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浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2025-2026学年九年级上学期数学10月月考试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个是正确的.
1．（2025九上·萧山月考）－2的绝对值是（　　）
A．2 B．－2 　　 C．　 D．－
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值的定义，可直接得出-2的绝对值．
【解答】|-2|=2，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单．
2．（2025九上·萧山月考）抛掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数最有可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数最有可能为 次。
故答案为：C。
【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币只会出现正面朝上与反面朝上两种情况，根据概率的计算方法可知出现正面朝上的概率是0.5，从而即可得出答案。
3．（2025九上·萧山月考）在二次根式 中，字母x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选C．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
4．（2025九上·萧山月考）把分解因式，结果正确的是（　　）
A． B．
C．2（a+2）（a-2） D．2（a+2）2
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】先提取公因式2，然后利用平方差公式因式分解即可.
5．（2025九上·萧山月考）小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故答案为：A．
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
6．（2025九上·萧山月考）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面AB=48cm，则水的最大深度为（　　）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作 于D， 交⊙O于E， 连接OA，
由垂径定理得：
∵⊙O的直径为52cm，
在 中，由勾股定理得：
∴油的最大深度为16cm，
故答案为：C.
【分析】过点O作 于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为52cm，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度DE的长.
7．（2025九上·萧山月考）二次函数的图象与x轴的一个交点是（3，0），则关于x的一元二次方程的一个解×1=3，另一个解×2=（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得
解得
故答案为：B.
【分析】直接利用根与系数的关系求解.
8．（2025九上·萧山月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　）
A．115° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图.
∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，∴∠B'=∠B=90°，∠BFE=∠EFB'，
∵∠2=40°，
∴∠B'GF=∠2=40°，
∵∠B'GF+∠B'FG=90°，
∴40°+∠B'FG=90°，解得∠GFB'=50°，
∵∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，
∴∠1+∠1﹣50°=180°，
解得：∠1=115°.
故答案为：A．
【分析】先求出∠B'GF，再利用直角三角形的两个锐角互余求出∠B'FG，再根据∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，求出∠1.
9．（2025九上·萧山月考）如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（　　）
①；②；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故③正确；
∵抛物线对称轴是直线，
∴，
∴，故②正确；
当时，，故④正确；
综上，正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【分析】
①观察图象知抛物线的对称轴在y轴右侧，则a、b异号；由抛物线交y轴于正半轴知c>0，则；
②由对称轴为直线得， 即；
③由抛物线与x轴有两个交点，则；
④由于抛物线与x负半轴的交点的横坐标介于和之间，且在对称轴的左侧y随x增大而增大，则当时．
10．（2025九上·萧山月考）二次函数的图象过A（x1，m），B（x2，n）两点，其中0＜x1＜3＜x2，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若x1（6-x2）>0时，则（m-c）（n-c）<0
B．若x1（6-x2）<0时，则（m-c）（n-c）<0
C．若（6-x1）（6-x2）>0时，则（m-c）（n-c）>0
D．若（6-x1）（6-x2）<0时，则（m-c）（n-c）<0
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函对称轴为直线故x=3时，y取得最小值，
当x=0时得到y=c，根据图象的对称性可得x=6时，y=c，
因为则m可得则在对称轴右侧，对应的函数值n0，不正确；
可得则在对称轴右侧，对应的函数值n>c，则((m-c)(n-c)<0，正确；
因为则可得则在对称轴右侧，对应的函数值n0，不正确；
因为则可得则在对称轴右侧，对应的函数值n>c，则(m-c)(n-c)<0，不正确
故答案为：B.
【分析】由二次函数(a≠0)的对称轴为直线时得到y=c，根据图象的对称性可得x=6时，y=c，对称轴左侧y随着x的增大而减小，对称轴右侧y随着x的增大而增大，
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·萧山月考）已知⊙O的直径为8，若OA=5，则点A与⊙O的位置关系是　 　.
【答案】点A在圆外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，圆的半径r=4.
