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山东省临沂市郯城县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷
1．（2024八上·郯城期中）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、能找到一条直线，沿着直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故选项A是轴对称图形，符合题意；
选项B、C、D找不到沿着直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的直线，故不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．（2024八上·郯城期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：依题得：该三角形是等腰三角形，则有以下两种情况：
①该等腰三角形的腰长为，则底边长为，
，即不符合三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
该情况舍去；
②该等腰三角形的底边长为，
则腰长为，
此时三角形三边长分别为，，，满足三角形三边关系，
该情况成立；
综上，该等腰三角形的腰长应为．
故答案为：B．
【分析】首先分成两种情况进行讨论，然后根据三角形三边之间的关系可得出腰长不能为6，即可得出腰长只能是9cm。
3．（2024八上·郯城期中）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（　　）
①周长变大；
②周长变小；
③外角和增加；
④六边形的内角和为．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，EF+EG＞FG，
∴该六边形的周长比原五边形的周长小，
∴①的说法错误，②的说法正确；
∵多边形的外角和与边数无关，都是360°，
∴③的说法错误；
∵多边形的边数增加了1，
∴根据多边形内角和定理可知六边形ABCDGF的内角和为（6-2）×180°=720°．
∴④的说法正确；
综上可知，说法正确的是②④.
故答案为：D．
【分析】根据两点之间线段最短判断周长的大小，从而判断①错误，②正确，再根据多边形外角性质：多边形的外角和与边数无关都为360°，从而判断③错误，最后根据多边形的内角和公式(n-2)×180°进行计算判断④正确，即可得出答案．
4．（2024八上·郯城期中）下列说法正确的是（　　）
A．三角形的高不在三角形内就在三角形外
B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；轴对称的性质；三角形的高
【解析】【解答】解：A、三角形的高不在三角形内就在三角形外或在三角形的边上，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、如果两个三角形全等，它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，说法正确，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形的两条高是直角边可得出A不正确；根据三角形全等的判定可得出B不正确；根据全等图形和轴对称图形的关系可得出C不正确，D正确，即可得出答案。
5．（2024八上·郯城期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法得：，
∴，
∴．
故选：C
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．（2024八上·郯城期中）如图，在中，，，是斜边上的高，，，垂足分别是E、F，则图中与（除外）相等的角的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【知识点】垂线的概念；直角三角形的性质；余角
【解析】【解答】解：∵是斜边上的高，，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴图中与(除外)相等的角的个数是3，
故答案为：A．
【分析】根据同角的余角相等可得出，即可得出答案。
7．（2024八上·郯城期中）如图，，，添加下列哪一个条件不能使（　　）
A． B．，
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A 、，，
即，
，，
，不符合题意；
B 、，，，，
，不符合题意；
C、时，“” 不能使，符合题意；
D、，，，
，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】分别根据全等三角形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
8．（2024八上·郯城期中）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过点作交于点，
∵平分，于点，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】过点作交于点，首先根据角平分线的性质得出，再根据中线的性质得出，进而根据面积割补法得出，即，进一步即可得出。
9．（2024八上·郯城期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：分情况进行讨论：
当为等腰三角形的腰时，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；
当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点．
符合条件的点一共4个．
故答案为：B．
【分析】先求出OA的长，再分类讨论：①当为等腰三角形的腰时，②当为等腰三角形的底时，再求出所有符合条件的点P的位置即可.
