形
等腰三角形与等边三角形
三角形的底和高
三角形的面积
方程的解法 解法步骤 4 方程的解法
求解过程
新课探索 勾股定理的内容 勾股定理的概念 6 勾股定理的内容
注意点
勾股定理的证明方法 赵爽证明 7 勾股定理的证明方法
题型练习 用勾股定理理解三角形 9 题型练习
以直角三角形三边为边长的图形面积
以弦图为背景的计算题
用勾股定理构造图形解决问题
易错点 17 易错点
总结 18 总结
三角形
1.直角三角形
定义为“有一个内角是直角（90°）的三角形”。其中，夹直角的两条边称为“直角边”，直角所对的边称为“斜边”（斜边是直角三角形中最长的边）。需能识别直角三角形的直角边和斜边。如下图所示：
（ 斜边）
（ 直角边）
（ 直角边）
等腰三角形与等边三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
三角形的底和高
从三角形的一个顶点A到它的对边BC作一条垂线，顶点和垂足之间的线段AD叫做三角形BC边上的高，边BC叫做三角形的底。
4 三角形的面积
三角形面积的核心计算公式为：( S = x底 x 高 )（其中“底”为三角形任意一边的长度，“高”为这条底边对应的垂线段长度，两者必须对应）
若两条直角边分别为 ( a ) 和 ( b )，则面积（直角边互为底和高）
方程的解法
解法步骤
去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母
去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号
移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号
合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式
系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得
求解过程：
示例：解方程
去分母（分母2和3的最小公倍数是6，两边同乘6）：
化简得：
去括号（乘法分配律）：
左边：(3x + 3 - 6)；右边：(4x - 2)
即：
移项（含未知数项移到右边，常数项移到左边，移项变号）：
合并同类项：
系数化为1：
解析：
去分母：依据等式性质2（等式两边乘同一个非零数，等式仍成立），需注意每一项都要 乘，避免漏乘常数项（如示例中的“-1”）。
去括号：依据乘法分配律 ，注意括号前的符号（正不变负变）。
移项：依据等式性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍成立），移项要变号（如“3x”移 到右边变为“-3x”）。
合并同类项：依据整式加减法则，将同类项系数相加。
系数化为1：依据等式性质2，两边同除以未知数系数（此处系数为1，直接得解）。
答案：方程的解为 。
练习
题目1：解方程
解析：
，
，
。
题目2：解方程
解析：
，
，
，
，
。
题目3：解方程
解析：
，
，
，
，
。
一、勾股定理的内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么：
【练习】：
例题1：在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，求斜边的长。
解：设斜边的长为 c。
根据勾股定理，得
将 ， 代入，得
计算得
所以
答：斜边的长为10。
例题2：若直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为（ ）
解析：根据勾股定理，得=-
所以：==64
另一条直角边为 8
勾股定理的证明方法
【赵爽证明】
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c ,
四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a) .
∴ 4×2ab+(b-a) =c
∴ a +b =c .
∴
【练习】如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：．
【答案】．
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的 面积.用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案.
【详解】解：大正方形的边长为c,因此面积可以表示为c2,中间小正方形的边长(b-a),因此 面积可以表示为(b-a) ,大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三 角形的面积，因此大正方形面积可以表示为：(b-a) +4×2ab=a +b ,a2+b =c2.
故答案为：a2+b =c2.
一、用勾股定理理解三角形
1．在△ABC中，分别是的对边，若，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．25 D．50
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长度的平方和等于斜边长 度的平方，据此可得，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵在△ABC中，分别是的对边，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
2．若等腰三角形的腰长为，底边上的高为6，则底边长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作 交于D，由勾股定理可求得长，根据等腰三角形三线合一可知 ，则题目可解．
【详解】解：作交于D，
∴BD=8
∵，
．
故选：C．
3．如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（ ）
A．36 B．54 C．72 D．108
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题关键；
先在直角三角形中，通过勾股定理求出，再在直角三角形中，通过勾股定理求出，进而可得到的面积．
【详解】解：∵，，，
∴AC=15
又∵，，
∴AD=9，
∴的面积为：，
故选：B．
二、以直角三角形三边为边长的图形面积
4．如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和是（　　）
A．81 B．45 C．18 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理．关键是根据由勾股定理得．注意勾股定理应 用的前提条件是在直角三角形中．小正方形的面积为的平方，大正方形的面积 为的平方．两正方形面积的和为，对于，由勾股定理得 长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
【详解】解：正方形的面积为：，
正方形的面积为：；
在中，，
则．
即正方形和正方形的面积和为81．
故选：A．
5．如图，已知两正方形的面积分别是25和16，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．9 D．8
【答案】C
【分析】根据勾股定理，结合正方形的面积，建立起，，的关系，代入计算即可．
2 本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题的关键：直角三角形的两 条直角边的平方和等于斜边的平方．
【详解】解：如图，设以为边的正方形的面积为，以为边的正方形的面积为， 以为边的正方形的面积为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
6．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（ ）．
A．336 B．164096 C．464 D．155904
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
根据勾股定理计算即可．
【详解】∵三个正方形围成一个直角三角形，
∴图中字母M所代表的正方形面积是，
故选A．
三、以弦图为背景的计算题
7．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，根据大正方形的面积，大正方形的面积 个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案．
【详解】解：由图可得：大正方形的面积，
大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，
∴，
∴，
故选：B．
8．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　）
A．18 B．24 C．36 D．72
【答案】A
【分析】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除 以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大 正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键．
【详解】解：4个直角三角形的面积和为，
∴一个直角三角形的面积为．
故选：A．
9．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正 方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求 出斜边长．
【详解】解：∵小正方形的面积为49，
∴小正方形的边长为7，
设直角三角形的短直角边长为，
∴直角三角形的长直角边为：，
∵直角三角形两直角边和为17，
∴，
解得，
∴直角三角形两直角边分别为5和12，
∴直角三角形的斜边，
即大正方形的边长为13，
故选：C．
四、用勾股定理构造图形解决问题
10．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）尺．
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】本题考查正确勾股定理的应用；找到题中的直角三角形，设芦苇长为x尺，则水 深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，
设芦苇长为x尺，则水深尺，
由勾股定理得：，
解得：，
即这根芦苇的长度是13尺．
故选：C．
11．九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理；根据题意，设绳索长为x尺，则柱子高度为尺， 退行8尺后，绳索拉直形成直角三角形，应用勾股定理建立方程即可．
【详解】解：设绳索长为x尺，则柱子高度为尺．
因此方程为：，
整理得：，
故选：C．
忽略直角条件：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不能直接应用。
混淆直角边与斜边：误用直角边作斜边或斜边作直角边代入公式（a +b =c 中c为斜边）。
计算遗漏平方或开方：如直接用a+b=c计算边长，或未对平方和开方得到边长。
直角三角形
等腰三角形与等边三角形
三角形的底和高
三角形的面积：S = x底 x 高
方程的解法
去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母
去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号
移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号
合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式
系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得
勾股定理的内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么：
赵爽证明
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c ,
四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a) .
