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湖南省湘潭市湘乡市东皋学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·湘乡市开学考）下列命题中，正确的是（　　）
A．如果，那么 B．一个角的补角一定大于这个角
C．直角三角形的两个锐角互余 D．一个角的余角一定小于这个角
2．（2025九上·湘乡市开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·湘乡市开学考）一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2025九上·湘乡市开学考）若点A（m，n）在第三象限，则点B（|m|，-n）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025九上·湘乡市开学考）下列关系式中，不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·湘乡市开学考）某校为了了解七年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图．请根据图示计算仰卧起坐次数在15～20次之间的频数是(　　)
A．3 B．5 C．10 D．12
7．（2025九上·湘乡市开学考）在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为5：1，则平行四边形ABCD中较小内角是（　　）
A．150° B．120° C．60° D．30°
8．（2025九上·湘乡市开学考）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
9．（2025九上·湘乡市开学考）如图，等边的顶点在原点，顶点在轴的正半轴上，点，有一瓢虫从点出发以每秒个单位长度的速度沿循环爬行，则第秒瓢虫所在位置的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·湘乡市开学考）为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过拖工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工改造道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系大致的图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025九上·湘乡市开学考）如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为　 　米．
12．（2025九上·湘乡市开学考）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是　 　．
13．（2025九上·湘乡市开学考）在平面直角坐标系下，将点向上平移3个单位，对应的点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为　 　．
14．（2025九上·湘乡市开学考）长方形的周长为8，其中一边为x，面积为y，则y与x的关系式为　 　．
15．（2025九上·湘乡市开学考）一个样本容量为80的样本，最大值是137，最小值是67，取组距为10，则可分　 　 组．
16．（2025九上·湘乡市开学考）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时，　 　g．
17．（2025九上·湘乡市开学考）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是　 　．
18．（2025九上·湘乡市开学考）如图，在菱形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，沿 CE 折叠△BEC，点 B 恰好落在对角线 AC上的 处．若∠DAB=56°，则的度数为　 　．
19．（2025九上·湘乡市开学考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点的对应点分别为点）．
（1）直接写出点的坐标
（2）求出的面积．
20．（2025九上·湘乡市开学考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．
21．（2025九上·湘乡市开学考）已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）判断线段与的数量关系，并证明．
22．（2025九上·湘乡市开学考）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF =4，求菱形BPEQ的周长．
23．（2025九上·湘乡市开学考）在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售每千克A级茶，B级茶的利润分别为100元，150元．若该经销商决定购进A，B两种级别的茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．
24．（2025九上·湘乡市开学考）某学校在本学期开展数学拓展活动，为了解开展数学拓展活动后学生不同阶段的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评（两次随机抽取的学生人数相同），第一次是开展数学拓展活动初期的学习质量测评，第二次是开展数学拓展活动个月后的学习质量测评．根据测评的数学成绩制作了第一次测评的数学成绩频数分布直方图（如图，每一组包括左边端点，不包括右边端点）和第二次测评的数学成绩频数分布表（如表）．
第二次测评的数学成绩频数分布表：
成绩
频数
根据以上图表信息，完成下列问题：
第一次测评的数学成绩频数分布直方图
（1）______；
（2）若分及以上为优秀．
①开展数学拓展活动个月后，请估计该校名七年级学生数学成绩优秀的人数；
②请分别计算两次测评数学成绩的优秀率，并对开展数学拓展活动的效果进行分析．
25．（2025九上·湘乡市开学考）如图，直线交两坐标轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点的坐标为，连接．证明：，且线段；
（3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点的坐标．
26．（2025九上·湘乡市开学考）如图，一次函数的图象与轴的交点为，且经过点，点位于第一象限．
（1）若点的坐标为，求一次函数的解析式；
（2）若点的坐标为，设为射线上的一点，且，用含的代数式表示点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；真命题与假命题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：、如果，那么，该选项错误，不符合题意，
、两个互补的角，大小关系并不确定，该选项错误，不符合题意，
、直角三角形的两个锐角互余，该选项正确，符合题意，
、两个互余的角，大小关系并不确定，该选项错误，不符合题意，
故选：．
【分析】根据绝对值的定义，补角、余角的定义以及直角三角形的性质，选项A，若，则，并非a=b，该选项错误；选项B：一个叫的补角与该角的关系不确定，例如120°的补角是60°，小于原角，该选项错误.选项C：直角三角形的两个锐角和为90°，即互余，该选项正确.选项D，一个角的余角与该角的大小关系不确定，例如30°角的余角是60°，大于原角，该选项错误.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故A选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【分析】本题考查轴对称图形(沿一条直线折叠，直线两旁部分可重合)和中心对称图形(绕某点旋转180°后与原图形重合)的定义，逐一分析图形的折叠和旋转特征，通过想象或画图辅助判断是关键.