10．（2024八上·郯城期中）如图，三角形纸片中，，．将点C放在直线l上，过点A作于点D；三角形纸片中，顶点P放在直线l上，，．点M与点B重合，过点N作于点H．若，，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】垂线的概念；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；等腰三角形的概念
【解析】【解答】
解：如图，过点作于点，则，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点作于点，则，根据AAS可证得，可得出，，进而，再根据AAS证得，即可得出．
11．（2024八上·郯城期中）等腰三角形的一个角是，则它底角的度数是 　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当它的顶角为时，它的底角度数为：；
当它的底角为时，底角为
∴它的底角度数是或．
故答案为：或．
【分析】分成两种情况：①当70°为顶角时，可得出底角为55°；②当70°为底角时，底角为70°，即可得出答案。
12．（2024八上·郯城期中）如图，在中，点D是的中点，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，直线交于点E，连接，若，的周长为，则的周长为　 　．
【答案】11
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得：垂直平分，
∴，
由点D 是的中点和，可得，
∵ 的周长为，
∴，
又∵
∴，
由题意可得： 的周长为：，
故答案为：．
【分析】由作图过程可得，是的垂直平分线，得到得，根据D 是的中点可得，根据 的周长为和，可得，进而可求出 的周长．
13．（2024八上·郯城期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标之间的关系，即可得出答案。
14．（2024八上·郯城期中）如图，四边形沿直线l对折后重合，如果，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　 　．（只填序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵直线l是四边形的对称轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴，，即④正确；
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，即①②正确；
∵直线l是四边形的对称轴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴不一定成立，故③错误．
故答案为：①②④．
【分析】首先根据轴对称的性质可得出，进而可得出，进而得出，即可得出四边形为平行四边形，进一步即可得出①②④正确；再根据折叠性质可得出。即可得出四边形为菱形，进而得出不一定成立，故③错误，即可得出答案。
15．（2024八上·郯城期中）如图，在中，，现把沿斜向上折叠得，折叠后产生的夹角、．则　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】由图形翻折变换的性质可知，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】首先根据折叠性质得出，，进而根据平角定义可得出，，进而可得出，再根据三角形内角和定理，即可得出，即可得出答案。
16．（2024八上·郯城期中）如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意可知小球的运动轨迹如下：
由图可知小球第一次碰到，第二次碰到，第三次碰到，第四次碰到，第五次碰到，第六次碰到，
∴每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，，
∵，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【分析】本题首先根据条件画出小球的轨迹示意图，进而得到每6次碰撞为一个循环，此时即可确定这六次小球的坐标，再求出2024除以6的余数即可得到答案．
17．（2024八上·郯城期中）如图，在中，是边上的高，，．
（1）求的度数；
（2）若是的角平分线，交于点，求的度数．
【答案】（1）解：在中，，，
∴
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的角平分线，
∴
∵是的一个外角，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】（1）首先根据三角形内角和定理求得，进而根据高的定义得出，再根据直角三角形的性质，即可得出∠ABE=38°。
（2）由（1）知∠BAC=52°，进而根据角平分线的定义可得出∠DAC=26°，进而根据三角形外角的性质即可得出．
（1）解：在中，，，
∴
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的角平分线，
∴
∵是的一个外角，
∴．
18．（2024八上·郯城期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
（1）请在图中作出关于轴对称的；
（2）求的面积．
（3）请在x轴上找一点P，使得最小，写出点P的坐标________．
【答案】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：的面积为：；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（3）如图，点P即为所求，．
故答案为：．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的特征，作出点A，B，C的对应点A1，B1，C1，再顺次连接即可；
（2）里用割补法即可得出的面积为：；
（3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，然后写出点P的坐标即可．
（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：的面积为：；
（3）解：如图，点P即为所求，．
故答案为：．
19．（2024八上·郯城期中）在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，发现四边形满足：，，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
初步应用：（1）如图1，在中，若，，那么________
性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形的性质进行了研究，如图2，求证：
（2）；
（3），．
【答案】（1）36
（2）证明：在和中，
，
∴．
（3）证明：证明：∵，
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
即，．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1），
．
在和中，
，
，
，
，
故答案为：36°；
【分析】（1）首先根据SSS可证得，可得出，进一步即可得出；
（2）根据SSS即可证明；
