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广西南宁市武鸣区2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
一、单项选择题 (本题共8小题，每题5分，共40分）
1．（2024高一下·武鸣月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·武鸣月考）已知向量，，若∥，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·武鸣月考）已知平面向量与的夹角为，若，，则（　　）
A．2 B．3 C． D．4
4．（2024高一下·武鸣月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·武鸣月考）若，，，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·武鸣月考）若，且，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·武鸣月考）在中，，，若O为内部的一点，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·武鸣月考）中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题 (本题共3小题，每题6分，共18分）
9．（2024高一下·武鸣月考）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（　　）
A．最大值为1 B．有最大值4
C．的最大值为2 D．的最小值为9
10．（2024高一下·武鸣月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024高一下·武鸣月考）关于函数，下列命题中为真命题的是（　　）
A．函数的周期为π
B．直线是的一条对称轴
C．点是的图案的一个对称中心
D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
三、填空题 (本题共3小题，每题5分，共15分）
12．（2024高一下·武鸣月考）函数的定义域是　 　.
13．（2024高一下·武鸣月考）在中，点D，E，F分别是边，，的中点，则　 　.
14．（2024高一下·武鸣月考）若函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是　 　.
四、解答题 (本题共5小题，共77分）
15．（2024高一下·武鸣月考）在中，，设（、为实数）.
（1）求，的值；
（2）若，，求.
16．（2024高一下·武鸣月考）已知平面向量，，，且，
（1）求和；
（2）若，，求向量在向量的投影向量的坐标．
17．（2024高一下·武鸣月考）已知中，，且边上的中线交于点.
（1）求的长；
（2）求的值.
18．（2024高一下·武鸣月考）已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若b＝2，求的取值范围．
（3）若b＝2，求三角形ABC面积的最大值．
19．（2024高一下·武鸣月考）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，又，
所以．
故答案为：C．
【分析】解一元二次不等式求出集合，根据交集的运算即可得解．
2．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
∵∥，
∴，解得，
故答案为：.
【分析】利用平面向量共线的性质求解即可..
3．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：平方可得，
因为平面向量与的夹角为，
所以即，
解得或（舍去），
故答案为：D.
【分析】由两边平方求解即可.
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，
，且，所以，
因为，所以，
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值0和1，分析判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，
而，所以，
所以，因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由可知，所以，.
由解得.
故答案为：B.
【分析】由已知可得.解方程组即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为，所以 是的重心，所以 ，
故答案为：C.
【分析】由可知O为重心，用再求数量积.
8．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理可得，，
，，
又，同理可得：，
代入上可得，解得，故.
故答案为：A.
【分析】利用余弦定理求出，在两边同时乘以和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中解出和即可．
9．【答案】A,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确；
B、，当且仅当时取等号，所以有最小值4，故B错误；
C、，则，当且仅当时取等号，故C正确；
D、，（当且仅当且即时取等号），故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用基本不等式对选项逐一判断即可.选项D还要用“1”的妙用.
10．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、由题意可知，大正方形的边长为，所以，故A正确；
B、，故B正确；
C、由为的中点，可得G为的中点，，
所以， 故C正确；
D、，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算结合题意求解判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：由，
A、的周期为，故A正确；
B、当时，，故B错误；
C、，由三角函数的图象与性质可知是的图象的一个对称中心，故 C正确；
D、将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用辅助角公式变形，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可.
12．【答案】
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】解：要使函数有意义，需满足，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】利用对数函数的定义列出不等式求解即可.
13．【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：如图所示：
因为点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
所以.
故答案为：
【分析】结合题意根据平面向量的加法法则求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由题意知，，
所以a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分段函数在上单调递增，需保证每一段递增，再看接头的地方，结合一次函数、二次函数的单调性列式可求得a的范围.
15．【答案】（1），
∴，则，
，.
（2）由（1）得，，
.
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量的减法法则可得，解出即可；
（2）由（1）求得和的坐标，利用数量积公式计算即可.
16．【答案】（1）解：，，，由，得到解得，由，所以，解得，因此，；
（2）解：，，
所以，
向量在向量的投影向量为
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据平面向量共线、垂直的坐标表示列出方程求解即可；
（2）求出、的坐标，即可求出，，最后根据代入求解即可．
17．【答案】（1）由余弦定理得，
而，于是，
即，解得
（2）易知，为的重心，如图，
可得，
，
∴.
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；
（2）易知，由重心的性质求出与，利用余弦定理求解.
18．【答案】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴；
（2）由，
可得：，
又，
∴即，当且仅当时取等，
又，
∴的取值范围为．
（3）由（2）可知，
即，当且仅当时等号成立，
则有，
当时三角形ABC面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，可得，即可求出角B；
（2）由余弦定理及基本不等式得，利用两边之和大于第三边可得，即可得的范围；
（3）由余弦定理及重要不等式得，代入面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
19．【答案】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
，
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为
（2）当时，，
故当时，；
当时，，
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求出（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求出，比较大小即可.
