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2025-2026学年广东省佛山市北滘镇莘村中学高二上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = ( 1,2, 1), = (1,3, 2)，则 + 2 =( )
A. 29 B. 22 C. 22 D. 29
2.已知直线 1的倾斜角为 60°，直线 2经过点 ( 1, 3), (0,0)，则直线 1, 2的位置关系是( )
A.平行或重合 B.平行 C.垂直 D.重合
3.生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只
测量过该指标的概率为
A. 2 3 2 13 B. 5 C. 5 D. 5
4.抛掷两枚质地均匀的硬币，设 =“第一枚正面朝上”， =“第二枚反面朝上”，则事件 与事件 ( )
A.相互独立 B.互为对立事件 C.互斥 D.相等
5.若 (1,2)， (3, )， (7, + 2)三点共线，则实数 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
6 1 3.已知两个随机事件 和 ，其中 ( ) = 2， ( ) = 8， ( ∪ ) =
3
4，则 ( ) =( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 14 3 2 8
7.已知空间中三点 (0,0,0)， (1, 1,2)， ( 1, 2,1)，则以 ， 为邻边的平行四边形的面积为( )
A. 3 3 32 B. 2 C. 3 D. 3 3
8 2 π.如图，三棱锥 中，| | = | | = 3 | | = 2，∠ = ∠ = ∠ = 3， , 分别为 ,
的中点，点 在线段 上，且 = 2 ，则| | =( )
A. 2 53 B.
22 23 5
3 C. 9 D. 3
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，直线 1， 2， 3的斜率分别为 1， 2， 3，倾斜角分别为 1， 2， 3，则下列选项正确的是( )
A. 1 < 3 < 2 B. 3 < 2 < 1 C. 1 < 3 < 2 D. 3 < 2 < 1
10 3 1.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为4 , 2 .记事件 为“两人都击中”，事件
为“至少 1 人击中”，事件 为“无人击中”，则下列说法正确的是( )
A.事件 与 是互斥事件 B.事件 与 是对立事件
C. 7事件 与 相互独立 D. ( ∪ ) = 8
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 ， 是棱 上的动点，且 = (0 ≤ ≤ 1).则下列结论正
确的是( )
A. 1 ⊥ 1
B.点 到直线 1 1的距离为 2
C.直线 与 π π1 1所成角的范围为 4 , 2
D. π二面角 1 1 的大小为4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.倾斜角为 30°，且过点( 2,0)的直线斜截式方程为 ．
13.已知向量 ， 满足 + = 2 ，其中 是单位向量，则 在 方向上的投影向量是 ．
14.甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮 2 个环节，其中任何一
人在每个环节获胜得 2 分，失败得 0 分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在
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3
每个环节中获胜的概率都为4，乙在每个环节中获胜的概率都为 ，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和
5
为 2 的概率为12，则 的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于 6 分的概率为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2．
(1)用空间向量方法证明： 1 1//平面 1；
(2)求直线 与平面 1所成角的正弦值．
16.(本小题 15 分)
在一个盒子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中蓝球、红球各 2 个，黄球 1 个，从中随机摸出 2 个球．
(1)若采用有．放．回．简单随机抽样，求恰好摸到一个红球的概率；
(2)若采用无．放．回．简单随机抽样，求取出的球颜色相同的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在正三棱柱 1 1 1中，点 为侧棱 1的中点，且 = 2．
(1)证明：平面 1 ⊥平面 1 ,
(2)若二面角 1 1
π
1的大小为6，求点 到平面 1 1的距离．
18.(本小题 17 分)
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甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下
一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概
1 2 1
率为2，甲胜丙的概率为3，乙胜丙的概率为3，每局比赛相互独立且没有平局．
(1)若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率；
(2)若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率；
(3)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， 在平面 的投影为边 的中点 ，∠ = 3，
= 4， = 1， = 3．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2) 3 10在线段 上，是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 10 ，若存在，指明点 的位
置，若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 3 2 33 + 3
13.1 2
14.23 ； ； ； ；
2
； 3
15.【详解】(1)根据题意以 为坐标原点，分别以 , , 1为 , , 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知 (2,0,0), (0,2,0), 1(2,0,2), 1(0,2,2), 1(0,0,2)，
则 1 1 = ( 2,2,0), = ( 2,2,0), 1 = (0, 2,2)，
设平面 1的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 + 2 = 0
则 ，令 = 1，则可得 = 1, = 1，即 = (1,1,1)；
1 = 2 + 2 = 0
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又 1 1 = 2 + 2 + 0 = 0，即 ⊥ 1 1，
又 1 1 平面 1，
所以 1 1//平面 1；
