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2025-2026学年江苏省苏州第一中学校高二上学期十月阶段性测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{ }中， 1 = 2( ≥ 2)，且 1 = 1，则这个数列的第 10 项为( )
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
2.设等比数列{ }的前 项和为 ，若 2 = 3， 4 = 15，则 6 =( )
A. 31 B. 32 C. 63 D. 64
3.在等差数列 中，3 3 + 5 + 2 8 + 9 + 13 = 24，则此数列前 13 项的和是( )
A. 13 B. 26 C. 52 D. 56
4 1 1 1.已知等比数列 的前 项和为 ，若 + + = 2, 2 = 2，则 3 =( )1 2 3
A. 8 B. 7 C. 6 D. 4
5 1.已知 = +1+ ∈ ，则 1 + 2 + 3 + + 80 =( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6.已知递减的等差数列{ }满足 21 = 29，则数列{ }的前 项和取最大值时 =( )
A. 4 或 5 B. 5 或 6 C. 4 D. 5
7.数列 2 满足 1 + 2 2 + 2 3 + … + 2 1 =

2 ( ∈ )，数列 前 和为 ，则 10等于( )
1 55 1 10A. B. 1 C. 1 1
9
D. 1
66
2 2 2 2
8 2 1.已知数列 的前 项和为 ，且 1 = 2， +1 = + +1，则( )
A. 1 1数列 是等差数列 B.数列 是等差数列
C. 1 1数列 是等比数列 D.数列 是等比数列
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列 中，前 项和为 ，若 12 < 13, 13 > 14，则下列命题中正确的是( )
A.公差 < 0 B. 15 < 12
C. 13是各项中最大的项 D. 13是 中最大的值
10 1.已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 1，且 2 +1 + = 1 + 2 ( ∈ )，则( )
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A.数列{2 }
3
为等差数列 B. = 2
C. 随 的增大而减小 D. 有最大值

11.已知数列 的前 项和为 , 1 = 1, +1 = + 2 + 1，数列{
2
}的前 项和为


, ∈ ，则下列
+1
选项正确的是( )
A.数列 + 1 是等差数列 B.数列 + 1 是等比数列
C.数列 的通项公式为 = 2 1 D. < 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.中国古代有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要
将第八数来言”.即：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年
龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵为 斤．
13.已知数列 的前

项和为 ，若 与 均为等差数列且公差不为 0，则 4 的值为 ．5
1
2 , ( = 1)14.已知数列 满足： = { , { }的前 项和为 ，则当 = 1 时， 11 = ；
[1 + 2 ( 1) ] 1 + 2( 2)
当 = 2 时，数列 的通项公式为 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
等比数列 中，已知 1 = 2， 4 = 16．
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)若 3， 5分别是等差数列 的第 4 项和第 16 项，求数列 的通项公式及前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
将正奇数数列 1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．
(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列 ，求数列 的通项公式；
2 (2) (1 )设 = ，求数列 的前 项和 ． +1
17.(本小题 15 分)
2
已知数列 的前 项和为 ，且 =
+
2 ，数列 满足： = log

2 ， ∈ ．
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(1)求数列 ， 的通项公式；
1 ( 为奇数)
(2)设 = { ( +2) 2 , 为数列 的前 项和，求 2 ．
( 为偶数)
18.(本小题 17 分)
1
已知数列 的前 项和为 ，且 = 2 + ．
(1)证明：数列 2 是等差数列；
(2)设数列 的前 项积为 2 ，若 = ，求数列 的通项公式．
19.(本小题 17 分)
已知等比数列 的公比 > 1，且 1 + 3 = 20， 2 = 8，等差数列 的前 项和为 ，且有 6 = 57， 4 = 11．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2) 3 设 = ， 是数列 的前 项和，对任意正整数 ，不等式 +

2 +1
> ( 1) 恒成立，求实数
的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.184
13.2
14.21