因为OA=4，即d>r，
故点A与⊙O的位置关系是：点A在圆外.
故答案为：点A在圆外.
【分析】根据dr，则点在圆外，进而判断即可.
12．（2025九上·萧山月考）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线，
向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
得到
即
故答案为：．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
13．（2025九上·萧山月考）甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵甲去景区有三种情况，乙去景区 也三种情况，
∴甲乙共有3×3=9种情况，
∵二人恰好选择同一景区的情况是三种，
∴二人恰好选择同一景区的情况概率为：.
故答案为：.
【分析】先求出甲乙一共去景区的情况，再求出二人去同一景区的情况，用同一景区情况除以总情况即可求出概率.
14．（2025九上·萧山月考）已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，则AB和CD的距离为　 　.
【答案】2cm或14cm
【知识点】勾股定理；垂径定理；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)AB，CD在圆心的同侧如图 (一) ， 连接OD，OB， 过O作AB的垂线交CD、AB于E， F，
根据垂径定理得
在 中，OD=10cm，ED=8cm，
由勾股定理得 6(cm)，
在 中，OB=10cm，FB=6cm，
则O
AB和CD的距离是OF-OE=8-6=2(cm)；
(2)AB， CD在圆心的异侧如图 (二) ， 连接OD，OB， 过O作AB的垂线交CD、AB于E， F，
根据垂径定理得
在 中，OD=10cm，ED=8cm，由勾股定理得 6(cm)，
在 中，OB=10cm，FB=6cm，则O AB和CD的距离是OF+OE=6+8=14(cm)
AB和CD的距离是2cm或14cm.
故答案为：2cm或14cm.
【分析】分为 AB， CD在圆心的同侧或AB， CD在圆心的异侧两种情况画图，根据垂径定理和勾股定理解答即可.
15．（2025九上·萧山月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx（m<0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC=AO，若，则k=　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：A，B两点的坐标关于原点对称，
是等腰三角形，
过点A作 于点D，根据等腰三角形的三线合一可得(CD=CO，
∵反比例函数的图形位于二、四象限，
故答案为：
【分析】根据正比例函数和反比例函数交于A、B两点，得出A，B两点的坐标关于原点对称，过点A作 于点D，由等腰三角形的性质可得 进而求出k的值.
16．（2025九上·萧山月考）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AB上一点，AM=1，将△ADM沿DM翻折至△EDM，延长ME，CB交于点N，则BN=　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连结DB， EB， 过点N作NG⊥AB交AB于点G，
∵在菱形ABCD中， AB= AD， ∠A =60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD = BD， ∠ABD =∠CBD=60°，由折叠的性质得： AD=ED， ∠MED=∠A=60°AM = EM = 1，
∴ED=BD， ∠DEN =∠DBN =120°，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠NEB=∠NBE，
∴ EN = BN，
在 中，
∴可设BG=x，则EN=BN=2x，
∴在 中，MN=1+2x，MG=2-x，
根据勾股定理得：
即
解得：
故答案为：
【分析】连结DB， EB， 过点N作. 交AB于点G，证明 是等边三角形，再结合折叠的性质可得 从而得到，进而得到EN=BN，在R 中，根据直角三角形的性质可设BG=x， 则EN=BN=2x，然后在 中，根据勾股定理求出x的值即可.
三、全面答一答（本题有8个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（2025九上·萧山月考）
（1）解一元一次方程：4x-1=2x+5.
（2）解不等式：
【答案】（1）解：移项得：4x-2x=5+1
合并同类项得：2x=6
系数化为1得x=3；
（2）解：x-5+2>2x-6
x-2x>-6+5-2
-x>-3
x<3
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用移项，合并同类项，系数化为1解一元一次方程即可；
（2）根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1解一元一次不等式即可.
18．（2025九上·萧山月考）已知：如图，AB∥CD，AD交BC于点O，EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，且AE=DF．求证：O是EF的中点．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AOE和△DOF中，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴OE=OF，
∴O是EF的中点．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用平行线的性质说明∠A=∠D，结合其他条件，可利用AAS证明△AOE≌△DOF，从而有OE=OF，即有O是EF的中点成立.
