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2025-2026学年湖南省常德市第一中学高二上学期第一次月水平检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 (1 )(2+ ). =( )
A. 1 + 3 B. 1 3 C. 1 + D. 1
2.已知直线 1: 2 + 1 = 0， 2: 1 + = 0，则 = 1 是 1// 2的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在空间直角坐标系中， ( 1,2,3)关于 轴的对称点为点 ′，若点 (1,1, 2)关于 平面的对称点为点
′，则| ′ ′| =( )
A. 2 B. 6 C. 14 D. 30
4.已知 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，设向量 = , , = cos , cos ，若 // ，则
是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
5.如图，三棱柱 1 1 1的所有棱长都为 2，且∠ 1 = 60 ， 、 、 分别为 1 1、 1 1、 的中
点，则异面直线 和 所成角的余弦值为( )
A. 3 B. 3 C. 7 D. 213 2 7 7
6.设两条直线的方程分别为 + + = 0， + + = 0，已知 ， 是方程 2 + + = 0 的两个实根，且
0 ≤ ≤ 18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 ( )
A. 1 3 3 1 2 1， 3 B. 3 ，3 C. 2 ，2 D. 1
2
， 2
7.已知正三棱锥 3的底面 的边长为 6，直线 与底面 所成角的余弦值为 3 ，则正三棱锥
外接球的体积为( )
A. 81 6 B. 27 6 C. 18 6 D. 9 6
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8.已知圆锥和圆柱的底面半径均为 ，高均为 ，若圆锥与圆柱的表面积之比为 4: 7 ，则 =( )
A. 3 B. 5 C. 4 D. 35 3 3 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线 1的方程为 + 2 4 = 0
3
，若 2在 轴上的截距为2，且 1 ⊥ 2，则下列说法正确的是( )
A. 5直线 2关于点(0,0)对称的直线经过点 2 , 2
B.直线 1与 2的交点坐标为(2,1)
C.已知直线 3经过 1与 2的交点，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的 2 倍，则 3的方程为 2 + 5 = 0
D.已知动直线 3经过 1与 2的交点，当原点到 3的距离最大时，点(4,2)到 3的距离为 5
10. 中， = 2， 边上的中线 = 2，则下列说法正确的有( )
A. 为定值 B. 2 + 2 = 10
C. 45 < cos < 1 D. ∠ 的最大值为 30

11.在长方体 1 1 1 1中， = 1 = 1， = 2， 为 的中点．动点 满足 = 2 + +
1
1
， ∈ 0, 2 ， ∈ 0,1 ，则下列说法正确的是( )
A.点 一定在平面 1 1 内
B.当 = 2 时，点 的轨迹长度为 3
C.当 1， ， 三点共线时，2 + = 1
D.当 = 14时，
11
1 的最大值为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知点 2,0 , 3, 3 ，则直线 的倾斜角为
13.已知向量 , = 2 cos , = 1满足 ， ，且 + 4 = 10，则
= ．
14.如图，正方形 和正方形 的边长都是 1，且它们所在的平面所成的二面角 的大小是
60 ， ， 分别是 ， 上的动点，且 = 2 ，则 的最小值是
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
如图，已知 1 1 1 1是底面边长为 2 的正四棱柱， 1为 1 1与 1 1的交点， 为 与 的交点．
(1)证明： 1 //平面 1 1；
(2)若点 21到平面 1 1的距离为 2 ，求正四棱柱 1 1 1 1的高．
16.(本小题 15 分)
已知△ 的顶点 (2,1)，边 的中线 所在直线方程为 + 1 = 0，边 的高 所在直线方程为
2 + 2 = 0．
(1)求点 的坐标；
(2)若入射光线经过点 (2,1)，被直线 反射，反射光线过点 (4,2)，求反射光线所在的直线方程．
17.(本小题 15 分)
中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 4 2 2 = + 2 + 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 4，点 是 上的动点，
①若点 满足 = 3 , = 1，求△ 的面积；
②若 = ，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，已知四棱台 1 1 1 1，点 1在底面 上的射影 落在线段 上(不含端点)，底面
为直角梯形， // ， ⊥ ， = 2 2， = 2 = 4．
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(1)求证： ⊥平面 1 1；
(2)若二面角 1