（3）由线段垂直平分线的性质可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，可证垂直平分线段，即可求解．
20．（2024八上·郯城期中）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，，，交于点O，且．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
在和中
∴
∴，
∵，
∴
∵，
∴
在和中
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】首先根据AAS证明，可得出，，，进而即可得出。
21．（2024八上·郯城期中）如图1，中，，，于D，平分，交于E，交于F．
（1）如图1，求证：是等边三角形；
（2）如图1，若，则的长为________．
（3）取的中点为G，连接，如图2，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形．
（2）2
（3）由（1）得是等边三角形，且G为的中点， ，， ，
，
∵平分，
，
，
，
，则
在和中，
，
（AAS）．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】 【解答】解：（2）中，
，
，
由（1）可得，
，
．
故答案为：2；
【分析】（1）首先根据三角形内角和可求得∠ACB=60°，进而根据角平分线的定义得出，进一步可求得∠DAB=∠AFE=60°，即可得出是等边三角形．
（2）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出AC=4，进而再根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出的长为 2；
（3）由（1）是等边三角形，得到，再由，证明，进而利用证明．
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形．
（2）解：中，
，
，
由（1）可得，
，
．
（3）由（1）得是等边三角形，且G为的中点，
，， ，
，
∵平分，
，
，
，
，则
在和中，
，
（AAS）．
22．（2024八上·郯城期中）研究三角形的角平分线：
（1）尺规作图：如图1，作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹；
（2）如图2，与的平分线相交于点，若，则的度数是________；
（3）如图3，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系．
【答案】（1）解：
（2）
（3）解：，理由如下：
，，
，
，的角平分线交于点
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作角的平分线；三角形的双内角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：（2），
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法正确作出∠B的平分线即可；
（2）首先根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可求得；
（3）先求出，进而求出，即可求出．
（1）
（2）解：，
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：
（3）解：，理由如下：
，，
，
，的角平分线交于点
，，
，
．
23．（2024八上·郯城期中）已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：．
方法1：（）已知，，那么________．
（）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，．
（）补全图形，并尝试写出证明过程．
方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程．
【答案】解：（）；
（）如图，
（）证明：∵平分，，．
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴
在和中
∴
∴
方法：
在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
由（）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；补角
【解析】【解答】解：方法：（）∵，，
∴，
故答案为：；
【分析】[方法]（1）由已知条件，直接求和即可得出答案；（2）作，，垂足分别为，，画出图形即可；
（）由角平分线的性质得，再根据，证明，即可根据“”证明得；
[方法]在上截取，连接，再证明，而，， 即可根据“”证明，得，，则，所以，即可证明；
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键.
24．（2024八上·郯城期中）如图1，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为．
（1）如图1，连接、交于点，则在、运动的过程中，的大小是否发生变化；若变化，说明理由，若不变，求出的度数；
（2）如图1，当运动时间为多少时是直角三角形？
（3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，写出它的度数．
【答案】（1）解：不变，，
∵是等边三角形，
∴，
∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，等边边长为，
∴，当运动时间为，则，，
①当时，
∵，
∴，
∴，
，
解得：；
②当时，
∵，
∴，
∴，
，
解得：；
∴当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）解：不变，，∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）首先根据证明，可证得，进而根据三角形外角的性质即可得出；
（2）是直角三角形 ，可分为两种情况：①当时，，可得出，解得；②当时，，可得出，解得；综上即可得出当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）根据等边三角形的性质，求出，根据“点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为”，得出，推出，利用证明，得出，根据对顶角，结合三角形的内角和定理得出，，推出即可．
（1）解：不变，，
∵是等边三角形，
∴，
∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，等边边长为，
∴，当运动时间为，则，，
①当时，
∵，
∴，
∴，
，
解得：；
②当时，
∵，
∴，
∴，
，
解得：；
∴当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）解：不变，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴．
1 / 1山东省临沂市郯城县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷
1．（2024八上·郯城期中）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·郯城期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A． B． C．或 D．或
