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2025-2026学年广东省揭阳第一中学高二上学期段考一
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.若空间中四个不同的平面，，，，满足，，，则下面结论一定正确的是( )
A. B.
C. ，既不垂直也不平行 D. ，的位置关系不确定
6.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知为正方形的中心，，分别为，的中点，若将正方形沿对角线翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为( )
A. B. C. D.
8.在正四棱锥中，平面于，，底面边长为，点、分别在线段、上移动，则、两点的最短距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的一个方向向量为
C. 方程表示的直线必过点
D. 过点且在，轴上的截距相等的直线方程为
10.在平行六面体中，已知，，为棱的中点，则( )
A.
B. 直线与所成的角为
C. 平面
D. 已知为上一点，则最小值为
11.已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为奇函数，则 ．
13.已知、，点在线段上，则的取值范围为 ．
14.“曼哈顿距离”是由世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间或平面直角坐标系中的“绝对轴距”总和例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，．
设，且，求的坐标；
若四边形是平行四边形，求顶点的坐标；
求的面积．
16.本小题分
象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有名学生参加，从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成组：，，，并整理得到如图频率分布直方图：
根据直方图，求的值：
估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数；
决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立求甲最终获胜的概率．
17.本小题分
四棱锥底面为菱形，底面，点在上，．
证明：；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
中，角，，的对边分别为，，，已知，．
求角的值；
求的最大值；
若边上的中线长为，求的面积．
19.本小题分
已知函数，．
直接写出时，的最小值．
若，求证：在上存在唯一零点．
若，有且仅有两个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知得，
因为，所以可设，
所以，解得，
所以或；
设，
因为是平行四边形，所以，
由，，，
得，，
所以，故；
由题可得，，
所以，，
所以，
又，
所以，
所以的面积．

16.解：由频率分布直方图，
的频率为的频率为，
的频率为，的频率为，
所以的频率为，
所以；
根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：
分，
因为前三组，的频率之和为，
所以估计这次知识能力测评的中位数为分；
因为甲最终获胜，比分可能是，，
设甲获胜为事件，获胜为事件，
若甲获胜，则概率为，
若甲获胜，则概率为，
又，两个事件互斥，
则甲最终获胜的概率为．

17.解：证明：连接与交于点，
在菱形中，，
底面平面，
平面，，
平面，
平面；
取的中点，连接，
为中点，中，，
底面底面，
以为坐标原点， 所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，
设，
，即，
由此可求，
设平面，平面的法向量分别为，
，
，即，
令，得，
故平面的一个法向量为，
同理，，即，
令，得，
故平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，且为锐二面角，
则，
二面角的余弦值为．

18.解：因为，
由正弦定理，可得，
整理可得，由余弦定理得，
所以，所以．
因为在中，，所以．
因为，由正弦定理可得，
可得，．
因为，所以．
，
所以，其中．
所以，当时，取得最大值，最大值为．
由题可知，，
由知，即，
因为为边上的中线，所以，
两边平方得：，
所以，
可得，可得，
所以的面积．

19.【详解】根据题意，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以时，的最小值为
当时，，
令，
所以函数在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以在区间上单调递减
又，
而，，
且
所以
又，，
则，所以．
又在区间上单调递减，所以在上存在唯一零点
由，解得，则，
令，则
有且仅有两个零点等价于在上有且仅有一个零点或两个零点为和
令，则在上有且仅有一个零点或两个零点为和．
(ⅰ)若零点为和，则无解；
(ⅱ)若，则，令可得，故满足题意；
(ⅲ)若，图象的对称轴为，
由在上有且仅有一个零点，则有
或
整理得或
解得，
，解得．
综上，的取值范围为

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