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该正多边形的一个外角为x，
根据题意，得，
解得：，
∴这个多边形的边数为，
故选：C．
【分析】设该正多边形的一个外角为x，则内角和为4x；因为正多边形的外角与相邻内角互补，所以，解得x=36°，又因为正多边形的外角和为360°，所以边数为360°÷36°=10．
4．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A（m，n）在第三象限，
∴m＜0，n＜0
∴|m|＞0，-n>0
∴点B（|m|，-n）所在的象限是第一象限
故选A．
【分析】根据象限内点的坐标特征“第一象限（＋，＋）；第二象限（ ，＋）；第三象限（ ， ）；第四象限（＋， ）”判断即可．
5．【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、，y是x的函数；
B、，y是x的函数；
C、，y是x的函数；
D、，当x=2时，y=±2，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数.
故选：D.
【分析】本题考查的是函数的定义(对于x的每一个确定的值，y有唯一确定值与之对应)，判断是否为函数，关键在于验证"x的每一个确定值对应唯一的y值"，可通过举例或分析表达式的对应关系来判断.
6．【答案】A
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：仰卧起坐次数在15～20次的频数是3，
故选A．
【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．明确纵轴和横轴的含义，直接从频数直方图中读取"15-20次之间"的频数，由图可知该频数为3.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：不妨设∠A：∠B=5：1，即∠A=5∠B，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴6∠B=180°，
∴∠B=30°，
∴∠A=150°，
∴ ABCD中较小内角为30°，
故选：D．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形'邻角互补"的性质，结合角度比例关系建立方程计算即可．
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
可知最小时，最小，
根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴的最小值为．
故选：D．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理，先通过中位线定理将EF的长度转化为AG的一半，再利用"垂线段最短"确定AG⊥BC时AG最小；结合平行四边形的性质求出∠B=60°，在中利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出AG的长度，进而得到EF的最小值.
9．【答案】D
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；坐标系中的两点距离公式；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
秒走过的路程为：，
的周长为，，
∴第秒瓢虫所在的位置是．
故选D．
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、平面直角坐标系中的规律问题、先计算的长度为4，因为的周长是等边三角形，所以周长为12，瓢虫速度为每秒4个单位长度，2023秒走过的路程为8092，即循环674次后走了4个单位长度，此时位置与A点相同，坐标为.
10．【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】施工队的施工分为三个阶段，正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段
设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为
得，且
∵A的图像分成三个阶段，且第一阶段的速度小于第三阶段的速度，第二阶段的速度为0，与实际施工情况相符合
∴A正确
∵B的图像没有停工期
∴B错误
∵C和D的图形均是随着时间x（天）的增加，改造道路里程y（公里）越来越少，与实际情况不符合
∴C、D错误
故选：A．
【分析】根据 正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段 的速度变化进行判断得到答案．
11．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得，在中，，，
∴，
∵树高为18米，
∴米，
∴，
∴米，
故答案为：6．
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，利用含30°角的直角三角形"斜边是30°角对边的2倍"的性质，结合树高的和为18米建立方程，即可求解.