的大小为3；
(ⅰ)求直线 1与平面 所成的角；
(ⅱ)若四边形 1 1为等腰梯形， 1 = 3，求平面 1 1与平面 夹角的正切值．
19.(本小题 17 分)
1 1
如图所示，将一块直角三角形板 置于平面直角坐标系中，已知 = = 1， ⊥ ，点 2 , 4 是三
角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点 的任一直线 将三角形
锯成 ，设直线 的斜率为 ，问：
(1)求直线 的方程及斜率 的范围；
(2)若 的面积为 ，求 = 的表达式；
(3)若 为 的面积，问是否存在实数 ，使得关于 的不等式 2 ≥ 1 2 有解，若存在，求 的取
值范围；若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.2
14.12/0.5
15.【详解】(1)在正四棱柱 1 1 1 1中，连接 1，
由 1 = 1, 1// 1，得四边形 1 1 为平行四边形，则 = 1 1， // 1 1，
又 1为 1 1与 1 1的交点， 为 与 的交点，则 = 1 1， // 1 1，
因此四边形 1 1为平行四边形， 1// 1，又 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1 //平面 1 1．
(2)以 1为坐标原点， 1 1, 1 1, 1 分别为 , , 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 1(2,0,0), 1(0,2,0), 1(2,2,0)，设 1 = ，则 (0,0, )，
设平面 1 1的一个法向量为 = ( , , )，而 1 = ( 2,0, ), 1 1 = ( 2,2,0)，
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1 = 2 + = 0则

，令 = 2，得 = ( , , 2)，又 = (0,2,0)，
1 1 = 2 + 2 = 0
1 1

由点 1到平面 1
2 = | 1 1 | = 2 2 61的距离为 2 ，得 | | = 2 ，解得 = 3 ，2 2+4
6
所以正四棱柱 1 1 1 1的高为 = 3 ．
16.解：(1)设点 (2 2, )，
由 (2,1)，得 的中点( , +12 )在直线 + 1 = 0 上，
+1
可得 2 + 1 = 0，解得 = 1，
所以点 的坐标为 ( 4, 1)；
(2)设 (2,1)关于直线 + 1 = 0 的对称点为 ′( , )，
1
2 = 1 = 0则 +2 +1 ，解得 ，即 ′(0,3)，
2 2 + 1 = 0
= 3
2 4
所以反射光线所在的直线方程为3 2 = 0 4，可得 + 4 12 = 0．
17.解：(1) 由 4 2 2 = + 2 + 2 得，2 (cos + 1) = + 2 + 2 ，
则 2 cos = + 2 ，由正弦定理得 2sin cos = sin + 2sin ，
∵ + + = , ∴ sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
∴ 2sin cos = sin + 2sin cos + 2cos sin , ∴ sin + 2sin cos = 0
∵ ∈ (0, ), sin > 0, ∴ cos = 12 , ∵ ∈ (0, ), ∴ =
2
3；
(2)①在 中，由余弦定理： 2 = 2 + 2 2 cos 得：
16 = 2 + 2 2 cos 2 3，化简的：
2 + 2 + = 16①，
∵ = 3 , ∴ = 1, = 3，
由∠ + ∠ = 得 cos∠ + cos∠ = 0，
2+ 2 2 2+ +
2 2
即： 2 2 = 0，代入数据化简得：
= 8
2 + 3 2 = 16②，联立①②得 = 2 代入②式解得： 7 ,
= 47
∴ 1 1 8 4 = 2 sin = 2 × 7 × 7 × sin
2 8 3
3 = 7 ，
∴ 3 3 8 3 6 3 = 4 = 4 × 7 = 7 ；
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②记∠ = ，则∠ = 3 ，
8
在 中，由正弦定理得：
sin2
= , ∴ = 3 sin 3 ，
3 sin 3
8 3
sin 4 cos
1sin 4 3 1
在等腰△ 中， = 2cos =
3 3 2 2
2cos = 2cos = 3 cos = 3 2 2 tan ，
由题意 0 < < 3，则 tan ∈ (0, 3)，
∴ 4 33 2
1
2 tan ∈ (0,2)，即 的取值范围为(0,2)．
18.【详解】(1)连接 交 于点 ，∵ // ，∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ∴ = 1， = = 2，
在直角梯形 中， // ， ⊥ ， = 2 2， = 2 = 4，
由勾股定理可得 = 2 + 2 = 8 + 4 = 2 3，
= 2 + 2 = 8+ 16 = 2 6，
在 中， = 13 =
2 3 1 2 6
3 ， = 3 = 3 ，
∴ 2 + 2 = 4 = 2，∴ ⊥ ，即 ⊥ ，
∵ 1 ⊥平面 ， 1 平面 1 ，∴ 1 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1 、 平面 1 1，∴ ⊥平面 1 1．
(2)( )过点 在平面 内作 ⊥ ，交 于点 ，连接 1 ，
∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ 1 ，
∵ ⊥ ， ∩ 1 = ， 、 1 平面 1 ，∴ ⊥平面 1 ，
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∵ 1 平面 1 ，∴ 1 ⊥ ，

