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2025-2026学年广东省佛山市南海区西樵高级中学高二上学期第一次
阶段测数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = 2, 3,1 , = 2,1, ，若 ⊥ ，则 的值为( )
A. 5 B. 8 C. 6 D. 7
2.掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷 1000 次，那么第 999 次出现正面向上的概率是
A. 1 B. 1 C. 999 1999 1000 1000 D. 2
3.在空间直角坐标系中， 0,3,1 ， 1,1,2 ，则与向量 共线的向量的坐标是( )
A. 1,1,1 B. 2, 1,2 C. 1,2, 1 D. 1,2,2
4.在直三棱柱 1 1 1中，若 = ， = ， 1 = ，则 1 =( )
A. + B. C. + D. +
5.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为 60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天
下雨的概率．用 1，2，3，4，5，6 表示下雨，用计算机产生了 10 组随机数为 180，792，454，417，165，
809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )
A. 3 B. 2 C. 1 75 5 2 D. 10
6.在一个袋子中放 2 个白球，2 个红球，摇匀后随机摸出 2 个球，与“摸出 1 个白球 1 个红球”互斥而不
对立的事件是( )
A.至少摸出 1 个白球 B.至少摸出 1 个红球
C.摸出 2 个白球 D.摸出 2 个白球或摸出 2 个红球
7.已知空间向量 = 2, 1,2 , = 1, 2,1 ，则向量 在向量 上的投影向量是( )
A. 43 ,
2 , 43 3 B. 2, 1,2 C.
2
3 ,
4 2
3 , 3 D. 1, 2,1
8.已知甲、乙两人射击的命中率分别是 0.4 和 0.7，现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、
乙分配猎物的比例应该是( )
A. 2: 7 B. 3: 7 C. 4: 7 D. 5: 7
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
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已知同种血型的人可以输血， 型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给 血型的人输
血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是( )
A.任找一个人，其血可以输给 型血的人的概率是 0.64
B.任找一个人， 型血的人能为其输血的概率是 0.29
C.任找一个人，其血可以输给 型血的人的概率为 1
D.任找一个人，其血可以输给 型血的人的概率为 1
10.在正方体 1 1 1 1中，点 是底面 的中心，则( )
A. 1 //平面 1 1 B. 1 与 1成角为 30
C. 1 ⊥ 1 1 D. 1 ⊥平面 1
11.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 ， 1的中点，点 满足 = ， ∈ [0,1]，
下列结论正确的是( )
A.若 = 1，则 1 1//平面 B.若 = 1
9
，则过点 ， ， 的截面面积是2
C. = 1 3若 2，则点 1到平面 的距离是 6 D.若 =
1 2
2，则 与平面 所成角的正切值为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率
为 ．
13.平行六面体 1 1 1中， = = 1 = 1，∠ 1 = ∠ 1 = 60 ，∠ = 90 ，则 1
的长是 ．
14 1 3 2.在如图所示的电路图中，开关 ， ， 正常工作的概率分别为3，4，3，且是
相互独立的，则灯亮的概率是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
→ → → →
已知空间中三点 1,0, 1 ， 2,1,1 ， 2,0,3 ，设 = ， = ．
→ →
(1)求向量 与 夹角的余弦值；
→ → →
(2)若 与 互相垂直，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
袋子中有 6 个大小质地完全相同的小球，其中红球有 2 个，编号分别为 1，2；白球有 4 个，编号分别为 3，
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4，5，6，不放回地随机摸出两个球．
(1)求摸出的两个球中有红球的概率；
(2)记事件 为“摸出的两个球全是白球”， 为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件 ， 是否
相互独立．
17.(本小题 15 分)
如图在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥底面 ， 是 上一点， = 2， = 3， = 2，2
= 12．
(1)求二面角 的大小；
(2)求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
1
甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为2，甲、乙两人各射击一次且
1 1
都击中目标的概率为6，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为9，已知任意两次射击互不影响．
(1)分别计算乙，丙两人各射击一次且击中目标的概率；
(2)求甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率；
(3) 9999若想击中目标的概率不低于10000，甲至少需要射击多少次？(参考数据 2 = 0.3010)
19.(本小题 17 分)
已知直三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1 为正方形， = = 2， ， 分别为 和 1的中点， 为
棱 1 1上的点， ⊥ 1 1．
(1)证明： ⊥ ；
(2)当 1 为何值时，平面 1 1 与平面 所成的二面角的正弦值最小