12．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
数轴上点表示的数是，
故答案为：．
【分析】本题考查了数轴的距离计算和勾股定理，先确定线段长度，再通过勾股定理求出，最后结合数轴的位置关系确定点的坐标．
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向上平移3个单位，对应的点为，
，
点与点关于原点对称，
，
故答案为：．
【分析】本题考查坐标平移规律(上加下减)和关于原点对称的点的坐标特征(横纵坐标互为相反数)，正确应用平移和对称规律即可.
14．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意，得：长方形的另一条边长为：，
∴；
故答案为：．
【分析】根据长方形的面积公式列出关系式即可．
15．【答案】9
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：在样本数据中最大值为137，最小值为47，它们的差是137﹣47=90，已知组距为10，那么由于90÷10=9，故可以分成9组．
故答案为：9．
【分析】根据组数=（最大值﹣最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．
16．【答案】79
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵
∴当时，．
故答案为：79．
【分析】将代入求出对应m的值即可．
17．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知，一次函数与的图象交于点，
要使不等式，一次函数图象应在图象上方，
解集为，
故答案为：．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，明确"函数图象上方对应不等式大于，下方对应小于"，结合一次函数图象的上下位置关系和交点横坐标即可快速得到结果.
18．【答案】96°
【知识点】三角形外角的概念及性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=56°，∴∠B=124°，∠CAB=28°，
∵沿CE折叠△BEC，点B恰好落在对角线AC上的B'处，
∴∠CB'E=∠B=124°，
∴∠AEB'=∠CB'E -∠CAB =124°-28°=96°，
故答案为：96°．
【分析】利用菱形的性质可得∠DAB=∠DCB=56°，∠B=124°，∠CAB=28°，利用翻折的性质得到∠CB'E=124°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．
19．【答案】（1），
（2）解：
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解(1)：如图，
由平移方式可知，的坐标为，即，
的坐标为，即；
故答案为：，.
【分析】本题考查坐标平移规律以及三角形面积的割补法．
（1）根据平移规律"左加右减，上加下减"，直接套用，可得出点，的坐标；
（2）利用割补法计算，用矩形面积减去周围三角形的面积，准确计算即可．
（1）解：如图，
由平移方式可知，的坐标为，即，
的坐标为，即；
（2）解：
．
20．【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠BEO＝∠DFO，
在△BEO与△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵AE＝CF，
∴AE+EO＝CF+FO，
即AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定(ASA)和平行四边形的判定(对角线互相平分)，先根据平行得到∠BEO＝∠DFO，结合BO=DO和对顶角相等证明三角形全等，得EO＝FO；又因AE=CF，故AO=CO，结合BO=DO，可证四边形ABCD是平行四边形.
21．【答案】（1）；
（2）证明：过点P作于点E，作于点F．
∵，，
∴．
∵OM是的平分线，
∴．
∵四边形PFOE中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴≌，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）解：
【分析】（1）根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）过点P作于点E，作于点F，根据角平分线性质可得，再根据四边形内角和定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：
（2）证明：过点P作于点E，作于点F．
∵，，
∴．
∵OM是的平分线，
∴．
∵四边形PFOE中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴≌，
∴．
22．【答案】（1）∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中．
∵∠PEO=∠QBO，OB=OE，∠POE=∠QOB，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；
（2）∵O，F分别为PQ，AB的中点，OF=4 ∴AE=8，
设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，62+（8-y）2=y2，解得：y=，
∴菱形BPEQ的周长=25
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查菱形的判定(一组邻边相等的平行四边形是菱形)，三角形中位线定理，勾股定理.（1）先根据PQ垂直平分BE得PB=PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再结合PB=PE，可证其为菱形；
