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2025-2026学年山东省高青县鲁才高级中学高二上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某公园有东、南、西、北共 4 个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，
他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是( )
A. 116 B.
1 C. 1 18 4 D. 2
2 1.已知事件 ， 互斥，它们都不发生的概率为6，且 = 2 ，则 =( )
A. 59 B.
4 5 13
9 C. 18 D. 18
3 1.在如图所示的电路图中，开关 , , 闭合与断开的概率都是2，且是相互独立的，则灯灭的概率是( )
A. 18 B.
3 5 7
8 C. 8 D. 8
4.若 , , 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. + , , B. , + ,
C. + , , D. + , , + +
5.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，甲是否击中对乙没有
影响，设 =“甲中靶”， =“乙中靶”，则( )
A. 与 ， 与 ， 与 ， 与 都相互独立
B. 与 是对立事件
C. = 0.98
D. ∪ ∪ = 0.02
6.已知 = 1,2, , = , 1,2 ，且 + 2 // 2 ，则( )
A. = 13 , = 1 B. =
1
2 , = 4 C. = 2, =
1
4 D. = 1, = 1
7.向量 = 2, 1,2 ， = 4,2, ， ⊥ ，则 2 + =( )
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A. 9 B. 3 C. 1 D. 3 2
8.已知 = (1,2, 1), = ( 1, , 1)，且 与 夹角为锐角，则实数 的取值范围是( )
A. ( 2,1) B. ( ∞,1)
C. ( ∞, 2) ∪ ( 2,1) D. (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件 ， 满足 = 0.7， = 0.2，则下列结论正确的是( )
A. = 0.14
B.如果 ，那么 ∪ = 0.7
C.如果 与 互斥，那么 + = 0.9
D.如果 与 相互独立，那么 = 0.24
10.已知向量 = 2,0,2 ， = 12 , 1,
3
2 ， = 1, 2,3 ，则下列结论正确的是( )
A. 与 垂直
B. 与 共线
C. 与 所成角为锐角
D. ， ， ，可作为空间向量的一组基底
11.已知 = ( 2,1,4), = (4,2,0), = (1, 2,1), = (0,4,4)，则下列说法正确的是( )
A. 是平面 的一个法向量 B. , , , 四点共面
C. // D. = 53
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知直线 经过 2,1,1 ， 1,0, 3 两点，直线 上一点 ，使得 = ，则点 坐标 ．
13.已知小李每次打靶命中靶心的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶
心的概率．先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 0，1，2，3 表示命中靶心，4，5，6，7，
8，9 表示未命中靶心，再以每个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机
数：
321 421 191 925 271 932 800 478 589 663
531 297 396 021 546 388 230 113 507 965
据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为 ．
14.已知随机事件 , ,中， 与 相互独立，且 = 0.7， = 0.8，则 ∪ = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两
3
局的是胜方，另一方是败方.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为5，甲、乙比赛没有平局，且
每局比赛是相互独立的．
(1)求比赛恰进行两局就结束的概率；
(2)求这场比赛甲获胜的概率．
16.(本小题 15 分)
已知正四面体 的棱长为 1， ， 分别为棱 ， 的中点，点 为线段 的中点．
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)求 的值．
17.(本小题 15 分)
已知 = 2, 1, 4 ， = 1, , 2 ．
(1)若 // + ，求实数 的值；
(2)若 + 3 ⊥ + ，求实数 的值．
18.(本小题 17 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = = 1， 1 = 2.以 为原点，建立如图所示空间直
角坐标系．
(1)求平面 1 1的一个法向量；
(2)求平面 1 的一个法向量．
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19.(本小题 17 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 为棱 1的中点．
求证：(1) 1//平面 ；
(2)平面 ⊥平面 1
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5,2,5
13.0.3 3或10
14.0.94
15.【详解】(1)比赛恰进行两局就结束对应的事件 有两种可能，
3 3 9 2 2 4事件 1：甲胜乙，事件 2：乙胜甲． ( 1) = 5 × 5 = 25， ( 2) = 5 × 5 = 25，
( ) = ( 1 +
13
2) = ( 1) + ( 2) = 25．
(2)这场比赛甲获胜对应的事件 有两种可能，事件 1：比赛两局结束且甲获胜；事件 2：比赛三局结束且
甲获胜．
( 1) =
9
25， ( ) =
3 × 2 3 2 3 3 362 5 5 × 5+ 5 × 5 × 5 = 125，
∴ ( ) = ( 1 +
9 36 81
2) = 25+ 125 = 125．
16.【详解】(1)在正四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，点 为线段 的中点，
= 1 2 =
1 1 1 1
2 × 2 ( + ) = 4 + 4 ，
所以 = + + = + 1 12 + 4
+ 1 4
= + 12 (
) + 1 4
+ 1 1 1 1 4 = 2 4 + 4 ．
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(2)正四面体 的棱长为 1，则 = = 1 × 1 × cos60 = 12，
所以 = 1 (2 + )
2
4 =
1
4 (2
+ ) = 12．
17.解：(1) = 2, 1, 4 1, , 2 = 3, 1 , 6 ， + = 2, 1, 4 + 1, , 2 = 1,
1, 2 ，
若 // + ，则 = + ，
即 3 = ， 1 = 1 ， 6 = 2 1，解得 = 3, = 2．
(2) + 3 = 2, 1, 4 + 3 1, , 2 = 1,3 1,2 ， + = 1, 1, 2 ，
若 + 3 ⊥ + ，则 + 3 + = 0，
即 1 × 1 + 3 1 × 1 + 2 × 2 = 0，化简可得 3 2 4 4 = 0，
= 2 = 2解得 或 3．
18.【详解】易知 1,0,0 ， 0,1,0 ， 1 1,0,2 ， 1 0,0,2 ．
(1) = 1,1,0 ， 1 = 0,0,2 ，

= 0
设面 1 1的法向量为 = 1, 1, 1 ，则{ ,
1= 0
1 + 即 1
= 0
2 = 0 ，取 1 = 1 = 1, 1 = 0，则 = 1,1,0 ，1
所以平面 1 1的一个法向量为 = 1,1,0 ；
(2) = 1,1,0 ， 1 = 1,0,2 ，

设面 1 的法向量为 = 2, 2, {
= 0
2 ，则 ,
1= 0
+ = 0
即 2 2 + 2 = 0，取 2 = 2 = 2, 2 = 1，则 = 2,2,1 ，2 2
所以平面 1 的一个法向量为 = 2,2,1
19.【详解】(1)连 交 于 ，连 ，
因为 为 的中点， 为 1的中点，所以 // 1
又 1 平面 , 平面 ，
所以 1//平面
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(2)因为 ⊥ , 1 ⊥平面 ，所以 1 ⊥ , ∩ 1于 ，
所以 ⊥平面 1，所以 ⊥ 1
同理可证 1 ⊥ 1，
又 ∩ 1于 ，所以 1 ⊥平面 1 ，
因为 // 1，所以 ⊥平面 1 ，
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 1 ．
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