3．（2024八上·郯城期中）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（　　）
①周长变大；
②周长变小；
③外角和增加；
④六边形的内角和为．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．（2024八上·郯城期中）下列说法正确的是（　　）
A．三角形的高不在三角形内就在三角形外
B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
D．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
5．（2024八上·郯城期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图能得出的依据是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·郯城期中）如图，在中，，，是斜边上的高，，，垂足分别是E、F，则图中与（除外）相等的角的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（2024八上·郯城期中）如图，，，添加下列哪一个条件不能使（　　）
A． B．，
C． D．
8．（2024八上·郯城期中）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·郯城期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2024八上·郯城期中）如图，三角形纸片中，，．将点C放在直线l上，过点A作于点D；三角形纸片中，顶点P放在直线l上，，．点M与点B重合，过点N作于点H．若，，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2024八上·郯城期中）等腰三角形的一个角是，则它底角的度数是 　 　．
12．（2024八上·郯城期中）如图，在中，点D是的中点，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，直线交于点E，连接，若，的周长为，则的周长为　 　．
13．（2024八上·郯城期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为　 　．
14．（2024八上·郯城期中）如图，四边形沿直线l对折后重合，如果，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是　 　．（只填序号）
15．（2024八上·郯城期中）如图，在中，，现把沿斜向上折叠得，折叠后产生的夹角、．则　 　．
16．（2024八上·郯城期中）如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是　 　．
17．（2024八上·郯城期中）如图，在中，是边上的高，，．
（1）求的度数；
（2）若是的角平分线，交于点，求的度数．
18．（2024八上·郯城期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
（1）请在图中作出关于轴对称的；
（2）求的面积．
（3）请在x轴上找一点P，使得最小，写出点P的坐标________．
19．（2024八上·郯城期中）在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，发现四边形满足：，，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
初步应用：（1）如图1，在中，若，，那么________
性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形的性质进行了研究，如图2，求证：
（2）；
（3），．
20．（2024八上·郯城期中）如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，，，交于点O，且．求证：．
21．（2024八上·郯城期中）如图1，中，，，于D，平分，交于E，交于F．
（1）如图1，求证：是等边三角形；
（2）如图1，若，则的长为________．
（3）取的中点为G，连接，如图2，求证：．
22．（2024八上·郯城期中）研究三角形的角平分线：
（1）尺规作图：如图1，作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹；
（2）如图2，与的平分线相交于点，若，则的度数是________；
（3）如图3，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系．
23．（2024八上·郯城期中）已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：．
方法1：（）已知，，那么________．
（）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，．
（）补全图形，并尝试写出证明过程．
方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程．
24．（2024八上·郯城期中）如图1，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为．
（1）如图1，连接、交于点，则在、运动的过程中，的大小是否发生变化；若变化，说明理由，若不变，求出的度数；
（2）如图1，当运动时间为多少时是直角三角形？
（3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，写出它的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、能找到一条直线，沿着直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故选项A是轴对称图形，符合题意；
选项B、C、D找不到沿着直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的直线，故不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：依题得：该三角形是等腰三角形，则有以下两种情况：
①该等腰三角形的腰长为，则底边长为，
，即不符合三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
该情况舍去；
②该等腰三角形的底边长为，
则腰长为，
此时三角形三边长分别为，，，满足三角形三边关系，
该情况成立；
综上，该等腰三角形的腰长应为．
故答案为：B．
【分析】首先分成两种情况进行讨论，然后根据三角形三边之间的关系可得出腰长不能为6，即可得出腰长只能是9cm。
3．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，EF+EG＞FG，
∴该六边形的周长比原五边形的周长小，
∴①的说法错误，②的说法正确；
∵多边形的外角和与边数无关，都是360°，
∴③的说法错误；
∵多边形的边数增加了1，
∴根据多边形内角和定理可知六边形ABCDGF的内角和为（6-2）×180°=720°．
∴④的说法正确；
综上可知，说法正确的是②④.
