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专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）
一、单选题
1．（2024高三上·南昌月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·盐田期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·全国乙卷）在中，内角的对边分别是，若，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·新高考Ⅰ卷） 已知 ， 则 （　　）
A． B． C． D．
5．若，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2024·新课标Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，则　 　．
三、单选题
7．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知，，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
四、多选题
9．下列条件能确定唯一一个三角形的是（　　）
A．，，边上中线长.
B．，.
C．，，.
D．.
10．如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（　　）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
五、填空题
11．（2024高二下·鹤壁期末）在中，若，则　 　．
12．（2024高一下·南宁月考）在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为　 　．
六、单选题
13．若 ， 则的值为（　　）
A． B． C． D．
14．（2024·遵义模拟）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
七、多选题
15．已知，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
16．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形
D．若为锐角三角形，的最小值为1
八、填空题
17．的值为　 　.
18．已知，则　 　，　 　.
九、单选题
19．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
20．若，且，，则（　　）
A． B． C． D．
十、多选题
21．计算下列各式的值，其结果为2的有（　　）
A． B．
C． D．
22．已知，则（　　）
A． B．
C． D．
十一、填空题
23．已知，则　 　.
24．已知，，则　 　.
十二、单选题
25．（2024·浙江模拟）若，则（　　）
A． B．
C． D．
26．（2024·温州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
27．已知，则（　　）
A．4 B．2 C． D．
28．已知，则（　　）
A． B． C． D．
十三、多选题
29．（2023·吉林模拟）下列化简正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
30．已知函数的图像关于点对称，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则下列结论正确的是（　　）
A．是偶函数
B．
C．的最小正周期为1
D．是函数图像的一个对称中心
31．（2023高三下·杭州模拟）已知向量，函数，则（　　）
A．在上有4个零点
B．在单调递增
C．
D．直线是曲线的一条切线
十四、填空题
32．已知，则　 　.
33．已知，则　 　.
34．已知，且，则　 　.
十五、解答题
35．（2024·天津）在中，.
（1）求；
（2）求；
（3）求.
36．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
十六、单选题
37．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．4
十七、多选题
38．（2024高三下·莒县月考）已知函数，则下列说法正确的是(　　)
A．函数的一个周期为
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为
D．若，其中为锐角，则的值为
十八、填空题
39．已知，是方程的两个根，则　 　．
十九、解答题
40．（2024高一下·南海月考）在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值.
二十、单选题
41．（2024·湖南模拟）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，若，，则的值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．2或4
二十一、多选题
42．通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且所对的圆心角，所在圆的半径为4，，则（　　）
A．的长为
B．
C．若与所在两圆的圆心距为，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若与所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小
二十二、填空题
43．如图，四边形由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，
故，
即，则，
故.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和两角和的余弦，可得出的关系，再结合的值和同角三角函数基本关系式以及两角差的余弦公式，则得出的值.
2．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由得tanα=1-，
故答案：B.
【分析】先由条件可得tanα的值，由正切和公式即可求出的值.
3．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】，由正弦定理可得，
，或（舍去），
又，，.
故选：C
【分析】先利用正弦定理边化角化简，再结合三角形内角和为求。
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】∵，
∴，即，
∴，
则.
故选：B
【分析】 观察角度之间的联系，结合二倍角与和差角即得答案。
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】[方法一]：直接法
由已知得：，
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一：设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A， B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
【分析】法一：利用两角和的正弦、余弦公式进行展开化简即可得到结果；法二，利用特殊值法进行判断即可得到结果；法三，利用整体的思想，利用诱导公式将函数化简成一角一函数的形式，进而化简得，再利用两角和的正弦公式进行展开化简即可得到结果。
6．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为为第一象限角，为第象限角，
所以，，
则，，
又因为，所以，，
所以，又因为， ，
所以 .
故答案为：.
【分析】由题意，根据两角和与差的正切公式可得，再由，的取值范围求得的范围，最后结合同角三角函数基本关系求解即可.