（2）由三角形中位线定理得AE=8，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，由勾股定理可求得y的值，故菱形的周长可知．
23．【答案】（1）解：由题意可得，
，
即y与x的函数关系式为；
（2）解：∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，∴，
解得，，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值为，
，
即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据 A，B两种级别的茶叶利润求和得到y与x的函数关系式；
（2）根据题意得到x的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润的最大值即可．
（1）由题意可得，
，
即y与x的函数关系式为；
（2）∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，
∴，
解得，，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值为，
，
即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元．
24．【答案】（1）；
解：（2）①根据第二次测评的数学成绩频数分布表，
可知分及以上人数为：（人），
优秀率为：，
该校名七年级学生数学成绩优秀的人数为：（人）；
②根据第一次测评的数学成绩频数分布直方图，
可知分及以上人数为：（人），
优秀率为：，
由（2）①得第二次测评的数学成绩优秀率为：，
，
开展数学拓展活动对学生的学习质量有提升作用．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由第一次测评的数学成绩频数分布直方图可知参与总人数为：
（人），
根据两次开展数学拓展活动的人数相同，
，
故答案是：；
【分析】（1）由第一次测评求出参与总人数为：50人，然后用总人数减去第二次测评中其它组的人数求出即可；
（2）①根据第二次测评分及以上人数的频率乘以700解答即可；
②利用两次测评的优秀人数除以总人数乘以100%解答即可．
25．【答案】（1）解：直线经过点，
．解得．
直线的解析式为．

（2）证明：如图1，过点作轴于．
可得与都是Rt．
，
．
．
．
，即．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图3．
四边形为正方形，
．
将点向右平移4个单位，再向下平移3个单位可得到点．
将同样平移可得点．
【分析】（1）待定系数法求直线解析式即可；
（2）如图，过点作轴于，根据勾股定理求出AB和BC长，然后根据AAS得到，根据对应角相等得到结论即可；
（3）根据正方形的性质，利用平移解答即可．
（1）直线经过点，
．解得．
直线的解析式为．
（2）方法一：如图1，过点作轴于．
可得与都是Rt．
，
．
．
．
，即．
方法二：如图2，连接．
，
；
．
．
是等腰直角三角形．
，且．
方法三：由方法一可知：．
设直线的解析式为，可得
直线的解析式为．
又直线与的解析式的一次项系数的积．
．
（3）方法一：如图3．
四边形为正方形，
．
将点向右平移4个单位，
再向下平移3个单位
可得到点．
将同样平移
可得点．
也可以根据点平移到点的平移方式，由点平移得出点的坐标．
方法二：如图4．四边形为正方形．
．
直线的解析式为．
设直线的解析式为．
又直线经过点．
．
直线的解析式为．
同理可得，直线的解析式为．
点是直线与直线的交点，
有解得点．
也可以用类似的垂直法得出点的坐标．
方法三：如图5．连接，两线交于点
四边形为正方形．
点是的中点，也是的中点．
，
点．
即点．
又点．
方法四：如图6．过点作轴于点．
可证得Rt．
得到．
．
点在轴的正半轴．
点在第四象限．
点．
26．【答案】（1）解：分别将，代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分别将，代入得：
解得：，
∴，
设，
由两点间的距离公式得：，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）求出直线AB的解析式，设，根据两点间距离公式得到：，，然后根据列方程求出m的值，即可得到点M坐标．
（1）解：分别将，代入得：
，
解得：，
∴；
（2）分别将，代入得：
解得：，
∴，
设，
由两点间的距离公式得：，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1湖南省湘潭市湘乡市东皋学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·湘乡市开学考）下列命题中，正确的是（　　）
A．如果，那么 B．一个角的补角一定大于这个角
C．直角三角形的两个锐角互余 D．一个角的余角一定小于这个角
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；真命题与假命题；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：、如果，那么，该选项错误，不符合题意，
、两个互补的角，大小关系并不确定，该选项错误，不符合题意，
、直角三角形的两个锐角互余，该选项正确，符合题意，
、两个互余的角，大小关系并不确定，该选项错误，不符合题意，
故选：．
【分析】根据绝对值的定义，补角、余角的定义以及直角三角形的性质，选项A，若，则，并非a=b，该选项错误；选项B：一个叫的补角与该角的关系不确定，例如120°的补角是60°，小于原角，该选项错误.选项C：直角三角形的两个锐角和为90°，即互余，该选项正确.选项D，一个角的余角与该角的大小关系不确定，例如30°角的余角是60°，大于原角，该选项错误.