故答案为：D．
【分析】根据两点之间线段最短判断周长的大小，从而判断①错误，②正确，再根据多边形外角性质：多边形的外角和与边数无关都为360°，从而判断③错误，最后根据多边形的内角和公式(n-2)×180°进行计算判断④正确，即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；轴对称的性质；三角形的高
【解析】【解答】解：A、三角形的高不在三角形内就在三角形外或在三角形的边上，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、如果两个三角形全等，它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，说法正确，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形的两条高是直角边可得出A不正确；根据三角形全等的判定可得出B不正确；根据全等图形和轴对称图形的关系可得出C不正确，D正确，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法得：，
∴，
∴．
故选：C
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】垂线的概念；直角三角形的性质；余角
【解析】【解答】解：∵是斜边上的高，，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴图中与(除外)相等的角的个数是3，
故答案为：A．
【分析】根据同角的余角相等可得出，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A 、，，
即，
，，
，不符合题意；
B 、，，，，
，不符合题意；
C、时，“” 不能使，符合题意；
D、，，，
，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】分别根据全等三角形的判定，逐项进行判断，即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：过点作交于点，
∵平分，于点，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】过点作交于点，首先根据角平分线的性质得出，再根据中线的性质得出，进而根据面积割补法得出，即，进一步即可得出。
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：分情况进行讨论：
当为等腰三角形的腰时，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；
当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点．
符合条件的点一共4个．
故答案为：B．
【分析】先求出OA的长，再分类讨论：①当为等腰三角形的腰时，②当为等腰三角形的底时，再求出所有符合条件的点P的位置即可.
10．【答案】C
【知识点】垂线的概念；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；等腰三角形的概念
【解析】【解答】
解：如图，过点作于点，则，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点作于点，则，根据AAS可证得，可得出，，进而，再根据AAS证得，即可得出．
11．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当它的顶角为时，它的底角度数为：；
当它的底角为时，底角为
∴它的底角度数是或．
故答案为：或．
【分析】分成两种情况：①当70°为顶角时，可得出底角为55°；②当70°为底角时，底角为70°，即可得出答案。
12．【答案】11
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得：垂直平分，
∴，
由点D 是的中点和，可得，
∵ 的周长为，
∴，
又∵
∴，
由题意可得： 的周长为：，
故答案为：．
【分析】由作图过程可得，是的垂直平分线，得到得，根据D 是的中点可得，根据 的周长为和，可得，进而可求出 的周长．
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标之间的关系，即可得出答案。
14．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵直线l是四边形的对称轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴，，即④正确；
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，即①②正确；
∵直线l是四边形的对称轴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴不一定成立，故③错误．
故答案为：①②④．
【分析】首先根据轴对称的性质可得出，进而可得出，进而得出，即可得出四边形为平行四边形，进一步即可得出①②④正确；再根据折叠性质可得出。即可得出四边形为菱形，进而得出不一定成立，故③错误，即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】由图形翻折变换的性质可知，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】首先根据折叠性质得出，，进而根据平角定义可得出，，进而可得出，再根据三角形内角和定理，即可得出，即可得出答案。
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据题意可知小球的运动轨迹如下：
由图可知小球第一次碰到，第二次碰到，第三次碰到，第四次碰到，第五次碰到，第六次碰到，
∴每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，，
∵，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【分析】本题首先根据条件画出小球的轨迹示意图，进而得到每6次碰撞为一个循环，此时即可确定这六次小球的坐标，再求出2024除以6的余数即可得到答案．
17．【答案】（1）解：在中，，，
∴
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的角平分线，
∴
∵是的一个外角，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质；角平分线的概念；三角形的高
【解析】【分析】（1）首先根据三角形内角和定理求得，进而根据高的定义得出，再根据直角三角形的性质，即可得出∠ABE=38°。
（2）由（1）知∠BAC=52°，进而根据角平分线的定义可得出∠DAC=26°，进而根据三角形外角的性质即可得出．
（1）解：在中，，，
∴