则∠ 1 为二面角 1 的平面角，即∠ 1 = 3，
且∠ 1 为直线 1与平面 所成的角，
∵ tan∠ = 1 1 = 3，即 1 = 3 ，
∵ tan∠ 1 =
1 = 3 ，而在
3
中， = = 3 ，
∴ tan∠ 1 = 1 0 < ∠ <

，因为 1 2，即∠ 1 =

4．
∴ 直线 1与平面 所成角为4．
( )在等腰梯形 1 1中，∵ 1 = 3，∠ 1 =

4， = 2 6，
= 2 6 1则 2 1 = 2 ，即 = 4 ，
过点 作 // ，则 // 1 1，过点 1在平面 1 内作 1 ⊥ ，垂足为点 ，
在平面 1 1 内，∵ 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，∴ 1 // 1 ，
∵ 1 ⊥平面 ，∴ 1 ⊥平面 ，
过点 在平面 内作 ⊥ ，交 于点 ，连接 1 ，
∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ 1 ，
∵ ⊥ ， 1 ∩ = ， 1 、 平面 1 ，∴ ⊥平面 1 ，
∵ 1 平面 1 ，∴ ⊥ 1 ，
则∠ 1 为平面 1 1与平面 所成夹角的平面角，
∵四边形 1 1 为等腰梯形，∴ 1 = 1，∠ 1 = ∠ 1 ，∠ 1 = ∠ 1 = 90 ，
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∴△ 1 ≌△
1 6
1 ， = = 4 = 2 ，
2
1 = 1 = 21 2 = 3
6 6
2 = 2 ，
∴ = 12 = 6，
在平面 内，∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ // ，
∴ = = 2，即 = 2 ，
在平面 内，∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ // ，∴ =

=
1
4，
故 = 2 = 2 × 14 =
1
2 = 2，
6 1 6在 1 中，tan∠ 1 = 1 = 2 × 2 = 4 ．
6
故平面 1 1与平面 夹角的正切值为 4 ．
19. 1 1【详解】(1)依题意，点 2 , 4 ，直线 的斜率为 ，
1 1
由直线的点斜式方程，可得直线 的方程为 4 = 2 ．
1 1 1 1因为 = 2 , = 2，所以 2 ≤ ≤ 2．
(2)由已知 ⊥ , = = 1，
可得直线 方程为 = ，直线 方程为 = 1，
1 1 2 1 2 1
联立方程组 4 = ( 2 )，解得
= 4 4
, 4 4 ，
1 = 1 2 +1
又由 4 2 ，解得 (1, 4 )， = 1
= 2 2 1由两点距离公式可得 4 4，
1
1又由点 到直线 的距离为 = 4 = ，
1+12 4 1+12
所以 =
1
2 =
1 2 1 2 2 1 1 1
2 2 4 4 8 = 32 1 , 2 ≤ ≤ 2 ．
(3) = 1 × 1 2 +1 × 1 2 1 1 1由题意，可得 2 4 4 4 = 32 4(1 ) + 1 + 4 ，
= 4(1 ) + 1 1 1设 1 2 ≤ ≤ 2 ，
令 = 1 ，即 = 4 + 1 1 2 ≤ ≤
3 1 3
2 ，函数 在[ 2 , 2 ]为单调递增函数，
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所以当 = 1 3 202时， 的最小值为 = 4，当 = 2时， 的最大值为 = 3，
即 4 ≤ ≤ 20 1 13，所以4 ≤ ≤ 3，
2
又 2 ≥ (1 2 ) 1 1 1且3 ≤ 1 2 ≤ 2，所以 ≤ 1 2 = 2 , ∈
1 , 1
1 1 1 4 3
，

1 1 1
可得 的最大值为 ，所以实数 的取值范围是 ≤ ．
1 2
1 1
3 3
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