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2024-2025学年四川省泸州七中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A. 1，2， B. 1，2， C. 3，4，5 D. 6，8，12
2.如图，在 ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B=65°，则∠DAE等于（　　）
A. 15°
B. 25°
C. 35°
D. 65°
3.如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=10m，则A，B之间的距离是（　　）
A. 5m
B. 10m
C. 20m
D. 40m
4.下列计算正确的是（　　）
A. -=1 B. += C. 2= D. -=
5.下列说法正确的是（　　）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形
B. 有一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴
6.与是同类二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
7.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. AB∥CD，AD∥BC B. AB=AD，CB=CD
C. ∠A=∠C，∠B=∠D D. AB∥CD，AB=CD
8.如图，在数轴上，点A，B对应的实数分别为1，3，BC⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴正半轴于点P，则P点对应的实数为（　　）
A. +1 B. C. +3 D. 4-
9.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ）
A. B. C. D.
10.把的根号外的因式移到根号内的结果是（　　）
A. B. C. D.
11.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n（m＞n）.若小正方形面积为7，（m+n）2=21，则大正方形面积为（　　）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
12.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE=15°，连接OE，则下面的结论中正确的有（　　）
①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC=AB；④∠AOE=135°；⑤S△AOE=S△BOE．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
14.的倒数是 .
15.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是______．
16.如图，在边长为12的菱形ABCD中，∠ABC=30°，P为BC上方一点，且，则PB+PC的最小值为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
计算：.
19.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题7分)
如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE=DF．
21.(本小题7分)
小刚想知道学校升旗杆的高度，他发现旗杆顶端处的绳子垂到地面后还多1米.当他把绳子拉直后并使下端刚好接触地面，发现绳子下端离旗杆下端3米.请你帮小刚把旗杆的高度求出来.
22.(本小题8分)
已知，求下列的值：①a2b-ab2；②.
23.(本小题8分)
如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
24.(本小题12分)
综合与实践
问题情境：在学习了《二次根式》和《勾股定理》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动.
操作发现：“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在图1中画出△ABC，共顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此图求出了△ABC的面积.
实践探究
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB=5，，，△ABC的面积为______.
继续探究
“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料：已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦（Heron,约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式，其中.
我国南宋时期数学家秦九韶，给出了著名的秦九韶公式.
（2）①一个三角形边长依次为5、6、7，利用海伦公式，求得这个三角形的面积是______.
②一个三角形边长依次为，利用秦九韶公式，求得这个三角形的面积是______.
（3）“勾股定理”小组经过合作交流，已知任意形状的三角形的三边长也可以用“勾股定理”求出其面积.如图2，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程.
①作AD⊥BC于D，设BD=x,用含x的代数式表示CD=14-x；
②根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积.
25.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AC=10cm,∠ACD=60°，点P从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点P，Q运动的时间是t秒，过点P作PE⊥BC于点E，连接PQ，QE.
（1）BQ=______cm,PE=______cm（用含t的代数式表示）；
（2）试说明：无论t为何值，四边形AQEP总是平行四边形；
（3）连接AE，AE与PQ能垂直吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（4）直接写出当t为何值时，△APQ为直角三角形.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】D
12.【答案】C
13.【答案】x≠2且x≥-1
14.【答案】
15.【答案】10
16.【答案】20
17.【答案】2+4．
18.【答案】10-6．
19.【答案】x2+1；2026．
20.【答案】证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠BAE=∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF．
∴BE=DF．
证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠DAF=∠BCE．
∵AE=CF，
∴AF=AE+EF=CF+EF=CE．
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE．
∴BE=DF．
21.【答案】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：x2+32=（x+1）2，
解得，x=4．
答：旗杆的高度为4米．
22.【答案】①6；
②34．
23.【答案】解；（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DE=BF，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AE=CE，
设DE=x，
则AE=，CE=8-x，
则=8-x，
化简有16x-28=0，
解得：x=，
则菱形的边长为：8-=，
周长为：4×=25，
故菱形AFCE的周长为25．
24.【答案】；
①6；
②；
①DC=14-x，
②x=9；
③84
25.【答案】（5-t）；t；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEB=90°，
∴AQ∥PE．
由 可知，PE=t cm．
∵AQ=t cm，
∴AQ=PE，
∴四边形AQEP是平行四边形．
∴无论t为何值，四边形AQEP总是平行四边形．
AE与PQ能垂直，
由 可知，
∵四边形AQEP是平行四边形，
∴当AQ=AP时，四边形AQEP是菱形，
根据菱形的对角线互相垂直，可得AE⊥PQ，
∴t=10-2t．
解得t=，
∴当t=时，AE⊥PQ；
当t=s或4s时，△APQ是直角三角形
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