2 ； =
3
2 1
15.解：(1)设等比数列 的公比为 ，
因为 1 = 2， = 16，可得 2 34 = 16，解得 = 2，
所以数列 1 的通项公式为 = 2 × 2 = 2 ；
(2)因为 3， 5分别是等差数列 的第 4 项和第 16 项，
所以 4 = 3 = 23 = 8， = = 2516 5 = 32，
设等差数列 的公差为 ，
4 = 1 + 3 = 8可得 = + 15 = 32，解得 1 = 2， = 2，16 1
所以 = 2 + ( 1) × 2 = 2 ，
( 1)
则数列 的通项公式及前 项和 = 2 + 2 × 2 =
2 + ．
16.解：(1)由题意知， 2 1 = 4， 3 2 = 6， 4 3 = 8，……， 1 = 2 ，
对于 2 时，
由( 2 1) + ( 3 2) + ( 4 3) + + ( 1) = 4 + 6 + 8 + + 2
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= 2(2 + 3 + 4 + + ) = 2(2+ )( 1) 22 = + 2，
得 2 1 = + 2，因为 21 = 1，所以 = + 1，
经检验，当 = 1 时，满足 1 = 1，所以 = 2 + 1；
2 (2) = (1 ) = 2
2 +1
由题意得， ( +1) +1，
1 2 2 3 +1 +1
所以 =
2 2 2 2 2 2 21 2 + 2 3 + + +1 = 2 +1．
2
17.解：(1) ∵ + 数列{ }的前 项和 = 2 ，
当 = 1 时， 1 = 1 = 1，
2 2
当 ≥ 2 时， + ( 1) + 1 = 2 ， 1 = 2 ，
两式相减得： 1 = = ( 2)，
又 = 1 时， 1 = 1 满足上式，
所以 = ，
又 = log2 ，所以 = log2 ，
所以 = 2 ；
1
(2) = { ( +2)
( 为奇数)
因为 2 ，由(1)知， = ，

= 2 ，
( 为偶数)
1
( +2) ( 为奇数)
所以 = { 1 ,
2 1 ( 为偶数)
所以 2 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 )
1 1 1 1 1 1
= ( 1× 3 + 3 × 5 + . . . + (2 1)(2 + 1) ) + (2+ 8 + . . . + 22 1
)
1 1
1 1 1 1 1 1 2 (1 4 )= 2 (1 3 + 3 5 + + 2 1 2 + 1 ) + 1 14
1 1 2 1
= 2 (1 2 + 1 ) + 3 (1 4 )
= 7 1 26 2(2 +1) 3×4 ．
18. 1解：(1)证明：当 = 1 时， 1 = 12 + ,
2
1 = 2，
1
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2 = 当 时， 1 + 1 + 1 1 2 ，所以 1 2
= ， 1
所以 2 2 1 = 2(常数)，
故数列 2 2 是以 1 = 2 为首项，2 为公差的等差数列；
(2)由(1)知， 2 = 2 + ( 1) × 2 = 2 ，得 = 2 ，
当 2 时， = =
2 =
1 2( 1) 1
，
当 = 1 时， 1 = 1 = 2，不符合上式，
2, = 1
故 =
1 , 2
．
19.解：(1)等比数列 中， 1 + 3 = 20， 2 = 8，
1 + 21 = 20 1 = 4故 ，又 > 1，所以 +1
1 = 8 = 2
，故 = 2 ；
6 +
等差数列 中， 1 66 = 2 = 57，即 1 + 6 = 19，又 4 = 11，
2 1 + 5 = 19 = 2故 + 3 = 11，所以
1
= 3，故 = 3 1；1
(2) = = 3 1因为 2 +1， = 1 + 2 + 3 + . . . + ，
2 3 4 +1
故 = 2 ×
1 + 5 × 12 2 + 8 ×
1
2 + . . . + (3 1)
1
2 ，
1 1 3 1 4 5 +1 +2
则2 = 2 × 2 + 5 × 2 + 8 ×
1 + . . . + (3 4) 1 + (3 1) 12 2 2 ，
1 1 2 1 3 1 4 1 +1 1 +2
两式作差得：2 = 2 × 2 + 3 2 + 8 × 2 + . . . + 2 (3 1) 2
1 3 1 1
1 2 2
1 2 1 +2 5 3 + 5
= 2 × 2 + 3 × (3 1) = +21 1 2 4 22
故 =
5 3 +5 3 5 3 +5 3 5 5 2 2 +1，所以 + 2 +1 = 2 2 +1 + 2 +1 = 2 2 +1 > ( 1) 恒成立，
< 5 5 5 5 = 2 15 15当 是偶数时，不等式即 2 2 +1，易见 2 2 +1 是递增数列，故 时取得最小值 8，所以 < 8，
> 5 5 5 5 5 5当 是奇数时，不等式即 2 +1 2，易见 2 +1 2 是递减数列，故 = 1 时取得最大值 4，所以 > 4，
5 15
综上可知，实数 的取值范围是 4 < < 8．
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