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
因为，
则．
故选：B．
【分析】根据题意，先求出的值，接着化简得到，进而利用进行两角差的余弦公式展开即可求得结果.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D
【分析】根据题意，求出，进而求出，接着对进行展开化简，求得，即可得到结果.
9．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】对于A，在中，，则
即，解得，结合，，
可知为边长为8的正三角形，唯一确定，A正确；
对于B，，则，故A为锐角，则，
又，故，即，
即得，结合，满足， 经验证等号取不到，
又大小关系不定，由此可知的解必存在且不唯一，即三角形的解不唯一，B错误；
对于C，在中，，
故，
结合，得，
由于，故，
即，则，结合，
解得，故，
又，，则，即，
而，则B为锐角，唯一确定，从而A唯一确定，
此时三角形的解唯一确定，C正确；
对于D，由，得，即，
故，又，则，则，
此时三角形唯一确定，D正确，
故选：ACD
【分析】对于A，利用余弦定理求解即可得到结果；对于B利用面积公式结合角A为锐角求出，进而利用余弦定理结合基本不等式进行判断即可得到结果；对于C，利用两角和的正切公式，同时对进行化简得到，接着化简结合正弦定理即可得到结果；对于D，根据题意结合面积公式进行求解即可得到结果.
10．【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由N为的中点，则，可得，
由三角函数定义可得N点的坐标为，故A错误；
由，可得，故B正确；
易知，
又因为，，M为线段AB的中点，
则，
所以，故C正确；
由易知线段，，
则，
所以，故D正确，
故选：BCD．
【分析】利用三角函数的定义进行的判断即可得到AB选项的正误；对于C，先求出中点的坐标，同时对进行变形即可进行判断；对于D，利用两角和的正弦公式，以及正弦值，余弦值的有界性结合向量模长进行判断.
11．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【解答】解：，
由余弦定理得，
由正弦定理得，从而，
所以．
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，再由三角形内角和定理和诱导公式，得出，利用余弦定理和正弦定理，则由同角三角函数基本关系式得出的值.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：连接，依题意，设，，
则，因为，
则，即，即，显然，
则，即，
又因为，所以，
整理得，
即，解得，所以，
所以
.
故答案为：.
【分析】设，，利用勾股定理得到，由两角和的正切公式和锐角三角函数求出、的值，再根据计算可得四边形的面积.
13．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】由 ，得，
所以，即，
所以．
故选：D．
【分析】先对进行化简得到，进而对进行化简结合齐次式求解即可得到结果.
14．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，
由正弦定理得，
即，
又，所以，
又，所以，
在中，D为的中点，则，
则，
即，解得（舍去），
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先利用正弦定理化边为角求出，据此可反推出角，再利用三角形的中线向量公式可得，对式子进行平方，应用平面向量的数量积公式进行化简可列出方程，解方程可求出，再利用三角形的面积公式进行计算可求出答案.
15．【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由已知，得，，
两式分别平方相加，得，，
整理得，∴，∴A正确；
同理由，，两式分别平方相加，易得，∴B正确；
由，，两式分别平方相加，易得．
∵，∴，∴，
∴，∴C正确，D错误.
故选：ABC．
【分析】先对题中的两式分别平方相加化简得到即可判断A选项；对于B，由，，两式分别平方相加化简即可得到结果；对于C与D，由，，两式分别平方相加化简，结合角的大小即可判断.
16．【答案】A,B
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】对A：中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，则，故，所以或，
即或（舍去），即，故A正确；
对B：若，结合和正弦定理知，
又，所以可得，故B正确；
对C：由，故或，若，则有，
则，不为直角三角形，故C错误；
对D：在锐角中，，
即，
故
由对勾函数性质可知，当时，，故D错误；
故选：AB.
【分析】对于A，利用正弦定理结合角的范围进行判断；对于B，根据题中的边角关系结合正弦定理求解；对于C，根据题中角的大小以及三角形的内角关系进行判断即可得到结果；对于D，先判断B的大小进而得到tanB的范围，同时化简结合对勾函数图象性质即可得到结果.