1 / 1广西南宁市武鸣区2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
一、单项选择题 (本题共8小题，每题5分，共40分）
1．（2024高一下·武鸣月考）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，又，
所以．
故答案为：C．
【分析】解一元二次不等式求出集合，根据交集的运算即可得解．
2．（2024高一下·武鸣月考）已知向量，，若∥，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
∵∥，
∴，解得，
故答案为：.
【分析】利用平面向量共线的性质求解即可..
3．（2024高一下·武鸣月考）已知平面向量与的夹角为，若，，则（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：平方可得，
因为平面向量与的夹角为，
所以即，
解得或（舍去），
故答案为：D.
【分析】由两边平方求解即可.
4．（2024高一下·武鸣月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，
，且，所以，
因为，所以，
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值0和1，分析判断即可.
5．（2024高一下·武鸣月考）若，，，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的性质；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：，
而，所以，
所以，因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可.
6．（2024高一下·武鸣月考）若，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由可知，所以，.
由解得.
故答案为：B.
【分析】由已知可得.解方程组即可.
7．（2024高一下·武鸣月考）在中，，，若O为内部的一点，且满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：因为，所以 是的重心，所以 ，
故答案为：C.
【分析】由可知O为重心，用再求数量积.
8．（2024高一下·武鸣月考）中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理可得，，
，，
又，同理可得：，
代入上可得，解得，故.
故答案为：A.
【分析】利用余弦定理求出，在两边同时乘以和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中解出和即可．
二、多项选择题 (本题共3小题，每题6分，共18分）
9．（2024高一下·武鸣月考）已知，是正数，且，下列叙述正确的是（　　）
A．最大值为1 B．有最大值4
C．的最大值为2 D．的最小值为9
【答案】A,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：A、，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确；
B、，当且仅当时取等号，所以有最小值4，故B错误；
C、，则，当且仅当时取等号，故C正确；
D、，（当且仅当且即时取等号），故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用基本不等式对选项逐一判断即可.选项D还要用“1”的妙用.
10．（2024高一下·武鸣月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，E为的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、由题意可知，大正方形的边长为，所以，故A正确；
B、，故B正确；
C、由为的中点，可得G为的中点，，
所以， 故C正确；
D、，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算结合题意求解判断即可.
11．（2024高一下·武鸣月考）关于函数，下列命题中为真命题的是（　　）
A．函数的周期为π
B．直线是的一条对称轴
C．点是的图案的一个对称中心
D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
【答案】A,C,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：由，
A、的周期为，故A正确；
B、当时，，故B错误；
C、，由三角函数的图象与性质可知是的图象的一个对称中心，故 C正确；
D、将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用辅助角公式变形，再结合三角函数的图象与性质逐项判断即可.
三、填空题 (本题共3小题，每题5分，共15分）
12．（2024高一下·武鸣月考）函数的定义域是　 　.
【答案】
【知识点】对数的概念与表示
【解析】【解答】解：要使函数有意义，需满足，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】利用对数函数的定义列出不等式求解即可.
13．（2024高一下·武鸣月考）在中，点D，E，F分别是边，，的中点，则　 　.
【答案】
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：如图所示：
因为点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
所以.
故答案为：
【分析】结合题意根据平面向量的加法法则求解即可.
14．（2024高一下·武鸣月考）若函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：由题意知，，
所以a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分段函数在上单调递增，需保证每一段递增，再看接头的地方，结合一次函数、二次函数的单调性列式可求得a的范围.
四、解答题 (本题共5小题，共77分）
15．（2024高一下·武鸣月考）在中，，设（、为实数）.
（1）求，的值；
（2）若，，求.
【答案】（1），
∴，则，
，.
（2）由（1）得，，
.
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量的减法法则可得，解出即可；
（2）由（1）求得和的坐标，利用数量积公式计算即可.
16．（2024高一下·武鸣月考）已知平面向量，，，且，
（1）求和；
（2）若，，求向量在向量的投影向量的坐标．
【答案】（1）解：，，，由，得到解得，由，所以，解得，因此，；
（2）解：，，
所以，
向量在向量的投影向量为
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据平面向量共线、垂直的坐标表示列出方程求解即可；
（2）求出、的坐标，即可求出，，最后根据代入求解即可．
17．（2024高一下·武鸣月考）已知中，，且边上的中线交于点.
（1）求的长；
（2）求的值.
【答案】（1）由余弦定理得，
而，于是，
即，解得
（2）易知，为的重心，如图，
可得，
，
∴.
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；
（2）易知，由重心的性质求出与，利用余弦定理求解.
18．（2024高一下·武鸣月考）已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若b＝2，求的取值范围．
（3）若b＝2，求三角形ABC面积的最大值．
【答案】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴；
（2）由，
可得：，
又，
∴即，当且仅当时取等，
又，
∴的取值范围为．
（3）由（2）可知，
即，当且仅当时等号成立，
则有，
当时三角形ABC面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，可得，即可求出角B；
（2）由余弦定理及基本不等式得，利用两边之和大于第三边可得，即可得的范围；
（3）由余弦定理及重要不等式得，代入面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
19．（2024高一下·武鸣月考）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
，
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为
（2）当时，，
故当时，；
当时，，
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求出（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求出，比较大小即可.
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