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2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是（ ）
A． B．3 C．4 D．
7．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥
8．如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．的值为2
B．
C．函数在单调递增
D．当时，方程存在两个根，则.
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知空间向量，，且，则实数
B．直线与直线之间的距离是
C．已知直线l过点，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则面积的最小值为4
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
11．在棱长为2的正方体中，空间中的点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为
D．若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为
三、填空题
12．圆上的点到直线的距离最小为 .
13．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系，从小到大排列为 .
14．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其下底面与半球的底面重合，上底面圆周在半球的球面上，则圆台的侧面积为 ；半球被该圆台的上底面所在的平面截得两部分，其体积分别为，则 ．
四、解答题
15．已知圆M以为圆心且过坐标原点O，直线交圆M于不同的两点C，D.
(1)求圆M的方程，并求与直线相交的弦长；
(2)设P在圆M上，当的面积为4时，求直线PM的方程.
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值.
17．某校为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数、频率.
(2)学校建议，本次物理测试成绩不低于a分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有70%的学生选择物理为高考考试科目，试求a的估计值（结果精确到0.1）.
(3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值.
18．如图1，在平行四边形中，，，E为的中点.将沿AE折起，如图2，连接与，且.

(1)证明：平面平面.
(2)设（），是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
(3)求三棱锥的内切球的半径.
19．已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)若存在两个不相等的正实数，满足．
①求在上的最小值；
②证明：．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C A C B A ABD CD
题号 11
答案 CD
1．C
根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得.
故选：C.
2．D
根据直线斜率的定义直接得出结果.
【详解】由得，
故倾斜角满足为，
故.
故选：D
3．A
利用二次方程根的分布，结合集合的交集结果即可得解.
【详解】因为，，所以，
而，
当，即时，，
则，不合题意；
当，即时，方程有两个不等实根，
又二次函数的对称轴为，
则要使，只须，解得；
综上，m的取值范围为.
故选：A.
4．C
充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可.
【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件；
当与直线平行时，，则
∴或，
当时显然成立，当时，，，
整理后与重合，故舍去，
∴，满足必要条件；
∴“”是“直线与直线平行”的充要条件
故选：C
5．A
根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积．
【详解】四面体的棱长都是4，
四面体的4个面均为边长是4的等边三角形，
点M为棱的中点，
，
，
故选：A．
6．C
由题意可得两点在直线的同侧，求出点关于直线的对称点，所以当点P为直线与直线的交点时，取得最小值为，利用距离公式即可求解.
【详解】如图，