∴ 4×2ab+(b-a) =c
∴ a +b =c .
∴探索勾股定理
1.1探索勾股定理
目录
知识点
课前准备 三角形 直角三角形
等腰三角形与等边三角形
三角形的底和高
三角形的面积
方程的解法 解法步骤
求解过程
新课探索 勾股定理的内容 勾股定理的概念
注意点
勾股定理的证明方法 赵爽证明
题型练习 用勾股定理理解三角形
以直角三角形三边为边长的图形面积
以弦图为背景的计算题
用勾股定理构造图形解决问题
易错点
总结
三角形
1.直角三角形
定义为“有一个内角是直角（90°）的三角形”。其中，夹直角的两条边称为“直角边”，直角所对的边称为“斜边”（斜边是直角三角形中最长的边）。需能识别直角三角形的直角边和斜边。如下图所示：
（ 直角边） （ 斜边）
（ 直角边）
等腰三角形与等边三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
三角形的底和高
从三角形的一个顶点A到它的对边BC作一条垂线，顶点和垂足之间的线段AD叫做三角形BC边上的高，边BC叫做三角形的底。
4 三角形的面积
三角形面积的核心计算公式为：( S = x底 x 高 )（其中“底”为三角形任意一边的长度，“高”为这条底边对应的垂线段长度，两者必须对应）
若两条直角边分别为 ( a ) 和 ( b )，则面积（直角边互为底和高）
方程的解法
解法步骤
去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母
去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号
移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号
合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式
系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得
求解过程：
示例：解方程
去分母（分母2和3的最小公倍数是6，两边同乘6）：
化简得：
去括号（乘法分配律）：
左边：(3x + 3 - 6)；右边：(4x - 2)
即：
移项（含未知数项移到右边，常数项移到左边，移项变号）：
合并同类项：
系数化为1：
解析：
去分母：依据等式性质2（等式两边乘同一个非零数，等式仍成立），需注意每一项都要乘，避免漏乘常数项（如示例中的“-1”）。
去括号：依据乘法分配律 ，注意括号前的符号（正不变负变）。
移项：依据等式性质1（等式两边加/减同一个数，等式仍成立），移项要变号（如“3x”移到右边变为“-3x”）。
合并同类项：依据整式加减法则，将同类项系数相加。
系数化为1：依据等式性质2，两边同除以未知数系数（此处系数为1，直接得解）。
答案：方程的解为 。
练习
题目1：解方程
题目2：解方程
题目3：解方程
一、勾股定理的内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么：
【练习】：
例题1：在直角三角形中，两条直角边的长分别为6和8，求斜边的长。
例题2：若直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，则另一条直角边长为（ ）
勾股定理的证明方法
【赵爽证明】
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c ,
四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a) .
∴ 4×2ab+(b-a) =c
∴ a +b =c .
∴
【练习】如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：．
一、用勾股定理理解三角形
1．在△ABC中，分别是的对边，若，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．25 D．50
2．若等腰三角形的腰长为，底边上的高为6，则底边长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（ ）
A．36 B．54 C．72 D．108
二、以直角三角形三边为边长的图形面积
4．如图，在中，，，则正方形和正方形的面积和是（　　）
A．81 B．45 C．18 D．9
5．如图，已知两正方形的面积分别是25和16，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．9 D．8
6．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形面积是（ ）．
A．336 B．164096 C．464 D．155904
三、以弦图为背景的计算题
7．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　）
A．18 B．24 C．36 D．72
【答案】A
9．如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．10
四、用勾股定理构造图形解决问题
10．“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）尺．
A．11 B．12 C．13 D．14
11．九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何译文：今有一竖立着的木头柱子，在柱子的上端系有绳索，绳索从柱子上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距柱子根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少．设绳索长为尺，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
忽略直角条件：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不能直接应用。
混淆直角边与斜边：误用直角边作斜边或斜边作直角边代入公式（a +b =c 中c为斜边）。
计算遗漏平方或开方：如直接用a+b=c计算边长，或未对平方和开方得到边长。
直角三角形
等腰三角形与等边三角形
三角形的底和高
三角形的面积：S = x底 x 高
方程的解法
去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母
去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号
移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号
合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式
系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得
勾股定理的内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么：
赵爽证明
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c ,
四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a) .
∴ 4×2ab+(b-a) =c
∴ a +b =c .
∴

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