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2025-2026学年江苏省南京市南京航天航空大学附属高级中学高二上
学期 10月调研测数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 + 3 2 = 0 的倾斜角为( )
A. 2π3 B.
5π π π
6 C. 4 D. 6
2.已知动点 ( , )满足 2 + ( + 3)2 + 2 + ( 3)2 = 6，则动点 的轨迹是( )
A.射线 B.直线 C.线段 D.椭圆
3.已知直线 1: + 2 = 0， 2: 2 + ( + 1) + 2 = 0，若 1 ⊥ 2，则 =( )
A. 1 1或 2 B. 1 C. 1 或 2 D. 3
4.两圆 2 + 2 + 4 4 = 0 与 2 + 2 + 2 12 = 0 的公共弦长等于( )
A. 4 B. 4 2 C. 2 3 D. 3 2
5.直线 2 + 1 = 0 关于直线 = 0 对称的直线方程是( )
A. 2 + + 1 = 0 B. 2 + 1 = 0 C. 2 1 = 0 D. + 2 + 1 = 0
2
6.如图 1， 2是椭圆

1与双曲线 2: 3
2 = 1 的公共焦点， ， 分别是 1， 2在第二、四象限的公共点，
若四边形 1 2为矩形，则 1的离心率是( )
A. 22 B.
3 C. 2 53 5 D.
6
3
7.已知 (2,0)， (10,0)，若直线 4 + 2 = 0 上任意一点 ，都使 > 0 恒成立，则 的取值范围为
( )
A. 215 , 3 B. 3,
21
5
C. ∞, 21 215 ∪ (3, + ∞) D. ( ∞, 3) ∪ 5 , + ∞
8.已知直线 1: + 3 = 0 与 2: + 3 = 0 相交于点 ，线段 是圆 : ( + 1)2 + ( +
1)2 = 4 的一条动弦，且| | = 2 2，则 的最大值为( )
A. 48 B. 30 + 8 2 C. 30 + 4 2 D. 32 + 8 2
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A.经过点(1,1)且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为 + 2 = 0
B.圆 : 21 + 2 2 = 10 与圆 : ( + 2)22 + ( 4)2 = 16 有两条公切线
C.“ = 1”是“直线 2 + 1 = 0 与直线 2 = 0 互相垂直”的充要条件
D. 2 5若直线 1: 2 + 1 = 0 与 2: 2 + 2 = 0 平行，则 1与 2的距离为 5
2
10 .已知椭圆 : 4 +
2 = 1，若 在椭圆 上， 1、 2是椭圆 的左、右焦点，则下列说法正确的有( )
A.若 1 = 2 ，则∠ 1 2 = 30°
B. 1 2面积的最大值为 3
C. 1 2 的最大值为 2 3
D.满足 1 2是直角三角形的点 有 4 个
11.已知圆 : ( 2)2 + ( 3)2 = 13，点 (1, )，则( )
A.若圆 过点 的切线只有一条，则实数 = 3 + 2 3
B.若圆 上总存在两个点到点( , + 3)的距离为 13，则 6 < < 4
C.若过点 且在两坐标轴上截距相等(不为 0)的直线被圆 截得的弦长为 2 3，则 = 4 ± 2 5
D.若圆心在 2 + 2 = 1 上且半径为 1 的圆 ′与圆 交于 , 两点，则当∠ 最大时， ′ = 2 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若直线(3 ) + + 1 = 0 与直线 2 ( 2) + 3 = 0 平行，则实数 = ．
13.已知一个圆与 轴相切，在直线 = 上截得弦长为 2 7，且圆心在直线 3 = 0 上，则此圆的方程
为 ．
214
2
.已知椭圆 : 4 + 3 = 1 的左、右焦点分别为 1， 2， 为 上任意一点， 为圆 : ( 9)
2 + ( 6)2 = 4
上任意一点，则| | 1 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知直线 1: 2 + 3 = 0, 2: 2 + 3 8 = 0．
(1)求经过点 (1,4)且与直线 2垂直的直线方程；
(2)求经过直线 1与 2的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
16.(本小题 15 分)
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2 2
曲线 : 3+ 1 = 1( ≠ 3 且 ≠ 1)
(1)若曲线 表示双曲线，求 的取值范围；
(2)当 = 0，点 在曲线 上，且点 在第一象限， 1( 2, 0), 2(2, 0)， 1 ⊥ 2，求点 的横坐标．
17.(本小题 15 分)
已知圆 的圆心在直线 = 2 上，且圆 与 轴相切于点(1,0)．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若直线 过点(3,1)，且被圆 截得的弦长为 2 3，求直线 的方程．
18.(本小题 17 分)
已知两定点 (2,0)， (0,2)，动点 满足| |2 + | |2 = 22，其轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)是否存在斜率为 1 的直线 ，使得以 被曲线 截得的弦 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 的方程，
若不存在说明理由．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3
的焦距为 2，且过点 1, 2 ．
(1)求 的方程．
(2)记 1和 2分别是椭圆 的左、右焦点．设 是椭圆 上一个动点且纵坐标不为 0.直线 1交椭圆 于点 (异
于 )，直线 2交椭圆 于点 (异于 ).若 的中点为 ，求三角形 1 2 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1 或 4
13.( 3)2 + ( 1)2 = 9，( + 3)2 + ( + 1)2 = 9
14.4
15.解：(1)由直线 2: 2 + 3 8 = 0 =
2
3 +
8
3可得斜率为
2
3，
3
所以根据垂直关系可设所求直线方程为 = 2 + ，
3 5
则依题意有 4 = 2 × 1 + ，解得 = 2，
所以所求直线方程为 = 3 + 52 2，整理得 3 2 + 5 = 0；
2 + 3 = 0
(2) = 1联立 2 + 3 8 = 0，解得 = 2，即直线 1与 2的交点为(1,2)，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为 = ，
代入(1,2)得 = 2，此时 = 2 ；