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的角平分线，
∴
∵是的一个外角，
∴．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：的面积为：；
（3）
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（3）如图，点P即为所求，．
故答案为：．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的特征，作出点A，B，C的对应点A1，B1，C1，再顺次连接即可；
（2）里用割补法即可得出的面积为：；
（3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，然后写出点P的坐标即可．
（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：的面积为：；
（3）解：如图，点P即为所求，．
故答案为：．
19．【答案】（1）36
（2）证明：在和中，
，
∴．
（3）证明：证明：∵，
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分线段，
即，．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1），
．
在和中，
，
，
，
，
故答案为：36°；
【分析】（1）首先根据SSS可证得，可得出，进一步即可得出；
（2）根据SSS即可证明；
（3）由线段垂直平分线的性质可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，可证垂直平分线段，即可求解．
20．【答案】证明：∵，
∴，
在和中
∴
∴，
∵，
∴
∵，
∴
在和中
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】首先根据AAS证明，可得出，，，进而即可得出。
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形．
（2）2
（3）由（1）得是等边三角形，且G为的中点， ，， ，
，
∵平分，
，
，
，
，则
在和中，
，
（AAS）．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】 【解答】解：（2）中，
，
，
由（1）可得，
，
．
故答案为：2；
【分析】（1）首先根据三角形内角和可求得∠ACB=60°，进而根据角平分线的定义得出，进一步可求得∠DAB=∠AFE=60°，即可得出是等边三角形．
（2）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出AC=4，进而再根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出的长为 2；
（3）由（1）是等边三角形，得到，再由，证明，进而利用证明．
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形．
（2）解：中，
，
，
由（1）可得，
，
．
（3）由（1）得是等边三角形，且G为的中点，
，， ，
，
∵平分，
，
，
，
，则
在和中，
，
（AAS）．
22．【答案】（1）解：
（2）
（3）解：，理由如下：
，，
，
，的角平分线交于点
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作角的平分线；三角形的双内角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：（2），
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法正确作出∠B的平分线即可；
（2）首先根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可求得；
（3）先求出，进而求出，即可求出．
（1）
（2）解：，
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：
（3）解：，理由如下：
，，
，
，的角平分线交于点
，，
，
．
23．【答案】解：（）；
（）如图，
（）证明：∵平分，，．
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴
在和中
∴
∴
方法：
在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
由（）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；补角
【解析】【解答】解：方法：（）∵，，
∴，
故答案为：；
【分析】[方法]（1）由已知条件，直接求和即可得出答案；（2）作，，垂足分别为，，画出图形即可；
（）由角平分线的性质得，再根据，证明，即可根据“”证明得；
[方法]在上截取，连接，再证明，而，， 即可根据“”证明，得，，则，所以，即可证明；
此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键.
24．【答案】（1）解：不变，，
∵是等边三角形，
∴，
∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，等边边长为，
∴，当运动时间为，则，，
①当时，
∵，
∴，
∴，
，
解得：；
②当时，
∵，
∴，
∴，
，
解得：；
∴当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）解：不变，，∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）首先根据证明，可证得，进而根据三角形外角的性质即可得出；
（2）是直角三角形 ，可分为两种情况：①当时，，可得出，解得；②当时，，可得出，解得；综上即可得出当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）根据等边三角形的性质，求出，根据“点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为”，得出，推出，利用证明，得出，根据对顶角，结合三角形的内角和定理得出，，推出即可．
（1）解：不变，，
∵是等边三角形，
∴，
∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，等边边长为，
∴，当运动时间为，则，，
①当时，
∵，
∴，
∴，
，
解得：；
②当时，
∵，
∴，
∴，
，
解得：；
∴当运动时间为秒或秒时，是直角三角形；
（3）解：不变，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴．
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