2．（2025九上·湘乡市开学考）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故A选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【分析】本题考查轴对称图形(沿一条直线折叠，直线两旁部分可重合)和中心对称图形(绕某点旋转180°后与原图形重合)的定义，逐一分析图形的折叠和旋转特征，通过想象或画图辅助判断是关键.
3．（2025九上·湘乡市开学考）一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该正多边形的一个外角为x，
根据题意，得，
解得：，
∴这个多边形的边数为，
故选：C．
【分析】设该正多边形的一个外角为x，则内角和为4x；因为正多边形的外角与相邻内角互补，所以，解得x=36°，又因为正多边形的外角和为360°，所以边数为360°÷36°=10．
4．（2025九上·湘乡市开学考）若点A（m，n）在第三象限，则点B（|m|，-n）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A（m，n）在第三象限，
∴m＜0，n＜0
∴|m|＞0，-n>0
∴点B（|m|，-n）所在的象限是第一象限
故选A．
【分析】根据象限内点的坐标特征“第一象限（＋，＋）；第二象限（ ，＋）；第三象限（ ， ）；第四象限（＋， ）”判断即可．
5．（2025九上·湘乡市开学考）下列关系式中，不是的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、，y是x的函数；
B、，y是x的函数；
C、，y是x的函数；
D、，当x=2时，y=±2，即对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数.
故选：D.
【分析】本题考查的是函数的定义(对于x的每一个确定的值，y有唯一确定值与之对应)，判断是否为函数，关键在于验证"x的每一个确定值对应唯一的y值"，可通过举例或分析表达式的对应关系来判断.
6．（2025九上·湘乡市开学考）某校为了了解七年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图．请根据图示计算仰卧起坐次数在15～20次之间的频数是(　　)
A．3 B．5 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：仰卧起坐次数在15～20次的频数是3，
故选A．
【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．明确纵轴和横轴的含义，直接从频数直方图中读取"15-20次之间"的频数，由图可知该频数为3.
7．（2025九上·湘乡市开学考）在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为5：1，则平行四边形ABCD中较小内角是（　　）
A．150° B．120° C．60° D．30°
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：不妨设∠A：∠B=5：1，即∠A=5∠B，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴6∠B=180°，
∴∠B=30°，
∴∠A=150°，
∴ ABCD中较小内角为30°，
故选：D．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形'邻角互补"的性质，结合角度比例关系建立方程计算即可．
8．（2025九上·湘乡市开学考）如图，在平行四边形中，，点分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
可知最小时，最小，
根据“垂线段最短”可知当时，最小时，即最小，如图，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴的最小值为．
故选：D．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的定义和性质，勾股定理，先通过中位线定理将EF的长度转化为AG的一半，再利用"垂线段最短"确定AG⊥BC时AG最小；结合平行四边形的性质求出∠B=60°，在中利用含30°角的直角三角形性质和勾股定理求出AG的长度，进而得到EF的最小值.
9．（2025九上·湘乡市开学考）如图，等边的顶点在原点，顶点在轴的正半轴上，点，有一瓢虫从点出发以每秒个单位长度的速度沿循环爬行，则第秒瓢虫所在位置的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；坐标系中的两点距离公式；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
秒走过的路程为：，
的周长为，，
∴第秒瓢虫所在的位置是．
故选D．
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、平面直角坐标系中的规律问题、先计算的长度为4，因为的周长是等边三角形，所以周长为12，瓢虫速度为每秒4个单位长度，2023秒走过的路程为8092，即循环674次后走了4个单位长度，此时位置与A点相同，坐标为.