17．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】
，
所以.
故答案为：
【分析】利用同角三角函数值进行化简，即可得到结果.
18．【答案】；
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由可得，即，
由可得，即，
两式相加可得，
即，解得；
因为，
，
所以，
所以．
故答案为：；.
【分析】对题中所给的式子进行分别平方化简求得，结合两角和的正弦，余弦公式进行变形化简即可得到结果.
19．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以，，，
所以.
故选：B．
【分析】根据题意化简， 求得 正弦值与余弦值，结合两角差的余弦公式进行求解即可得到结果.
20．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由，则，
由，
所以，则，
则，
故.
故选：D
【分析】利用两角差的余弦公式得到，进而求出的值，进而求出，利用两角和的正弦公式进行求解即可得到结果。
21．【答案】A,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】对于A：
，A正确；
对于B：
，B错误；
对于C：
，C正确；
对于D：，D错误.
故选：AC.
【分析】利用两角和与差的正弦公式，余弦公式，正切公式进行变形化简计算即可得到结果.
22．【答案】A,C,D
【知识点】弦切互化；三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】A.由，则，，故A正确；
B. 由，则，，故B错误；
C.，
，故C正确；
D.由，则，故D正确.
故选：ACD
【分析】利用同角三角函数值的关系，结合角的范围进行判断A，B，C选项；利用齐次式进行化简即可判断D选项.
23．【答案】
【知识点】弦切互化；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为，
所以
，
得，
所以，
则
.
故答案为：.
【分析】利用两角和与差的余弦公式对式子进行变形得到，此时，接着利用角度关系进行变形化简即可得到结果.
24．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为，，
故，
故答案为：
【分析】利用两角和的正切公式进行变形化简即可得到结果.
25．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
则，
，
，
两边同除，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦、余弦的两角和差公式展开化简，再两边同除，结合两角和的正切公式计算即可.
26．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：因为，
，且由已知，
所以，根据两角和正弦公式得，
即，
故两边平方得，即，
故
.
故答案为：B.
【分析】利用两角和正弦公式化简已知条件，解得，对等式进行两边平方，利用二倍角公式以及同角三角函数的关系可化简得，再利用两角和与差的正弦、余弦公式简化所求式子即可求解.
27．【答案】D
【知识点】弦切互化；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】因为，所以，
所以．
故选：D.
【分析】利用齐次式对得到，接着对进行变形化简即可得到结果.
28．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】展开得，
两边同时平方有，
即，解得，
故选：B.
【分析】先对进行展开得到接着两边平方进行化简即可得到结果.
29．【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】对于A，由，A符合题意；
对于B，由，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】由已知结合和差角公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，逐项进行判断，可得答案.
30．【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由
由，
所以为偶函数错误，故A项错误
又，所以，且，
所以， B项正确；
由B项，，
所以的最小正周期为，C项错误；
令，解得，
当时，，所以是函数图像的一个对称中心，D项正确．
故选：BD．
【分析】利用奇偶性的定义判断f(x)的奇偶性，接着根据求出，得到函数的解析式，利用解析式判断函数的周期性，对称性，进行判断即可得到结果.
31．【答案】B,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题知，
对于A，当时，，
令，则，则或，即或，
故在上有2个零点，A不符合题意；
对于B，当时，，
又在区间上单调递增，故在上单调递增，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，，则，
又，
故在处的切线方程为，即，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量数量积的运算性质、倍角公式、和差公式化简可得，根据正弦函数的零点可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；根据导数的几何意义可判断D.
32．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为，而，因此，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用两角和的余弦公式以及二倍角公式进行化简即可得到结果.
33．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由，且，
得，
整理得，
解得（舍）或，
所以．
故答案为：.
【分析】利用两角和的正切公式以及二倍角公式，结合二次函数进行求解即可得到结果.
34．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为，所以，又，
所以，
所以
.
故答案为：
【分析】利用同角三角函数值，诱导公式进行化简即可得到结果.
35．【答案】（1）解：在中，，由余弦定理，
可得，解得，则.