当直线的截距都不为 0 时，假设直线方程为 + = 1( , ≠ 0)，
=
依题意 1+ 2 = 1，解得 = = 3

，此时直线方程为
3
+ 3 = 1，即 + 3 = 0
综上所述：所求直线方程为 = 2 或 + 3 = 0．
2 2
16.解：(1) : 3+ 1 = 1 表示双曲线，则(3 + )(1 ) > 0，
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解得 3 < < 1，
故 的取值范围是 3 < < 1；
2
(2) = 0 时，曲线 : 3
2 = 1 为双曲线，
2
设 ( , )， > 0, > 0 ，故 23 = 1，
因为 1 ⊥ 2，
所以 1
2
2 = ( 2 , ) (2 , ) = 2 4 + 2 = 2 4 +

3 1 = 0，
15
解得 = 2 ，
15故点 的横坐标为 2 ．
17.解：(1)因为圆 与 轴相切于点(1,0)，所以圆心 在直线 = 1 上，
又圆心 在直线 = 2 上，所以圆心为 (1,2)，半径为 2，
所以圆 的标准方程为( 1)2 + ( 2)2 = 4．
(2)设圆心到直线 的距离为 ，因为直线 被圆 截得的弦长为 2 3，
所以 2 3 = 2 4 2，解得 = 1，
当直线 垂直于 轴时，则圆心 到直线 : = 3 的距离为 2，
此时，直线 : = 3 与圆 相切，不满足条件．
当直线 不垂直于 轴时，设直线 的方程为 1 = ( 3)，即 3 + 1 = 0，
| 2 3 +1| = |2 +1|所以 = 1，整理得 3 2 + 4 = 0，解得 = 0 或 = 4．
2+1 2+1 3
所以直线 的方程为 = 1 或 4 + 3 15 = 0．
18.解：(1)设 ( , )，则| |2 + | |2 = ( 2)2 + 2 + 2 + ( 2)2 = 22，
整理得( 1)2 + ( 1)2 = 9；
(2)设存在 : = + , 1, 1 , 2, 2 ，
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( 1)
2 + ( 1)2 = 9
联立圆 方程有 = + ，整理得 2
2 2 + 2 2 7 = 0，
Δ = ( 2 )2 4 × 2 2 2 7 > 0
则 1 + 2 = ，则 ∈ 2 3 2, 2 + 3 2 ，
2
= 2 71 2 2
此时弦 为直径的圆过原点，
即 = 0 = 1 22 + 1 2 = 1 2 + 1 2 = 2 1 2 + 1 + 2
2
= 2 × 2 7 + 2 2 = 22 2 7，即 = 1 ± 2 2，符合题意；
即 : = + 1 + 2 2或 = + 1 2 2．
19.解：(1) ∵椭圆 的焦距 2 = 2，∴ = 1；
∵ 3 1 9椭圆 过点 1, ，∴ + = 1，又 2 = 2 + 2 = 22 2 4 2 + 1，
2 2
∴ 2 = 3 24 (舍)或 = 3，∴
2 = 4，∴ 椭圆 的方程为： 4 + 3 = 1．
(2)
由(1)知： 1( 1,0)， 2(1,0)，
设 0, 0 0 ≠ 0 ， 1, 1 ， 2, 2 ，
: = 1 = 0+1
2 2
由题意可设直线 1 ，其中
0 0
， 4 + 3 = 1，0
= 1
由 2 2 得： 4 + 3 2 2 6 9 = 0， = 48 4 + 3 2 1 = 48 3 + 3 2 > 0，
4 + 3 = 1
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6 0+6
∴ + = 6 = 0 = 6 0 0+1 = 6 0 0+1 = 2 0 0+10 1 4+3 2 2 ；4+3× 0+1 4
2
0+3 0+1 2 12 3
2+3 0+1 20 2 0+5
0
+ 2 0 0 1同理可得： 0 2 = 2 0 5
；
4 2 2 5
∴ 0 + 1 + 0 + 2 = 2 0 + 1 + =
2 0 0+1 + 2 0 0 1 0 02 2 0+5 2
=
0 5 4 2
，
0 25
1+ 2 2 0 2
2
0 5∴ = = =
15 0
2 ，4 2 25 00 4
2
0 25
∴ 1 = 2 1 2
15 0 15 0 45 0 45 45 5 3
1 2 = = = = ≤ = (当且仅当4 20 25 16 2 2 27 0 9 16 0+27 16 0 + 2 16
27 8
3 0 0 0
16 27 3 30 = ，即 0 =± 4 时取等号)，0
∴△ 1
5 3
2 面积的最大值为 8 ．
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