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
3
12. 10| 0.3
13. 5
14.1136
→
15. →【详解】解：(1)因为 = 1,1,2 ， = 3,0,4 ，
→ →
所以 = 1 × 3 + 1 × 0 + 2 × 4 = 5．
→
= 12 + 12 + 22 = 6，
→
= 3 2 + 42 = 5．
→
→ → → 5 1 6
所以 cos , = → → = = = ，
6×5 6 6
→ → 6
所以 与 的夹角余弦值为 6 ．
→ →
(2) = 1,1,2 3,0,4 = 1 + 3 , 1,2 4 ，
→ → →
因为 与 互相垂直，
→ → →
所以 = 1 + 3 + 1 + 2 × 2 4 = 0．
6
所以 = 5．
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→ → →
所以当 与 6互相垂直时，实数 的值为5．
16. 6×5解：(1)从 6 个球中不放回地随机摸出两个球，总共有 2 = 15 种情况，
假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况，
即{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共 6 种，
6 2
则摸出的两个球全是白球概率为：15 = 5，
2 3
所以摸出的两个球中有红球的概率为 1 5 = 5；
(2) 2由前面知道，事件 为“摸出的两个球全是白球”，概率为 ( ) = 5，
事件 为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，
两个球的编号之和为偶数，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数，
两球均为奇数的情况有{1,3}，{1,5}，{3,5}，3 种，
两球均为偶数的情况有{2,4}，{2,6}，{4,6}，3 种，总共 6 种，
则 ( ) = 615 =
2
5，
即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有{4,6}，{3,5}，共 2 种，
则概率为 ( ) = 215，
因为 ( ) ≠ ( ) ( )不成立，所以事件 ， 不相互独立．
→ → →
17.解：(1)以 为原点，向量 ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
∴ ( 3 , 12 2 , 0)， (0,0, 2)， (0,2,0)，
∴ = ( 32 ,
1
2 , 2)，
= ( 3 , 32 2 , 0)．
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
由 = 0， = 0，
3 + 12 2 2 = 0得 ，令 = 1，则 = 3, = 2．
32 +
3
2 = 0
→
所以 = 3, 1, 2 ，
→
取平面 的一个法向量为 = 1,0,0 ，
设二面角 的大小为 ，由图可知 为锐角．
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→ →
∴ cos = = 2→ → ，∴ =

2 4
，
即二面角 的大小为4．
→
(2)由(1)知平面 的一个法向量为 = ( 3, 1, 2)，
→
又 32 , 2,0 ，∴ = 0,
3
2 , 0 ，

∴ = | | = 6点 到平面 的距离 | | 4 ．
18.解：
(1)记甲，乙，丙射击一次且击中目标分别为事件 ， ， ，
( ) = 1依题意 2，且 ， ， 相互独立，
( ) = ( ) ( ) = 1 1由 6，得 ( ) = 3，
又由 ( ) = ( ) ( ) = 1 19，得 ( ) = 3，
1 1
所以乙射击一次击中目标的概率为3，丙射击一次击中目标的概率为3，
(2)记“甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中目标”为事件 ，
因为 ， ， 两两互斥且 ， ， 相互独立，
∴ ( ) = ( + + )
= ( ) + ( ) + ( )
= 1 2 22 × 3 × 3 +
1
2 ×
1
3 ×
2 + 13 2 ×
2 × 13 3 =
4
9，
4
所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率9，
(3)设甲射击 ( ∈ )次，因为任意两次射击互不影响，
1
所以至少有一次击中目标的概率为 1 [ ( )] = 1 ( 2 )
，
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1 ( 1令 2 )
≥ 9999 1 110000，所以，( 2 )
≤ 10000，
所以 ≥ 4210000 = 2 ≈ 13.3，
又 为正整数，所以 = 14，即甲至少要射击 14 次．
19.解：(1)证明：连接 ，
∵ ， 分别为直三棱柱 1 1 1的棱 和 1的中点，且 = = 2，
∴ = 1， = 5，
∵ ⊥ 1 1， / / 1 1，
∴ ⊥ ，
2 2∴ = + 2 = 22 + 5 = 3，
= 2 2 = 32 12 = 2 2，
∴ 2 = 2 + 2，即 ⊥ ，
以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (2,0,0)， (0,0,0)， (0,2,0)， (1,1,0)， (0,2,1)，
设 1 = ，则 ( , 0,2)，
∴ = (0,2,1)， = (1 ,1, 2)，
∴ · = 0，即 ⊥ ；
(2)由(1)知 ⊥ ， ⊥ 1，
∩ 1 = ，且 , 1 平面 1 1 ，
故 AB⊥平面 1 1 ，
∴平面 1 1 的一个法向量为 1 = (1,0,0)，
由(1)知， = (1 ,1, 2)， = ( 1,1,1)，
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设平面 的法向量为 2 = ( , , )，
2 = 0 (1 ) + 2 = 0则 ，即 ，
2 = 0 + + = 0
令 = 3，则 = + 1， = 2 ，
∴ 2 = (3, + 1,2 )，
·
∴ cos 1, 2 =
1 2
| 1| | 2|
3
=
1 × 9+ ( +1)2 + (2 )2
= 3 = 3
2 2 2 +14 2( 12)
2+27，2
∴ 1当 = 2，平面
6 3
1 1 与平面 所成的二面角的余弦值最大为 ，此时正弦值最小为 ．3 3
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