（2）解：因为，，所以，
由正弦定理，可得，解得.
（3）解：由（2）可知，因为，则，所以，
则，，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1），由题意，利用余弦定理求解即可；
（2）根据同角三角函数基本关系求出，再利用正弦定理求解即可；
（3）由（2）可求，再利用正弦、余弦二倍角公式以及两角差的余弦公式求解即可.
36．【答案】（1），
又，所以，
由于为三角形的内角，所以，
（2）由于，所以，
故，
由于为锐角三角形，所以且，故，
则，故，
故的取值范围为
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正切公式；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式，结合三角形的内角关系以及诱导公式进行求解即可得到结果；
（2）根据三角形三角的关系得到，接着将进行一角一函数的变形化简，结合余弦函数的性质进行求解即可得到结果.
37．【答案】B
【知识点】基本不等式；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】因为，
由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
所以，
即.
所以，
显然必为正（否则和都为负，就两个钝角），
所以，
当且仅当，即取等号.
所以.
故选：B.
【分析】利用正弦定理进行变形，得到齐次式变形化简得，利用三角形内角关系以及两角和的正切公式得到，接着变形得到，进而利用基本不等式进行求解即可得到答案。
38．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以的最小值周期，所以是函数的一个周期，A正确；
对于B，因为，所以，点不是函数的对称中心，B错误；
对于C，由题知，，
若函数为偶函数，则，得，
因为，所以的最小值为，C正确；
对于D，若，则，
因为为锐角，，所以，
所以
，D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用三角恒等变换公式、辅助角公式化简函数，再利用三角函数的性质以及图象变换即可求解.
39．【答案】
【知识点】弦切互化；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为，是方程的两个根，
所以，，则，
所以．
故答案为：
【分析】根据根与系数关系得到，，对进行齐次式变形化简即可得到结果.
40．【答案】（1）解：，
由正弦定理得，
则，
即
则，
且，
，
.

（2）解：由和，可知，
因为，
所以，
又因为，
所以，即，
又因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，所以，
所以的面积的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理和两角和的正弦公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的余弦值，进而得出角A的值.
（2）利用已知条件和等面积法以及三角形的面积公式，则得出，利用基本不等式求最值的方法可得的最小值， 再结合三角形的面积公式得出的面积的最小值.
（1），
由正弦定理得，
则，
即
则，
且，
，；
（2）由和，可知，
因为，
所以，
又因为，
所以，即，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
所以的面积的最小值为.
41．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，所以 由余弦定理得，
，又，所以，
因为，则，
即，①
由得，，所以，
因为，
所以，代入①得
，化简得，解得或，
因为，所以，故.
故答案为：C
【分析】由，结合余弦定理可求cosB，进而可求角，然后结合两角和与差的余弦公式可求，再由和差角公式对等式进行化简，即可求解.
42．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】记，所在圆的圆心分别为E，F，连接AE，AF，CF，EF，
则，，
选项A：根据弧长公式得的长为，故A正确．
选项B：，则，故B错误．(也可以在中利用余弦定理求解)
选项C：如图1，过点A，C分别作EF的平行线，与过点F的EF的垂线分别交于点D，G，∵，，∴，
∵，∴，．
由题易知AD﹣CG为半坡宽度，DG为坡屋面高度半径，
，，
，，
∴，不符合宋代建筑屋顶的第二个特点，C正确．
选项D：如图2，过点A作EF的垂直平分线，交EF于点M，过点C作，垂足为N，
，，当时，，
∴，∴．
易知CN为半坡宽度，AN为坡屋面高度半径，
∴，D正确．
故选：ACD
【分析】先将图像画出，结合图像的特征以及两角和与差的正弦公式，正切公式，以及弧长公式，以及三角函数的性质进行判断即可得到结果.
43．【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在中，由正弦定理得：，由于，所以．
而，则有：，
，
又，，
由，
可得，
所以，
故答案为：.
【分析】利用正弦定理，三角形的内角和关系，结合两角差的正切公式得到的值，进而利用面积公式进行求解即可得到结果.
