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第二十四章《圆》章节测试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列图形中的角是圆心角的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知⊙O的半径是6cm，则⊙O中最长的弦长是（　　）
A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm
3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
4．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（　　）
A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm
5．如图，点B、C、D在⊙O上，∠ADB＝30°，A是的中点，若OB＝3，则的长是（　　）
A． B． C．π D．2π
6．已知：如图，E是相交两圆⊙M和⊙N的一个交点，且ME⊥NE，AB为外公切线，切点分别为A，B连接AE，BE，则∠AEB的度数为（　　）
A．145° B．140° C．135° D．130°
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．如图，正六边形ABCDEF中，CF是其对角线，点P是BC边上不与端点重合的动点，下面是两位同学的操作和结论：
嘉嘉 操作：过点P作PM∥FC，交DC延长线于点M． 结论：△PMC一定是正三角形 琪琪 操作：过点P作PN∥CD，分别交CF、DE于点Q、N． 结论：QN的长度不变
则对于这两个结论（　　）
A．嘉嘉和琪琪均错误 B．嘉嘉和琪琪均正确
C．嘉嘉正确，琪琪错误 D．嘉嘉错误，琪琪正确
9．如图，⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，且点O2在⊙O1上，点C是弧AO2B上的一动点（点C不与点A、B重合），连接AC并延长AC交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP，当点C在弧AO2B上运动时，图中大小都不变的角的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，则OI的长度为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，半径为5的⊙M圆心M的坐标为（9，12），点P是⊙M上任意一点，PA，PB与x轴分别交于A，B两点，且PA⊥PB，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　）
A．60 B．40 C．34 D．20
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E、G两点，CE交PB于F，连接AB，下列结论：①AE＝CG ②AC∥PG ③PF＝EF ④E为△ABP的内心，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②④
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是　 　 ．
14．为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，截面如图．若管内污水的面宽AB＝40cm，污水的最大深度为10cm，则圆柱形水管的直径为 　 　 cm．
15．已知⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，如果BC边的长为10cm，AD的长为4cm，那么△ABC的周长为　 　 cm．
16．如图，在正方形纸片ABCD中，AB＝8，在正方形中剪下一个扇形BCE和一个圆形，点E在BD上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为　 　 ．（结果保留π）
17．如图，四边形ABCD是正方形，以B为圆心，作半径为3的半圆，交AB于点E．将半圆B绕点E逆时针旋转，记旋转角为30°，半圆B正好与边CD相切，则正方形的边长为 　 　 ．
18．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以AD为半径顺时针作弧DE交BA的延长线于点E，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，以BE为半径顺时针作弧EF交CB的延长线于点F，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，以CF为半径顺时针作弧FG交DC的延长线于点G，得到扇形FCG，依此按A，B，C，D为圆心类推进行操作，所得曲线DEFGH…叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 　 　 ．（结果保留π）
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若BE＝2，CD＝8．
（1）求CE的长度；（2）求OC的长度．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠BCD＝45°．
（1）求证：AD＝BD；
（2）若C为弧AB上的三等分点，BC＝3，求CD的长．
