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2025-2026学年北京市东城区北京汇文中学九年级上学期9月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是（）
A. 平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小
B. 平移和旋转的共同点是改变了图形的位置，而图形的形状大小没有变化
C. 图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离
D. 在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
2.下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正方形
5.如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接EF，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，，，可以看作是由绕点O顺时针旋转角度得到的．若点在上，则旋转角的大小可以是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，P是等边内的一点，连接．若将绕点B旋转到，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
9.将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是
10.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于 ．
11.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题8分)
如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
(1)画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为______．
(2)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______．
13.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，，点E在对角线BD上. 将线段CE绕点C顺时针旋转，得到CF，连接DF.
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC，若EB=EC，求证：.
14.(本小题8分)
如图，中，点A为内一点，
(1)画出将绕点O逆时针旋转得到的三角形；
(2)求的度数．
15.(本小题8分)
如图所示，已知为等腰直角三角形，，E，F是BC边上的点，且．求证：．
16.(本小题8分)
已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP．
（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．
17.(本小题8分)
已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.

(1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
(2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】-1
11.【答案】
12.【答案】（1）解：如图，即为所求．
由图可得，
故答案为：；
（2）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，
即旋转中心的坐标为
故答案为：

13.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，，
∵，
∴，
∴=，
∵线段由线段绕点顺时针旋转得到，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴.

14.【答案】（1）解：由于，
∴旋转即在的位置上，
∴绕点O逆时针旋转得到的如图所示：
（2）解：连接，
∵是由绕点O逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
又∵，
∴，
则，
∴，
∴．

15.【答案】方法1 如图8－8所示，将绕点A按顺时针方向旋转．
∵为等腰直角三角形，，
∴．
∴旋转后AC边与AB边重合，记旋转后的三角形为．
∴，，，．
∵，，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
方法2 如图8－9所示，将沿直线AE翻折得，连接FG，则，，．
由，
可得．
在和中，
，
∴，
∴，．
∴．
∴．

16.【答案】解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=90°，
∴AD=ED，
∵P为AE的中点，
∴DP⊥AE；
（2）①补全图形如图2所示；
证明：∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，
∴∠DAE=45°，AD=ED，
∵P为AE的中点，
∴∠ADP=∠EDP=45°，
∴∠BAE+∠CAD=∠BAC-∠DAE=45°，
∵∠CAD+∠ACP=∠ADP=45°，
∴∠BAE=∠ACP；
②BF=DF．
证明：如图3，延长CP至G，使PG=DP连接AG，BG，
∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE=90°，
∴AD=DE，∠DAE=45°，
∵P为AE的中点，
∴∠APD=∠APG=90°，AP=DP=PG，∠ADP=45°，
∴△APG≌△APD（SAS），
∴AG=AD，∠PAG=∠DAE=∠AGP=45°，
∴∠GAD=∠BAC=90°，
∴∠BAG+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°，
∴∠BAG=∠CAD，
∵AG=AD，AB=AC，
∴△BAG≌△CAD（SAS），
∴∠AGB=∠ADC=180°-∠ADP=135°，
∴∠BGC=∠AGB-∠AGP=90°，
∴∠BGC=∠APG，
∴PF∥BG，
∴==1，
∴BF=DF．
17.【答案】（1）证明：连接 .

由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点.
（2）解：.
在射线上取点H，使得，取的中点G，连接.

∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴.
∵，
∴，，
∵是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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