1 / 1专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）
一、单选题
1．（2024高三上·南昌月考）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，
故，
即，则，
故.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和两角和的余弦，可得出的关系，再结合的值和同角三角函数基本关系式以及两角差的余弦公式，则得出的值.
2．（2024高一下·盐田期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由得tanα=1-，
故答案：B.
【分析】先由条件可得tanα的值，由正切和公式即可求出的值.
3．（2023·全国乙卷）在中，内角的对边分别是，若，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】，由正弦定理可得，
，或（舍去），
又，，.
故选：C
【分析】先利用正弦定理边化角化简，再结合三角形内角和为求。
4．（2023·新高考Ⅰ卷） 已知 ， 则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】∵，
∴，即，
∴，
则.
故选：B
【分析】 观察角度之间的联系，结合二倍角与和差角即得答案。
5．若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】[方法一]：直接法
由已知得：，
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一：设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A， B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
【分析】法一：利用两角和的正弦、余弦公式进行展开化简即可得到结果；法二，利用特殊值法进行判断即可得到结果；法三，利用整体的思想，利用诱导公式将函数化简成一角一函数的形式，进而化简得，再利用两角和的正弦公式进行展开化简即可得到结果。
二、填空题
6．（2024·新课标Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；象限角、轴线角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为为第一象限角，为第象限角，
所以，，
则，，
又因为，所以，，
所以，又因为， ，
所以 .
故答案为：.
【分析】由题意，根据两角和与差的正切公式可得，再由，的取值范围求得的范围，最后结合同角三角函数基本关系求解即可.
三、单选题
7．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
因为，
则．
故选：B．
【分析】根据题意，先求出的值，接着化简得到，进而利用进行两角差的余弦公式展开即可求得结果.
8．已知，，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D
【分析】根据题意，求出，进而求出，接着对进行展开化简，求得，即可得到结果.
四、多选题
9．下列条件能确定唯一一个三角形的是（　　）
A．，，边上中线长.
B．，.
C．，，.
D．.
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】对于A，在中，，则
即，解得，结合，，
可知为边长为8的正三角形，唯一确定，A正确；
对于B，，则，故A为锐角，则，
又，故，即，
即得，结合，满足， 经验证等号取不到，
又大小关系不定，由此可知的解必存在且不唯一，即三角形的解不唯一，B错误；
对于C，在中，，
故，
结合，得，
由于，故，
即，则，结合，
解得，故，
又，，则，即，
而，则B为锐角，唯一确定，从而A唯一确定，
此时三角形的解唯一确定，C正确；
对于D，由，得，即，
故，又，则，则，
此时三角形唯一确定，D正确，
故选：ACD
【分析】对于A，利用余弦定理求解即可得到结果；对于B利用面积公式结合角A为锐角求出，进而利用余弦定理结合基本不等式进行判断即可得到结果；对于C，利用两角和的正切公式，同时对进行化简得到，接着化简结合正弦定理即可得到结果；对于D，根据题意结合面积公式进行求解即可得到结果.
10．如图，角，的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，M为线段AB的中点．N为的中点，则下列说法中正确的是（　　）
A．N点的坐标为
B．
C．
D．若的终边与单位圆交于点C，分别过A，B，C作x轴的垂线，垂足为R，S，T，则
【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由N为的中点，则，可得，
由三角函数定义可得N点的坐标为，故A错误；
由，可得，故B正确；
易知，
又因为，，M为线段AB的中点，
则，
所以，故C正确；
由易知线段，，
则，
所以，故D正确，
故选：BCD．
【分析】利用三角函数的定义进行的判断即可得到AB选项的正误；对于C，先求出中点的坐标，同时对进行变形即可进行判断；对于D，利用两角和的正弦公式，以及正弦值，余弦值的有界性结合向量模长进行判断.
五、填空题
11．（2024高二下·鹤壁期末）在中，若，则　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形
【解析】【解答】解：，
由余弦定理得，
由正弦定理得，从而，
所以．
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，再由三角形内角和定理和诱导公式，得出，利用余弦定理和正弦定理，则由同角三角函数基本关系式得出的值.