21．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DE平分∠BDC．
（1）求证：BD＝CD；
（2）过点A向圆外作∠DAF＝∠ACB，且AF＝CD，求证：四边形ABDF为平行四边形．
22．（8分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．
（1）若∠C＝40°，求∠ADE的度数；
（2）若，CE＝2，求阴影部分的面积．
23．（10分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM．
（1）求证：△MBC是等腰三角形；
（2）若AB＝2，求点M到BC的距离．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点E是△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点D，连接AD，AE．
（1）求证：AD＝ED；
（2）连接OE，若∠AOE＝135°，求的值．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠CAD＝∠BAD过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，G为AB下方的半圆弧的中点，DG交AB于点H，连接DB，GB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：∠DGB＝∠BDF；
（3）已知AO＝10，BH＝6，求GH的长．
26．（10分）千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为1km的人工湖⊙O上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“X型”
（1）如图①，若点A，B，C，D在⊙O上，则AC+BD的最大值为 　 　 km；
“L型”
（2）如图②，若点A，B，C在⊙O上，且AB⊥BC．求AB+BC的最大值；
“T型”
（3）如图③，若点A，B，C在⊙O上，且AC⊥BD，垂足为D，则AC+BD的最大值为 　 　 km．
参答答案
一、选择题
1．B
【解答】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
B、是圆心角，故选项符合题意；
C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；
故选：B．
2．B
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为12cm．
故选：B．
3．A
【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D，
∴ADAB8＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OD3．
故选：A．
4．D
【解答】解：如图，连接OD、OC．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，
∴，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4cm，
∴⊙O的周长＝2×4π＝8π（cm）．
故选：D．
5．D
【解答】解：连接OA，
根据圆周角定理可知：∠AOB＝2∠D＝60°，
又∵A是的中点，
∴∠BOC＝2∠AOB＝120°，
∴的长是：，
故选：D．
6．C
【解答】解：连接AM，BN，
∵∠BAE∠AME，∠ABM∠BNE，
∴∠BAE+∠ABE（∠AME+∠BNE），
∵MA⊥AB，NB⊥AB，
∴MA∥NB，
∴∠AMN+∠BNM＝180°．
∵∠MEN＝90°，
∴∠EMN+∠ENM＝90°，
∴∠AME+∠BNE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BAE+∠ABE90°＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°．
故选：C．
7．A
【解答】解：∵∠ABC＝70°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，
∵AO∥CD，
∴∠AOC+∠OCD＝180°，
∴∠OCD＝40°．
故选：A．
8．B
【解答】解：∵正六边形ABCDEF，CF是其对角线，
∴，∠BCF＝∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCF＝60°，∠BCM＝60°，
∵PM∥FC，
∴∠PMC＝∠DCF＝60°，∠MPC＝∠PCF＝60°，
∴△PMC是正三角形，
故嘉嘉正确，
∵∠CDN＝120°，∠DCF＝60°，
∴∠CDN+∠DCF＝180°，
∴CF∥DN，
又PN∥CD，
∴四边形QCDN是平行四边形，
∴QN＝CD，
即QN的长度不变，
故琪琪正确，
故选：B．
9．B
【解答】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，
根据题意可知，整个图形中，点C是运动的，
∴，
∵∠1，∠AO2B不变，
∴∠ACB，∠APB保持不变，
由条件可知∠BCP＝180°﹣∠ACB，
∴∠BCP也不变，
∵∠CBP+∠CPB+∠BCP＝180°，
∴∠CBP＝180°﹣∠CPB﹣∠BCP，
∴∠CBP也不变，
故不变的有四个角：∠ACB，∠APB，∠BCP，∠CBP，
故选：B．
10．B
