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2025—2026学年度第一学期第二次课内训练
九年级数学
一、选择题（共6小题）
1.敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.一元二次方程配方后，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，在二次函数的图象上，则的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知一元二次方程的两根分别为，则的值是（ ）
A.6 B.1 C.－5 D.－6
5.如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，则（ ）
A. B. C. D.
6.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（共6小题）
7.抛物线的顶点坐标为______．
8.若点与点关于原点成中心对称，则的值是______．
9.若一元二次方程的两根分别为、，则______．
10.如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是______．
11.某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：m）关于行驶时间（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______m．
12.在中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时（），得到，当恰为轴对称图形时，的值为______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.计算：
（1）． （2）．
14.已知函数（为常数）．
（1）求当为何值时是的二次函数；
（2）在（1）的条件下，点在此函数图象上，求的值．
15.如图，在的正方形网格中，点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中找一个格点，使平分；
（2）在图2中作以为顶点的四边形，使该四边形是中心对称图形．
16.关于的一元二次方程有两个实数根并且．
（1）求实数的取值范围；
（2）是否存在使得满足？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．
17.成都市天府新区为全国公园城市的标杆，2022年市政府对天府新区绿化工程投入的资金是2000万元，到2024年投入的资金是2420万元，且从2022年到2024年，每年投入资金的年平均增长率相同．
（1）求该市政府对天府新区绿化工程投入资金的年平均增长率；
（2）若投入资金的年平均增长率不变，估算该市政府在2025年对天府新区绿化工程需投入资金多少万元？
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于65元．经市场调查，每天的销售质量（千克）与每千克售价（元），满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价（元／千克） 50 60 70
销售量（千克） 100 80 60
（1）求与之间的函数表达式；
（2）设商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式并指出售价为多少元时获得利润最大？
19.某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？
20.如图，点是等边内一点，，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接．
（1）当时，求证：为直角三角形；
（2）求的度数（用表示）；
（3）当为多少度时，是等腰三角形？直接写出答案即可．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… －2 2 1 2 1 －2 …
其中，______．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程有______个实数根；
②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．
22.阅读与理解：
图1是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接，如图2，在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的，绕点按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，，如图3，在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？
六、（本大题共1小题，共12分）
23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线顶点为，、两点关于抛物线的对称轴对称，直线恰好经过、两点．
（1）求抛物线和直线的函数解析式；
（2）设点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长，并求线段的最大值；
②当的面积为时，求点的横坐标即的值．

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