12．（2024高一下·南宁月考）在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：连接，依题意，设，，
则，因为，
则，即，即，显然，
则，即，
又因为，所以，
整理得，
即，解得，所以，
所以
.
故答案为：.
【分析】设，，利用勾股定理得到，由两角和的正切公式和锐角三角函数求出、的值，再根据计算可得四边形的面积.
六、单选题
13．若 ， 则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】由 ，得，
所以，即，
所以．
故选：D．
【分析】先对进行化简得到，进而对进行化简结合齐次式求解即可得到结果.
14．（2024·遵义模拟）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【解答】解：因为，
由正弦定理得，
即，
又，所以，
又，所以，
在中，D为的中点，则，
则，
即，解得（舍去），
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查利用正弦定理解三角形.先利用正弦定理化边为角求出，据此可反推出角，再利用三角形的中线向量公式可得，对式子进行平方，应用平面向量的数量积公式进行化简可列出方程，解方程可求出，再利用三角形的面积公式进行计算可求出答案.
七、多选题
15．已知，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】由已知，得，，
两式分别平方相加，得，，
整理得，∴，∴A正确；
同理由，，两式分别平方相加，易得，∴B正确；
由，，两式分别平方相加，易得．
∵，∴，∴，
∴，∴C正确，D错误.
故选：ABC．
【分析】先对题中的两式分别平方相加化简得到即可判断A选项；对于B，由，，两式分别平方相加化简即可得到结果；对于C与D，由，，两式分别平方相加化简，结合角的大小即可判断.
16．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形
D．若为锐角三角形，的最小值为1
【答案】A,B
【知识点】正弦定理；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】对A：中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，则，故，所以或，
即或（舍去），即，故A正确；
对B：若，结合和正弦定理知，
又，所以可得，故B正确；
对C：由，故或，若，则有，
则，不为直角三角形，故C错误；
对D：在锐角中，，
即，
故
由对勾函数性质可知，当时，，故D错误；
故选：AB.
【分析】对于A，利用正弦定理结合角的范围进行判断；对于B，根据题中的边角关系结合正弦定理求解；对于C，根据题中角的大小以及三角形的内角关系进行判断即可得到结果；对于D，先判断B的大小进而得到tanB的范围，同时化简结合对勾函数图象性质即可得到结果.
八、填空题
17．的值为　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】
，
所以.
故答案为：
【分析】利用同角三角函数值进行化简，即可得到结果.
18．已知，则　 　，　 　.
【答案】；
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由可得，即，
由可得，即，
两式相加可得，
即，解得；
因为，
，
所以，
所以．
故答案为：；.
【分析】对题中所给的式子进行分别平方化简求得，结合两角和的正弦，余弦公式进行变形化简即可得到结果.
九、单选题
19．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以，，，
所以.
故选：B．
【分析】根据题意化简， 求得 正弦值与余弦值，结合两角差的余弦公式进行求解即可得到结果.
20．若，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】由，则，
由，
所以，则，
则，
故.
故选：D
【分析】利用两角差的余弦公式得到，进而求出的值，进而求出，利用两角和的正弦公式进行求解即可得到结果。
十、多选题
21．计算下列各式的值，其结果为2的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】对于A：
，A正确；
对于B：
，B错误；
对于C：
，C正确；
对于D：，D错误.
故选：AC.
【分析】利用两角和与差的正弦公式，余弦公式，正切公式进行变形化简计算即可得到结果.
22．已知，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】弦切互化；三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】A.由，则，，故A正确；
B. 由，则，，故B错误；
C.，
，故C正确；
D.由，则，故D正确.
故选：ACD
【分析】利用同角三角函数值的关系，结合角的范围进行判断A，B，C选项；利用齐次式进行化简即可判断D选项.
十一、填空题
23．已知，则　 　.
【答案】
【知识点】弦切互化；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】因为，
所以
，
得，
所以，
则
.
