资源简介

南充高中2025-2026学年高三上第一次月考数学试卷
1．已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知等差数列中，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．15
4.已知数据5,6,x,x,8,9的平均数为7,则该组数据的40%分位数为（ ）
A.6 B.7 C.7.5 D.8
5．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
6.6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种
7．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知，分别为定义域为的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则正实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分.
9. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 是等比数列
10．如图，在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（ ）
A． B．异面直线与所成角的余弦值为
C． D．四棱锥外接球的表面积为
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的斜率为 B．
C． (为坐标原点) D．当取最小值时，
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，，若，则 .
若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
箱子中装有4个红球，2个黄球（除颜色外完全相同），掷一枚质地均匀的骰子1次，如果点数为，则从该箱子中一次性取出个球.规定：依据个球中红球的个数，判定甲的得分，每一个红球记1分；依据个球中黄球的个数，判定乙的得分，每一个黄球记2分.比如：若一次性取出了2个红球，2个黄球，则判定甲得分，乙得分.则在1次掷骰子取球的游戏中， .
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
（本小题13分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
16．（本小题15分）为了研究高三学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高三学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
物理成绩优秀 55 20 75
物理成绩不优秀 30 45 75
合计 85 65 150
(1)依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？
(2)从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17.（本小题15分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点．
（1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（本小题17分）已知椭圆C：（）上一动点D到原点O距离的最小值为，最大值为2．
(1)求椭圆C方程．
(2)设椭圆C的左右焦点分别为，，过作直线l交椭圆于两点，点E满足，线段，OP交于点A，设与的面积分别为，，求的取值范围．
19．（本小题17分）已知函数.
(1)若，讨论的零点个数；
(2)若是函数（为的导函数）的两个不同的零点，且，求证：.
答案第1页，共2页南充高中2025-2026学年高三上第一次月考数学试卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B A C B D ACD BC
题号 11
答案 ABD
12 ; 13. 2； 14..
7．【详解】由已知，设，则，
两式相加得，又，所以，
又，所以，当轴时最小，此时，
所以，又，则，整理得，
又，两边除以得，解得，
又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是.故选：B.
8. 【详解】因为，分别为上的偶函数和奇函数，①，
所以，即②，
联立①②可解得，，
所以不等式可化为，
因为，则，故，
设，则，故，
因为，，所以，
故在上是增函数，则，
又因为在时是增函数，所以，则，
因为在恒成立，所以．
所以正实数a的取值范围是.故选：D．
11．【详解】依题意，设直线，，，
联立得，则，，
则，解得或，则，或，，
则直线的斜率为.故A正确；，
当且仅当时等号成立.故B正确；
因为，所以，故C错误；
，，则，，由抛物线的定义可得，，因为，，当且仅当时取等号，此时，故D正确.故选：ABD
14．【详解】设掷骰子得到的点数的概率为，则，
当时，的概率为，若，则需取出的1个球是红球的概率为，
所以，
当时，的概率为，若，则需取出的2个球都是红球的概率为，
所以，
当时，的概率为，若，则需取出的3个球都是红球的概率为
，所以，
当时，的概率为，若，则有两种可能的情况：第一种情况为取出的4个球都是红球有种，
第二种情况为取出的4个球种有3个红球，1个黄球，有种，所以概率为，
所以
当时，的概率为，若，则需取出全部4个红球，1个黄球，
所以，所以，
当时，不满足题意，
所以综上.故答案为：.
15．（1） （2）
【详解】
因为，
所以．.......................................(2分)
又，
所以．........................................................................(4分)
因为，所以．又，
所以，．........................................................................(6分)
（2）的面积，则．......................(8分)
由，.........................................................(10分)
得，
所以，故的周长为．........................................................(13分)
【详解】
:假设数学成绩优秀与物理成绩优秀无关......................................................(1分)
由题意可知，....................................................(4分)
由查表可得，由于，
所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关．.............................(6分)
（2）由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为，
所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的
有9人，可知可取0,1,2， ...........................................................................(7分)
，.....................(13分)
所以的分布列为
X 0 1 2
P
从而．..............................................(15分)
17.
如图所示，作线段的中点，连接，
因为侧面为等边三角形，所以，..............................................................(1分)
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，因为平面，所以，..............................(4分)
因底面为矩形，所以，
因为，面，面，所以面，
因为平面，所以平面面...............................................................(6分)
【小问2详解】
如图所示，作中点，连接，则
由（1）可得，面，面，所以面，
则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系；............(7分)
则，
可得，................................................................................(9分)
设面的法向量为，则，得，
令，解得，所以面的一个法向量为，...(12分)
易知面得一个法向量为，..................................................................(13分)
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为...............................................(15分)
18．【详解】（1）设动点，则，
所以有，....................(2分)
因为，所以，即，当且仅当时取到最小值，
又因为，所以，当且仅当时取到最大值，
故椭圆C方程为；..............................................................................(5分)
（2）
由图可知：，设，又由
则，因为三点共线，
可得，...................................................................................................(7分)
则，
所以，..............................(9分)
设直线方程为，与椭圆，消得：
，
设交点，
则有......................................................................................(11分)
由
，................................................................(13分)
令，则，由，可知，
根据对勾函数可知：恒成立，所以只需要解，因为，
所以，
解得，............................................................................................................(15分)
而，因为，所以，
即.....................................................................................................(17分)
19.【详解】（1）由题意知的定义域为，.....................(1分)
令，则，令，...........................................(2分)
令，则，
当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
而，...........................................................................(4分)
当或时，直线与函数的图象无交点，
即无零点；.................................................................................................................(5分)
当或时，直线与函数的图象有1个交点，
即有1个零点；.........................................................................................................(6分)
当时，直线与函数的图象有2个交点，
即有2个零点；..........................................................................................................(7分)
（2）由题意知，
由于是函数的两个不同的零点，
即是的两个不同的正实数根，
故，则，...............................................(9分)
要证，即，
由于在上有，
故在上满足，
所以在上单调递减，而，故，
故即证，
即证，.......................................................................(13分)
而
，...................................................................................(15分)
令，则，设，
则时，，
故在上单调递增，
故，即成立，
故原不等式得证................................................................................................................(17分)
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