(2)易知 (2,2,0), (0,0,0)，则 = ( 2, 2,0)，
由(1)知平面 1的一个法向量为 = (1,1,1)，
设直线 与平面 1所成的角为 ，

则 sin = cos , = | 2 2| 6 = 2 2× 3 = 3 ，
6
即直线 与平面 1所成角的正弦值为 3 ．
16.【详解】(1)记 2 个蓝球分别为 , ，2 个红球分别为 , ，黄球为 ，
若采用有放回简单随机抽样，共有 25 个基本事件，恰好摸到一个红球的有 12 个基本事件，
12
所以恰好摸到一个红球的概率 1 = 25．
2 1
╳╳ √ √╳
╳╳ √ √╳
√ √╳╳ √
√ √╳╳ √
╳╳ √ √╳
(2)若采用无放回简单随机抽样，
则有( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )，共 10 个基本事件，
取出的球颜色相同的有( , ), ( , )，共 2 个基本事件，
2 1
所以取出的球颜色相同的概率 2 = 10 = 5．
17.【详解】(1)法一：
取 中点 , 1的中点 ，连接 , 与 ，
则 // 11，且 = 2 1
又 1为 1中点，∴ // 1，且 = 2 1，
∴ // , = , ∴四边形 是平行四边形，∴ // ．
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在正三棱柱中，∵ 1 ⊥平面 , 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，又 为等边三角形，∴ ⊥ ，
又 ∩ 1 = , ∴ ⊥平面 1 1，
∴ ⊥平面 1 1，又 平面 1，
∴平面 1 ⊥平面 1 1，
法二如图，以 原点，垂直于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
设 1 = 2 ，则 (0,0,0), 1(0,2,2 ), 3, 1, ，
∴ 1 = (0,2,2 ), = 3, 1, ，
设平面 1的一个法向量为 1 = ( , , )，则
1 ⊥ 1 2 + 2 = 0
∴ , ⊥ 1 3 + + = 0
取 = 1，则 = , = 0, ∴ 1 = (0, , 1),
又平面 1 1的法向量为 2 = (1,0,0)，
∴ 1 2 = 0, ∴ 1 ⊥ 2，
∴平面 1 ⊥平面 1 1
(2)方法一：取 1 1中点 ，连接 , 1 ，
∵ 1 1 = 1 1, ∴ 1 ⊥ 1 1，
在正三棱柱中， 1 = 1, ∴ ⊥ 1 1，
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∴ ∠ 1是二面角 1 1 1的平面角，
又 1 ⊥平面 1 1 1, ∴ tan∠ =
1 = 11 3 = tan
π = 36 3 ，1
∴ 1 = 1, ∴ 1 = 2, = 2
设点 到平面 1 1的距离为 ，则 1 1 = 1 1 ，
1 1 1 × 1 2× 2
∴ 1 13 = 3 1 1 1 , ∴ 3 × 2 = 3 × 2 × 3,1
∴ = 3，即点 到平面 1 1的距离为 3．
方法二：由(1)得 1 = (0,0,2 ), 1 = (0,2,2 ), ∴ 1 1 = (0,2,0), 1 = 3, 1, ，
→
设平面 1 1的一个法向量为 1 = 1, 1, 1 ，则
1 1 ⊥ 1 2 = 0
∴
1 ,
1 ⊥ 1 3 1 1 1 = 0
→
∴ 1 = 0，取 1 = ，则 1 = 3, ∴ 1= , 0, 3 ,
又平面 1 1 1的法向量为 2 = (0,0,1)，
∵ π二面角 1 1 1的大小为6
∴ cos 1, =
1 2 3 π 3 2
2 1
= = cos 6 = 2 , ∴ = 1，2 2+3
由于 > 0, ∴ = 1，
1 = 1,0, 3 ，又 1 = (0,0,2)，

∴点 1 1到平面 1 1的距离为 = =
2 3 = 3
2 ．1
18.【详解】(1)记甲、乙、丙第 局比赛获胜分别为事件 , , = 1, 2, 3, 4
记比赛两局结束为事件 ，则 = 1 2 + 1 2
所以 ( ) = 1 2 + 1 2 = 1 2 + 1 2
= 1
1 2 1
2 + 1 2 = 2 × 3+ 2 ×
1 = 13 2．
1
则第一局由甲、乙对战，进行两局比赛，比赛结束的概率为2．
(2)记第一局由乙、丙对战且甲获胜为事件 ，则 = 1 2 3 + 1 2 3
所以 ( ) = 1 2 3 + 1 2 3 = 1 2 3 + 1 2 3
= 1 2 3 + 1 2 3
1 1 2 2 2 1 1
= 3 × 2 × 3+ 3 × 3 × 2 = 3
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1
则第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率为3；
(3)由(2) 1可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为 1 = 3，
同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为
1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 172 = 1 2 + 1 2 3 4 + 1 2 3 4 = 2 × 3+ 2 × 3 × 3 × 2 + 2 × 3 × 3 × 2 = 36，
第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为
3 = 1 2 + 1
2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 14
2 3 4 + 1 2 3 4 = 3 × 2+ 3 × 2 × 3 × 3 + 3 × 3 × 2 × 3 = 27，
因为 1 < 2 < 3，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大．
19.【详解】(1)在 中，由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2· · ·cos∠ = 1 + 4 2 × 1 × 2 ×
cos 3 = 3，
= 3，∴ 2 + 2 = 2， ⊥ ，
由题易知 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ // ，∴ ⊥平面 ．
(2)取 的中点 ，连接 ，则 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：
则 3, 2,0 ， (0,0,3)， 3, 0,0 ， = 3, 2,0 ，
= 3, 0,0 ， = 3, 2,3 ，
设 = = 3 , 2 , 3 (0 < < 1)，
= + = 3 3 , 2 2 , 3 ，
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易知平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3 = 0
则 ,
= 3 3 + (2 2 ) + 3 = 0
令 = 2 得 = 0, 3 1+ , 2 ，
3
cos , = 1 = 3 10 = 2由题得
2 10
，解得 3，
3
1 +4
所以当点 为线段 上靠近点 的三等分点时，满足题意；
故答案为：证明见解析，存在，点 为线段 上靠近点 的三等分点．
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