故答案为：.
【分析】利用两角和与差的余弦公式对式子进行变形得到，此时，接着利用角度关系进行变形化简即可得到结果.
24．已知，，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】因为，，
故，
故答案为：
【分析】利用两角和的正切公式进行变形化简即可得到结果.
十二、单选题
25．（2024·浙江模拟）若，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，
则，
，
，
两边同除，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用正弦、余弦的两角和差公式展开化简，再两边同除，结合两角和的正切公式计算即可.
26．（2024·温州模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：因为，
，且由已知，
所以，根据两角和正弦公式得，
即，
故两边平方得，即，
故
.
故答案为：B.
【分析】利用两角和正弦公式化简已知条件，解得，对等式进行两边平方，利用二倍角公式以及同角三角函数的关系可化简得，再利用两角和与差的正弦、余弦公式简化所求式子即可求解.
27．已知，则（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】弦切互化；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】因为，所以，
所以．
故选：D.
【分析】利用齐次式对得到，接着对进行变形化简即可得到结果.
28．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】展开得，
两边同时平方有，
即，解得，
故选：B.
【分析】先对进行展开得到接着两边平方进行化简即可得到结果.
十三、多选题
29．（2023·吉林模拟）下列化简正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】对于A，由，A符合题意；
对于B，由，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，，D不符合题意．
故答案为：ABC．
【分析】由已知结合和差角公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式，逐项进行判断，可得答案.
30．已知函数的图像关于点对称，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则下列结论正确的是（　　）
A．是偶函数
B．
C．的最小正周期为1
D．是函数图像的一个对称中心
【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】由
由，
所以为偶函数错误，故A项错误
又，所以，且，
所以， B项正确；
由B项，，
所以的最小正周期为，C项错误；
令，解得，
当时，，所以是函数图像的一个对称中心，D项正确．
故选：BD．
【分析】利用奇偶性的定义判断f(x)的奇偶性，接着根据求出，得到函数的解析式，利用解析式判断函数的周期性，对称性，进行判断即可得到结果.
31．（2023高三下·杭州模拟）已知向量，函数，则（　　）
A．在上有4个零点
B．在单调递增
C．
D．直线是曲线的一条切线
【答案】B,C,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【解答】由题知，
对于A，当时，，
令，则，则或，即或，
故在上有2个零点，A不符合题意；
对于B，当时，，
又在区间上单调递增，故在上单调递增，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，，则，
又，
故在处的切线方程为，即，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量数量积的运算性质、倍角公式、和差公式化简可得，根据正弦函数的零点可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；根据导数的几何意义可判断D.
十四、填空题
32．已知，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】因为，而，因此，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用两角和的余弦公式以及二倍角公式进行化简即可得到结果.
33．已知，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】由，且，
得，
整理得，
解得（舍）或，
所以．
故答案为：.
【分析】利用两角和的正切公式以及二倍角公式，结合二次函数进行求解即可得到结果.
34．已知，且，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为，所以，又，
所以，
所以
.
故答案为：
【分析】利用同角三角函数值，诱导公式进行化简即可得到结果.
十五、解答题
35．（2024·天津）在中，.
（1）求；
（2）求；
（3）求.
【答案】（1）解：在中，，由余弦定理，
可得，解得，则.
（2）解：因为，，所以，
由正弦定理，可得，解得.
（3）解：由（2）可知，因为，则，所以，
则，，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1），由题意，利用余弦定理求解即可；
（2）根据同角三角函数基本关系求出，再利用正弦定理求解即可；
（3）由（2）可求，再利用正弦、余弦二倍角公式以及两角差的余弦公式求解即可.
36．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1），
又，所以，
由于为三角形的内角，所以，
（2）由于，所以，
故，
由于为锐角三角形，所以且，故，
则，故，
故的取值范围为
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正切公式；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用两角和的正切公式，结合三角形的内角关系以及诱导公式进行求解即可得到结果；
（2）根据三角形三角的关系得到，接着将进行一角一函数的变形化简，结合余弦函数的性质进行求解即可得到结果.