10．（2025九上·湘乡市开学考）为了建设社会主义新农村，某市积极推进“行政村通畅工程“，对甲村和乙村之间的道路进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过拖工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造，下面能反映该工改造道路里程y（公里）与时间x（天）的函数关系大致的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】施工队的施工分为三个阶段，正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段
设正常施工阶段的速度为，暴雨停工阶段的速度为，加速赶工阶段的速度为
得，且
∵A的图像分成三个阶段，且第一阶段的速度小于第三阶段的速度，第二阶段的速度为0，与实际施工情况相符合
∴A正确
∵B的图像没有停工期
∴B错误
∵C和D的图形均是随着时间x（天）的增加，改造道路里程y（公里）越来越少，与实际情况不符合
∴C、D错误
故选：A．
【分析】根据 正常施阶段、暴雨停工阶段和加速赶工阶段 的速度变化进行判断得到答案．
11．（2025九上·湘乡市开学考）如图所示，有一根高为18米的松树（垂直于地面）在A处断裂，松树顶部落在地面C处，通过测量可知，则松树断裂处A离地面的距离的长为　 　米．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得，在中，，，
∴，
∵树高为18米，
∴米，
∴，
∴米，
故答案为：6．
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，利用含30°角的直角三角形"斜边是30°角对边的2倍"的性质，结合树高的和为18米建立方程，即可求解.
12．（2025九上·湘乡市开学考）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，，则数轴上点表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，
，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
数轴上点表示的数是，
故答案为：．
【分析】本题考查了数轴的距离计算和勾股定理，先确定线段长度，再通过勾股定理求出，最后结合数轴的位置关系确定点的坐标．
13．（2025九上·湘乡市开学考）在平面直角坐标系下，将点向上平移3个单位，对应的点为，点与点关于原点对称，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点向上平移3个单位，对应的点为，
，
点与点关于原点对称，
，
故答案为：．
【分析】本题考查坐标平移规律(上加下减)和关于原点对称的点的坐标特征(横纵坐标互为相反数)，正确应用平移和对称规律即可.
14．（2025九上·湘乡市开学考）长方形的周长为8，其中一边为x，面积为y，则y与x的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意，得：长方形的另一条边长为：，
∴；
故答案为：．
【分析】根据长方形的面积公式列出关系式即可．
15．（2025九上·湘乡市开学考）一个样本容量为80的样本，最大值是137，最小值是67，取组距为10，则可分　 　 组．
【答案】9
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：在样本数据中最大值为137，最小值为47，它们的差是137﹣47=90，已知组距为10，那么由于90÷10=9，故可以分成9组．
故答案为：9．
【分析】根据组数=（最大值﹣最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．
16．（2025九上·湘乡市开学考）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时，　 　g．
【答案】79
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵
∴当时，．
故答案为：79．
【分析】将代入求出对应m的值即可．
17．（2025九上·湘乡市开学考）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可知，一次函数与的图象交于点，
要使不等式，一次函数图象应在图象上方，
解集为，
故答案为：．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，明确"函数图象上方对应不等式大于，下方对应小于"，结合一次函数图象的上下位置关系和交点横坐标即可快速得到结果.
18．（2025九上·湘乡市开学考）如图，在菱形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，沿 CE 折叠△BEC，点 B 恰好落在对角线 AC上的 处．若∠DAB=56°，则的度数为　 　．
【答案】96°
【知识点】三角形外角的概念及性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=56°，∴∠B=124°，∠CAB=28°，
∵沿CE折叠△BEC，点B恰好落在对角线AC上的B'处，
∴∠CB'E=∠B=124°，
∴∠AEB'=∠CB'E -∠CAB =124°-28°=96°，
故答案为：96°．
【分析】利用菱形的性质可得∠DAB=∠DCB=56°，∠B=124°，∠CAB=28°，利用翻折的性质得到∠CB'E=124°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．
19．（2025九上·湘乡市开学考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．将先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（点的对应点分别为点）．
（1）直接写出点的坐标
（2）求出的面积．
【答案】（1），
（2）解：
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解(1)：如图，
由平移方式可知，的坐标为，即，
的坐标为，即；
故答案为：，.