【解答】解：作△ABC的外接圆，则圆心为点O，连接并延长AO交BC于点E，连接OB、OC，则OB＝OA＝OC，
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴，
∴AE垂直平分BC，
∴∠AEB＝90°，BE＝CEBC＝5，
∴AE12，
∵BE2+OE2＝OB2，且OB＝OA＝12﹣OE，
∴52+OE2＝（12﹣OE）2，
解得OE，
连接IB、IC，作IG⊥AB于点G，IF⊥AC于点F，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC＝∠IBA∠ABC，∠ICB＝∠ICA∠ACB，
∴∠IBC＝∠ICB，
∴IB＝IC，
∴点I在BC的垂直平分线上，即点I在AE上，
∴IG＝IF＝IE，
∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC13IG13IF10IE10×12，
∴13IE13IE10IE10×12，
解得IE，
∴OI＝OE﹣IE，
故选：B．
11．B
【解答】解：连接OP，
∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴AB＝2PO，
∴当PO取最大值时，AB的值最大，当P在OM的延长线时，PO最大，
∵M的坐标是（9，12），
∴OM15，
∵圆的半径是5，
∴PM＝5，
∴PO＝OM+PM＝15+5＝20，
∴AB＝2PO＝40，
∴AB的最大值是40．
故选：B．
12．C
【解答】
解：连接AE、CG、OA、OC，作OH⊥AC，CM⊥PG，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PG⊥AB，
故可得AC∥PG，即可得②正确；
∵OA＝OC，
∴点H是线段AC的中点，
由题意得，AN＝CM，EN＝OE﹣ON，MG＝OG﹣OM，
∴EN＝MG，
∴AE，CG，AE＝CG，
即①正确；
由题意得，∠FPE＝∠ABC，∠FEP＝∠CEO＝∠ECO，
而，故不能得出∠FPE＝∠FEP，
也即得出PF≠EF，即③错误；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAE＝∠ABE，
又∵，
∴∠EAB＝∠ABE，
∴∠PAE＝∠EAB，即可得点E是△PAB角平分线的交点，点E为△ABP的内心，
故可得④正确．
综上可得①②④正确．
故选：C．
二、填空题
13．解：此扇形的弧长4π，
故答案为：4π．
14．解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交⊙O于F，
∵管内污水的面宽AB＝40cm，污水的最大深度为10cm，
∴AE＝20cm，EF＝10cm，
设AO＝x cm，则EO＝（x﹣10）cm，
在Rt△AOE中，
AO2＝EO2+AE2，
则x2＝（x﹣10）2+202，
解得：x＝25，
故圆柱形水管的直径为50cm．
故答案为：50．
15．解：
∵⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，BC＝10cm，AD＝4cm，
∴AD＝AF＝4cm，BE＝BD，CF＝CE，
即BD+CF＝BE+CE＝BC＝10cm，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝AD+BD+BC+CF+AF＝4cm+10cm+10cm+4cm＝28cm，
故答案为：28cm．
16．解：剪下的扇形是面积为8π，
设围成圆锥的底面圆的半径为r，
则2πr，
解得r＝1，
所以纸片剩下部分（阴影部分）的面积为82﹣8π﹣π×12＝64﹣9π．
故答案为：64﹣9π．
17．解：设半圆B与边CD相切的切点为F，旋转后的圆心B的对应点为O，
连接FO并延长交AB于H，
∵CD与⊙O相切，
∴FH⊥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝∠ABC＝90°，
∴四边形BCFH是矩形，
∴FH＝BC，∠BHF＝∠EHO＝90°，
∵将半圆B绕点E逆时针旋转，记旋转角为30°，
∴OE＝EB＝OF＝3，∠BEO＝30°，
∴，
∴BC＝FH＝OF+OH＝OE+OH，
即正方形的边长为，
故答案为：．
18．解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，
∴第一次操作（扇形DAE），
以点A为圆心，以AD为半径，
∵AD＝1，圆心角n＝90°，
∴S1π，
第二次操作（扇形EBF），
以点B为圆心，以BE为半径，
∵BE＝2，圆心角n＝90°，
∴S2π，
第三次操作（扇形FCG），
点C为圆心，以CF为半径，
∵CF＝3，圆心角n＝90°，
∴S3，
第四次操作（扇形GDH），
点D为圆心，以DG为半径，
∵DG＝4，圆心角n＝90°，
∴S44π，
∴S1+S2+S3+S4π+ππ+4ππ．
故答案为：π．
三、解答题
19．解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴，
即CE的长度为4；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
设OC＝R，
∵BE＝2，
∴OE＝R﹣2，
在Rt△OEC中，CE2+OE2＝OC2，
∴42+（R﹣2）2＝R2，
解得R＝5，
∴OC＝5，
即OC的长度为5．
20．（1）证明：∵弧BC＝弧BC，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD；
