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2025-2026学年上海音乐学院附属安师实验中学高二上学期阶段练习
数学试卷(一)
一、单选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列条件中，能够确定一个平面的是( )
A.两个点 B.三个点 C.一条直线和一个点 D.两条相交直线
2. , 是空间中两条不同的直线，“ , 是异面直线”是“ , 没有公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知直线 , 和平面 ，且 ⊥ , ⊥ ，则 与 的位置关系为( )
A. B. // C. 或 // D. 与 相交
4.如图，在正方体 1 1 1 1中， 1 ∩ 1 = , 1 ∩ 1 = ，则下列结论中正确的是( )
A. 1//平面 1 B.平面 1 ⊥平面 1
C. ⊥平面 1 1 D.平面 1 1内存在与 平行的直线
二、填空题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。
5.直线 上存在两点在平面 上，用集合语言表示 与 的关系 ．
6.设空间两个角∠ 与∠ ，若它们的两边分别平行，∠ = 30 ，则∠ = ．
7.两两相交的三条直线可确定 个平面．
8.水平放置的 的斜二测直观图如图所示，已知 ′ ′ = 3， ′ ′ = 2，则原图 长度为 ．
9.如图，点 , 分别是正方体 1 1 1 1的棱 , 1的中点，则异面直线
1 1和 所成的角是 ．
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10.命题“如果两个平面有无数多个公共点，那么这两个平面重合”是 . (填“真命题”或“假命题”)
11.若 是 所在平面外一点，而 和 都是边长为 2 的正三角形， = 6，则二面角
的大小为 ．
12.“直线 ⊥平面 ”是“直线垂直于平面 内无数条直线” 条件. (填“充分不必要条件”，“必要不
充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”)
13.空间内，两异面直线所成角的取值范围是 . (用区间表示)
14.已知平面 外两点 , 到平面 的距离分别是 2 和 4，则 中点到平面的距离是 ．
15.用 ， ， 表示空间中三条不同的直线， ， ， 表示平面，给出下列命题：
①若 ⊥ ， ⊥ ，则 // ;②若 // ， // ，则 // ;
③若 // ， // ，则 // ;④若 // ， // ，则 // ．
其中真命题的序号是 ．
16.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，
① 与 垂直；
② 与 是异面直线；
③ 与 成 60 角；
④ 与 平行．
以上四个结论中，正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图，正方体的棱长是 ，点 、 分别是两条棱的中点．
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(1)求证：四边形 (图中阴影部分)是一个梯形；
(2)求四边形 的面积．
18.(本小题 14 分)
如图，已知长方体 1 1 1 1中， = = 3， 1 = 4．
(1)求证： 1 与 1是异面直线；
(2)求异面直线 1 与 1所成角的余弦值．
19.(本小题 14 分)
如图，长方体 1 1 1 1中， = = 1， 1 = 2，点 为 1的中点．
(1)求证：直线 ⊥平面 1
(2)求直线 与平面 1 所成角的大小．
20.(本小题 14 分)
如图，长方体 1 1 1 1中， = = 1, 1 = 2，点 为 1的中点．
(1)求证：直线 1//平面 ；
(2)求点 与平面 1 的距离．
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21.(本小题 14 分)
如图所示，四边形 为空间四边形 的一个截面，且截面 为平行四边形．
(1)求证： //平面 ．
(2)若 ⊥ ，且 = = 6，2 = ，求四边形 的面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.30 或 150
7.1 或 3
8.5
9.60
10.假命题
11.90 ．
12.充分不必要
13.(0, 2 ]
14.3 或 1．
15.②④
16.①③
17.(1)如图所示，连接 1 1，
1
因为点 、 分别是 1 1、 1 1的中点，所以 // 1 1， = 2 1 1，
又因为 // 1 1， = 1 1，所以 //
1
， = 2 ，
所以四边形 是一个梯形．
(2)因为正方体的棱长为 ，所以 = 2 ， = 2 52 ， = = 2 ，
1 2
如图②所示， = 2 ( ) = 4 ，
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而梯形 的高 = 2 2 = 54
2 1 2 3 28 = 4 ，
= 1 × 2 3 2 9可得梯形 的面积为 + 2 × = 22 2 4 8 ．
18.(1)因为 1 平面 1 1 ， ∈平面 1 1 ， 直线 1 ， 1 平面 1 1 ，
由异面直线的判定定理可得 1 与 1是异面直线．
(2)如图，连接 1，
因为 // 1 1， = 1 1，可知四边形 1 1为平行四边形，
则 1// 1，即∠ 1 1为异面直线 1 与 1所成的角(或其补角)，
连接 ，由已知可得 2 21 1 1 = 1 = 3 + 4 = 5， 1 1 = 3 2，
2 2 2
则 cos∠ = 5 +5 3 2 161 1 2×5×5 = 25．
16
所以异面直线 1 与 1所成角的余弦值为25．
19.(1)在长方体 1 1 1 1，因为 = = 1，
所以四边形 是正方形，所以 ⊥ ，
又因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1, 平面 1，
所以 ⊥平面 1；
(2)如图所示，设 和 交于点 ，则 为 的中点，连接 ,
∵ 是 1的中点，∴ // 1．
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由(1)知 为 在平面 1 内的射影，故∠ 为直线 与平面 1 所成角，
∵ = = 2, = 12 =
2
2 且 ⊥ ，
2
∴ sin∠ = = 2 = 1 2 2，

又∠ ∈ 0, 2 , ∴ ∠ = 6

直线 与平面 1 所成角的大小6．
20.(1)如图所示，设 和 交于点 ，则 为 的中点，联结 ，
∵ 是 1的中点，∴ // 1，
又∵ 平面 , 1 平面 ，
∴直线 1//平面 ．
(2)因为 = = 1，所以四边形 是正方形，所以 ⊥ ，
由正方体性质可得 1 ⊥ ，又 1 ∩ = ， 1 面 1， 面 1，
所以 ⊥平面 1，
则点 与平面 1 的距离为 ，
∴ = 12 =
2
2 ；
21.(1)证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ // ， 平面 ， 平面 ，
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∴ //平面 ．
∵ 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ，又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
(2) ∵四边形 为平行四边形，
∴ // ，又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ，又 ⊥ ， // ，
∴ ⊥ ，
∴平行四边形 为矩形，
由(1)知 // ，
∴ 与 相似，
2 = = 2又 ，即 3，
∴ = ，又 = 6，
∴ 2 3 = 6 ，解得 = 4，
∵ = =
2
3，∴
1
= 3，
同理 // ，
∴ 与 相似，
∴ 1 = = 3，又 = 6，可得 = 2，
∴四边形 的面积为 = 2 × 4 = 8．
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