【分析】本题考查坐标平移规律以及三角形面积的割补法．
（1）根据平移规律"左加右减，上加下减"，直接套用，可得出点，的坐标；
（2）利用割补法计算，用矩形面积减去周围三角形的面积，准确计算即可．
（1）解：如图，
由平移方式可知，的坐标为，即，
的坐标为，即；
（2）解：
．
20．（2025九上·湘乡市开学考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．
【答案】证明：∵BE∥DF，∴∠BEO＝∠DFO，
在△BEO与△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵AE＝CF，
∴AE+EO＝CF+FO，
即AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定(ASA)和平行四边形的判定(对角线互相平分)，先根据平行得到∠BEO＝∠DFO，结合BO=DO和对顶角相等证明三角形全等，得EO＝FO；又因AE=CF，故AO=CO，结合BO=DO，可证四边形ABCD是平行四边形.
21．（2025九上·湘乡市开学考）已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）判断线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）；
（2）证明：过点P作于点E，作于点F．
∵，，
∴．
∵OM是的平分线，
∴．
∵四边形PFOE中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴≌，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；多边形的内角和公式
【解析】【解答】（1）解：
【分析】（1）根据四边形内角和定理即可求出答案.
（2）过点P作于点E，作于点F，根据角平分线性质可得，再根据四边形内角和定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：
（2）证明：过点P作于点E，作于点F．
∵，，
∴．
∵OM是的平分线，
∴．
∵四边形PFOE中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴≌，
∴．
22．（2025九上·湘乡市开学考）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF =4，求菱形BPEQ的周长．
【答案】（1）∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中．
∵∠PEO=∠QBO，OB=OE，∠POE=∠QOB，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；
（2）∵O，F分别为PQ，AB的中点，OF=4 ∴AE=8，
设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，62+（8-y）2=y2，解得：y=，
∴菱形BPEQ的周长=25
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】本题考查菱形的判定(一组邻边相等的平行四边形是菱形)，三角形中位线定理，勾股定理.（1）先根据PQ垂直平分BE得PB=PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再结合PB=PE，可证其为菱形；
（2）由三角形中位线定理得AE=8，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，由勾股定理可求得y的值，故菱形的周长可知．
23．（2025九上·湘乡市开学考）在“一带一路”战略的影响下，某茶叶经销商准备把“茶路”融入“丝路”，经计算，他销售每千克A级茶，B级茶的利润分别为100元，150元．若该经销商决定购进A，B两种级别的茶叶共200千克用于出口，设购进A级茶x千克，销售总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．
【答案】（1）解：由题意可得，
，
即y与x的函数关系式为；
（2）解：∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，∴，
解得，，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值为，
，
即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据 A，B两种级别的茶叶利润求和得到y与x的函数关系式；
（2）根据题意得到x的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润的最大值即可．
（1）由题意可得，
，
即y与x的函数关系式为；
（2）∵其中B级别茶叶的进货量不超过A级别茶叶的4倍，
∴，
解得，，
∵，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值为，