（2）解：如图，连接OC，作BE⊥CD于点E，
∴∠CEB＝∠DEB＝90°．
∵C为弧AB上的三等分点，
∴∠COB＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∵∠BCD＝45°，
∴∠CBE＝90°﹣∠BCD＝45°，
∴CE＝BE，
∴DE，
∴CD＝CE+DE．
21．证明：（1）∵DE为⊙O直径，
∴，
∵直径DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
∴，
∴，
∴，
∴BD＝CD；
（2）∵∠DAF＝∠ACB，∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠DAF，
∴AF∥BD，
∵AF＝CD，BD＝CD，
∴AF＝BD，
∴四边形ABDF为平行四边形．
22．解：（1）如图，连接OA，
∵OA是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝50°，
∴∠ADE＝25°；
（2）设OA＝OE＝r，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2，
即，
解得：r＝2，
∴OC＝OE+CE＝2+2＝4，OA＝2，
∴，
∴，
∴∠C＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵，
∴阴影面积为：．
∴若，CE＝2，阴影部分的面积是．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD（正方形的四条边相等），
∴（等弦所对的弧相等），
∵M为弧AD的中点，
∴，
∴，
∴BM＝CM，
∴△MBC是等腰三角形；
（2）解：连接OB，OC，连接MO并延长交BC于点F，
∵BM＝CM，OB＝OC，
∴MF是线段BC的垂直平分线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，
即点M到BC的距离为．
24．（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ACD＝∠BCD，∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD+∠CAE＝∠BAD+∠BAE，
∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，∠EAD＝∠BAD+∠BAE，
∴∠AED＝∠EAD，
∴AD＝ED．
（2）解：作△ABC的内切圆⊙E与AB、BC分别相切于点F、I，连接EF、EI，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ECI＝∠ACD∠ACB＝45°，
∵∠AOE＝135°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOE＝45°，
∴∠ECI＝∠EOF
∵BC⊥EI，AB⊥EF，
∴∠EIC＝∠EFO＝90°，
∵EI＝EF，
∴△ECI≌△EOF（AAS），
∴CI＝OF，
∵BI＝BF，
∴CI+BI＝OF+BF，
∴BC＝OBAB，
∴，
∴的值为．
25．（1）证明：如图1，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
又∵EF⊥AE，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠OBD＝90°，
由（1）可知EF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°，
∴∠BDF+∠ODB＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠DAB＝∠BDF，
又∵∠DAB＝∠DGB，
∴∠DGB＝∠BDF；
（3）解：如图2，连接OG，
∵G是半圆弧的中点，
∴∠BOG＝90°，
在Rt△OHG中，OG＝10，OH＝OB﹣BH＝10﹣6＝4，
∴．
26．解：（1）如图①，
∵圆内最大弦为圆的直径，
∴当AC和BD均为直径时AC+BD的最大，
∵圆的半径为1km，
∴最大值为4km，故答案为：4；
（2）如图②
设BC＝a km，AB＝b km，
在Rt△ABC中，
∵AC＝2km，
∴a2+b2＝4，
∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝2ab+4，
∴当ab最大时，a+b最大，
∵S△ABCab，
∴ab＝2S，
∴当S最大时，ab最大，
当△ABC以AC为底时，点B位于中点处时，S最大，
此时△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝2cos45°（km），
∴AB+BC的最大值为2km；
（3）如图③，
连接OA，
∵BD⊥AC，
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，AC+OD＝m
∴OD＝m﹣2x，
在Rt△OAD中，
∵OA＝1km，
∴OD2+AD2＝OA2，即x2+（m﹣2x）2＝12，
∴5x2﹣4mx+m2﹣1＝0
∵Δ＝（﹣4m）2﹣4×5（m2﹣1）≥0，
∴m，
∴0≤m，
∴m的最大值为，
∵OB＝1km，
∴AC+BD的最大值为（1）km．
故答案为：（1）．

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