十六、单选题
37．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】基本不等式；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】因为，
由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
所以，
即.
所以，
显然必为正（否则和都为负，就两个钝角），
所以，
当且仅当，即取等号.
所以.
故选：B.
【分析】利用正弦定理进行变形，得到齐次式变形化简得，利用三角形内角关系以及两角和的正切公式得到，接着变形得到，进而利用基本不等式进行求解即可得到答案。
十七、多选题
38．（2024高三下·莒县月考）已知函数，则下列说法正确的是(　　)
A．函数的一个周期为
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为
D．若，其中为锐角，则的值为
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以的最小值周期，所以是函数的一个周期，A正确；
对于B，因为，所以，点不是函数的对称中心，B错误；
对于C，由题知，，
若函数为偶函数，则，得，
因为，所以的最小值为，C正确；
对于D，若，则，
因为为锐角，，所以，
所以
，D正确.
故答案为：ACD
【分析】利用三角恒等变换公式、辅助角公式化简函数，再利用三角函数的性质以及图象变换即可求解.
十八、填空题
39．已知，是方程的两个根，则　 　．
【答案】
【知识点】弦切互化；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】因为，是方程的两个根，
所以，，则，
所以．
故答案为：
【分析】根据根与系数关系得到，，对进行齐次式变形化简即可得到结果.
十九、解答题
40．（2024高一下·南海月考）在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值.
【答案】（1）解：，
由正弦定理得，
则，
即
则，
且，
，
.

（2）解：由和，可知，
因为，
所以，
又因为，
所以，即，
又因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，所以，
所以的面积的最小值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理和两角和的正弦公式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的余弦值，进而得出角A的值.
（2）利用已知条件和等面积法以及三角形的面积公式，则得出，利用基本不等式求最值的方法可得的最小值， 再结合三角形的面积公式得出的面积的最小值.
（1），
由正弦定理得，
则，
即
则，
且，
，；
（2）由和，可知，
因为，
所以，
又因为，
所以，即，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
所以的面积的最小值为.
二十、单选题
41．（2024·湖南模拟）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，若，，则的值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．2或4
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，所以 由余弦定理得，
，又，所以，
因为，则，
即，①
由得，，所以，
因为，
所以，代入①得
，化简得，解得或，
因为，所以，故.
故答案为：C
【分析】由，结合余弦定理可求cosB，进而可求角，然后结合两角和与差的余弦公式可求，再由和差角公式对等式进行化简，即可求解.
二十一、多选题
42．通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且所对的圆心角，所在圆的半径为4，，则（　　）
A．的长为
B．
C．若与所在两圆的圆心距为，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若与所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】记，所在圆的圆心分别为E，F，连接AE，AF，CF，EF，
则，，
选项A：根据弧长公式得的长为，故A正确．
选项B：，则，故B错误．(也可以在中利用余弦定理求解)
选项C：如图1，过点A，C分别作EF的平行线，与过点F的EF的垂线分别交于点D，G，∵，，∴，
∵，∴，．
由题易知AD﹣CG为半坡宽度，DG为坡屋面高度半径，
，，
，，
∴，不符合宋代建筑屋顶的第二个特点，C正确．
选项D：如图2，过点A作EF的垂直平分线，交EF于点M，过点C作，垂足为N，
，，当时，，
∴，∴．
易知CN为半坡宽度，AN为坡屋面高度半径，
∴，D正确．
故选：ACD
【分析】先将图像画出，结合图像的特征以及两角和与差的正弦公式，正切公式，以及弧长公式，以及三角函数的性质进行判断即可得到结果.
二十二、填空题
43．如图，四边形由和拼接而成，其中，，若与相交于点，，，，且，则的面积　 　．
【答案】
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在中，由正弦定理得：，由于，所以．
而，则有：，
，
又，，
由，
可得，
所以，
故答案为：.
【分析】利用正弦定理，三角形的内角和关系，结合两角差的正切公式得到的值，进而利用面积公式进行求解即可得到结果.
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