可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点，
则，
所以取得最小值为，
因为，直线为，所以，点，
所以，
所以的最小值是4.
故选：C
7．B
分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件、互斥事件的定义判断即可.
【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，
，，，，，共种情况；
第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况；
第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况；
则两次取出球的数字之和为，的所有可能为，，，共种情况；
两次取出球的数字之和为，所有可能为，共种情况；
记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为，
“两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为，
则，，，.
A：当出现情况时，甲丙同时发生，则，
故甲丙相互独立，故A正确；
B：当出现情况时，甲乙同时发生，则，
故甲乙不相互独立，故B错误；
C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确；
D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确；
故选：B.
8．A
根据向量共线定理表示出，然后利用平面向量基本定理求得，，从而求得，即，利用余弦定理求出，即可求解．
【详解】设，因为B，F，E共线，
所以 ，
又因为，所以，
所以，解得，
所以，得，
，
所以，所以，所以，
在中，，，，所以，
所以，
所以．
故选：A
9．ABD
根据给定条件，利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由题函数，
所以由函数的最小正周期为得，A正确；
对于B，，，
即是图象对称轴，因此，B正确；
对于C，当时，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，C错误；
对于D，当时，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
当时，方程存在两个根，
等价于函数与图象在上有两个交点，
所以，D正确.
故选：ABD
10．CD
A选项，由空间向量垂直的坐标运算可判断选项正误；B选项，由两平行直线距离公式可判断选项正误；C选项，由题设出直线方程，表示出，即可利用基本不等式判断选项正误；D选项，由直线平移知识结合题意可判断选项正误.
【详解】A选项，由于，，且，
所以，解得，所以A选项错误；
B选项，直线，
因此两平行直线的距离，故B错误；
C选项，由题，直线l 斜率存在且不为0，设l： ，
令， .
因直线l与轴正半轴交于点两点，
则，.
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为4，故C正确；
D选项，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为，
直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，
则，
所以，解得，故D正确.
故选：CD
11．CD
根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量的模建立方程求出最小值判断B；作出截面并求出最小面积判断C；利用面面角的向量求法求解判断D.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由，得，即点，
对于A，，则点，，，
，因此不成立，A错误；
对于B，，则，即，
令，则，
则当即时，的最大值为，B错误；
对于C，，在边上，且，，
因平面平面，设平面平面，
而平面平面，则，同理，
因此是平面截该正方体的截面，
点到直线的距离
，当且仅当时取等号，
，C正确；
对于D，因，，
设平面的法向量，则，
令，得；
又，因，则，
令平面的法向量，则，
令，得.
设平面与平面的夹角为，
则，，
当时，，当时，，
当且仅当或时取等号，因，此时最小，，，
因此平平面与平面的夹角的正切值的最小值为，D正确.
故选：CD
12．
结合圆心到直线的距离以及半径求得最小距离.
【详解】圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离等于，
故圆上的点到直线的距离最小为．
故答案为：
13．
先利用偶函数定义得函数为偶函数，将自变量取值由对称性转化至，然后由指对函数性质比较自变量取值的大小，借助函数单调性可比较大小.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，当时，在上单调递增，
而，
因为在内单调递增，则，
又在定义域内单调递增，则，
在上单调递增，又，
所以，即．
故答案为：
14．
第一空利用已知条件可求得圆台的高，进而可求出圆台的母线长，再求侧面积即可；第二空先求出球冠的体积，再求出半球的体积，进而可求出，最后可求出的值.
【详解】
作出圆台的轴截面如图，设圆台的上底面半径为，下底面半径为，球的半径为，
圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，，，
又下底面与半球的底面重合，，
圆台的高，圆台的母线长为，
圆台的侧面积为；
半球的体积为，
球心到圆台的上底面所在的平面的距离为，
球冠的高度为，
球冠的体积为，
，
.
故答案为：；.
15．(1)，
(2)
（1）由圆心、圆上点坐标求半径，进而写出圆M的方程，先利用点线距离公式求得弦心距，然后利用几何法求解弦长；
（2）由点线距离公式求得P到直线距离，可知直线PM垂直于直线，进而应用点斜式直线方程求解即可.
【详解】（1）圆M的半径．
故圆M的方程为．
圆心到直线即的距离，
即，直线与圆M相交，可知弦长为．
（2）因为圆心在直线上，所以．
设点P到直线距离为，则的面积为，所以，
因为且P在圆M上，所以直线PM垂直直线，
所以直线PM的斜率为，故直线PM方程为，
即．
16．(1)
(2)
（1）先利用诱导公式和两角和的正弦公式化简得，再利用辅助角公式求角即可；
（2）由是中点可得，两边平方结合数量积公式和运算律可得，再利用均值不等式求出的最大值，代入三角形的面积公式即可.
【详解】（1）在中，，
代入整理得，
又因为，，所以，
所以，解得，
因为，所以，解得.
（2）因为是中点，所以，
两边平方得，
所以，即，
又由均值不等式可得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
17．(1);0.15
(2)
(3)
（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解.
（2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得；
（3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得.
【详解】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为：
，
频数为，
所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270.
（2）易得前两段频率之和为，前三段频率之和，则有，
满足，所以（分）.
（3）成绩在的频数为人，，
成绩在的频数为人，，
所以的学生成绩的平均值为，
由方差公式知，，
所以该班成绩的方差为：
所以的最大值为．
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）利用勾股定理和余弦定理得和，根据线面垂直的判定定理得平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可.
（2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可
（3）借助等体积法计算可得内切球半径.
【详解】（1）连接，由题意得，，
则为等边三角形，，
在中，，
由余弦定理得，
所以，由，
则，故.
又，则，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面 ；
（2）由（1）知，，则平面平面.
在平面内过作，由平面平面，平面，
则平面，平面，则.
如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，
过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
由（），
，
因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，
化简得，解得或（舍去），
故存在，使直线与平面所成角的正弦值为；

（3）由（1）知，，为直角三角形， .
则，
，
，
在中，，取中点，
则，且，
所以，
设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，
.
其中，
故，
故三棱锥的内切球的半径为.
19．(1)；
(2)①答案见解析；②证明见解析.
【详解】（1）由，则，故，可得；
（2）①由题设，易得且，只需讨论的情况，
在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递增，
且，即在处连续，
当时，在上，显然其在上单调递增，
不存在两个不相等的正实数，满足，舍去；
当时，，
在上单调递增，在上单调递增，
在处连续，故其在上单调递增，
不存在两个不相等的正实数，满足，舍去；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
此时存在两个不相等的正实数，满足，
若，则在上单调递减，最小值为；
若，则在上单调递减，在上单调递增，最小值为；
综上，时最小值为，时最小值为；
②不妨设，结合①分析，有、、三种情况，
当时，由，即，
对于，均有，
即，即，
又，故，，则，
结合图知，对于、两种情况必有，
当时，，则，
结合图知，对于、两种情况必有，
综上，，得证.

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