，
即当进货方案是A级茶叶40千克，B级茶叶160千克时，总利润的最大值是28000元．
24．（2025九上·湘乡市开学考）某学校在本学期开展数学拓展活动，为了解开展数学拓展活动后学生不同阶段的学习效果，决定随机抽取七年级部分学生进行两次跟踪测评（两次随机抽取的学生人数相同），第一次是开展数学拓展活动初期的学习质量测评，第二次是开展数学拓展活动个月后的学习质量测评．根据测评的数学成绩制作了第一次测评的数学成绩频数分布直方图（如图，每一组包括左边端点，不包括右边端点）和第二次测评的数学成绩频数分布表（如表）．
第二次测评的数学成绩频数分布表：
成绩
频数
根据以上图表信息，完成下列问题：
第一次测评的数学成绩频数分布直方图
（1）______；
（2）若分及以上为优秀．
①开展数学拓展活动个月后，请估计该校名七年级学生数学成绩优秀的人数；
②请分别计算两次测评数学成绩的优秀率，并对开展数学拓展活动的效果进行分析．
【答案】（1）；
解：（2）①根据第二次测评的数学成绩频数分布表，
可知分及以上人数为：（人），
优秀率为：，
该校名七年级学生数学成绩优秀的人数为：（人）；
②根据第一次测评的数学成绩频数分布直方图，
可知分及以上人数为：（人），
优秀率为：，
由（2）①得第二次测评的数学成绩优秀率为：，
，
开展数学拓展活动对学生的学习质量有提升作用．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由第一次测评的数学成绩频数分布直方图可知参与总人数为：
（人），
根据两次开展数学拓展活动的人数相同，
，
故答案是：；
【分析】（1）由第一次测评求出参与总人数为：50人，然后用总人数减去第二次测评中其它组的人数求出即可；
（2）①根据第二次测评分及以上人数的频率乘以700解答即可；
②利用两次测评的优秀人数除以总人数乘以100%解答即可．
25．（2025九上·湘乡市开学考）如图，直线交两坐标轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点的坐标为，连接．证明：，且线段；
（3）在（2）的条件下，点为平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：直线经过点，
．解得．
直线的解析式为．

（2）证明：如图1，过点作轴于．
可得与都是Rt．
，
．
．
．
，即．
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；坐标与图形变化﹣平移；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图3．
四边形为正方形，
．
将点向右平移4个单位，再向下平移3个单位可得到点．
将同样平移可得点．
【分析】（1）待定系数法求直线解析式即可；
（2）如图，过点作轴于，根据勾股定理求出AB和BC长，然后根据AAS得到，根据对应角相等得到结论即可；
（3）根据正方形的性质，利用平移解答即可．
（1）直线经过点，
．解得．
直线的解析式为．
（2）方法一：如图1，过点作轴于．
可得与都是Rt．
，
．
．
．
，即．
方法二：如图2，连接．
，
；
．
．
是等腰直角三角形．
，且．
方法三：由方法一可知：．
设直线的解析式为，可得
直线的解析式为．
又直线与的解析式的一次项系数的积．
．
（3）方法一：如图3．
四边形为正方形，
．
将点向右平移4个单位，
再向下平移3个单位
可得到点．
将同样平移
可得点．
也可以根据点平移到点的平移方式，由点平移得出点的坐标．
方法二：如图4．四边形为正方形．
．
直线的解析式为．
设直线的解析式为．
又直线经过点．
．
直线的解析式为．
同理可得，直线的解析式为．
点是直线与直线的交点，
有解得点．
也可以用类似的垂直法得出点的坐标．
方法三：如图5．连接，两线交于点
四边形为正方形．
点是的中点，也是的中点．
，
点．
即点．
又点．
方法四：如图6．过点作轴于点．
可证得Rt．
得到．
．
点在轴的正半轴．
点在第四象限．
点．
26．（2025九上·湘乡市开学考）如图，一次函数的图象与轴的交点为，且经过点，点位于第一象限．
（1）若点的坐标为，求一次函数的解析式；
（2）若点的坐标为，设为射线上的一点，且，用含的代数式表示点的坐标．
【答案】（1）解：分别将，代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：分别将，代入得：
解得：，
∴，
设，
由两点间的距离公式得：，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）求出直线AB的解析式，设，根据两点间距离公式得到：，，然后根据列方程求出m的值，即可得到点M坐标．
（1）解：分别将，代入得：
，
解得：，
∴；
（2）分别将，代入得：
解得：，
∴，
设，
由两点间的距离公式得：，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
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