19．（2025九上·萧山月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：盒子中球的个数为： (个) ，
答：盒子中球的个数为15个；
（2）解：黑球个数为：15-3-5=7；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为：
（3）解：不能，理由为：
若把白球全部拿走， 任意摸出一个球是红球的概率为，
故不能只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为.
【知识点】概率公式
【解析】【分析】(1)利用白球5个即可求出总数；
(2)求出黑球个数后，直接利用概率公式得出答案；
(3)计算白球全部拿走的概率解答即可.
20．（2025九上·萧山月考）如图，在直角坐标系中，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，0）.
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，连接AM，BM，求四边形AOBM的面积.
【答案】（1）解：当.x=0时， 则A(0，4)，当y=0时， 解得x=8，则B(8，0)，设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8)，把A(0，4)代入得解得
∴抛物线解析式为 即
（2）解：
作 轴于D，
四边形AOBM 的面积
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先根据直线的解析式求出点A和B的坐标，然后利用交点式求出抛物线的解析式即可；
（2）配方得到顶点M的坐标，过M点作 轴于D，然后根据AOBM 的面积 解答即可.
21．（2025九上·萧山月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高线AD上.
（1）求证：△ABC是等腰三角形
（2）若AB=10，BC=12，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）解：如图，连接OB .
∵AD是 的高.
在 中，
设圆的半径是 R.
则OD=8-R.
在 中，根据勾股定理可以得到：
解得：
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到BD=CD，然后根据垂直平分线的性质得到结论即可；
（2）连接OB，根据垂径定理首先求得BD的长，根据勾股定理求得AD的长，可以设出圆的半径，在直角三角形OBD中，利用勾股定理即可列方程求得半径.
22．（2025九上·萧山月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A出发，沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动。据此解答下列问题：
（1）运动开始第几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S关于t的函数表达式，并指出自变量的取值范围。
（3）求出当s≥68时t的取值范围。
【答案】（1）解：当运动时间为t秒时，则.AP=tcm，BP=(6-t)cm，BQ=2tcm，CQ=(12-2t)cm依题意得：
整理得：
解得：
∴运动开始后第2或4秒， 的面积等于
（2）解：根据题意可知：五边形APQCD的面积=矩形面积- 的面积，
(0≤t≤6)，
∴S与t之间的函数表达式为 自变量的取值范围是(0≤t≤6)；
（3）解：令S=68，则，解得t=3±，
∵开口向上，
∴离对称轴越远，S的值越大，
即当0≤t≤3-或3+≤t≤6时， s≥68.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)当运动时间为t秒时，则AP=tcm，BP=(6-t)cm，BQ=2tcm，CQ=(12-2t)cm根据题意即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
(2)根据题意可知：五边形APQCD的面积=矩形面积- 的面积，然后利用面积公式即可写出S与t之间的函数表达式，进而得到自变量的取值范围；
(3)令S=68，即可得到，求出t的值，然后根据二次函数的开口方向和增减性解答即可.
23．（2025九上·萧山月考）已知二次函数
（1）证明这个二次函数的图象经过点（1，0）
（2）点（x1，y1），（x2，y2）在这个二次函数图象上，当时，都有，求a的取值范围。
（3）关于x不等式有且只有一个整数解时，直接写出a的取值范围。
【答案】（1）解：将x=1代入二次函数 中，可得： =0
所以，这个二次函数的图象经过点(1，0)；
（2）解：
二次函数的对称轴为
因为当 时，都有 所以函数在 时y随x的增大而增大，
因此，对称轴 解得a≤2
（3）解：不等式 可化为(x-1)(x-a)<0，
当a>1时，不等式的解集为1因为不等式有且只有一个整数解，所以当a>1时，2综上，a的取值范围是-1≤a<0或2【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把x=1代入函数解析式求出y的值即可；
（2）将二次函数配方为顶点式，即可得到对称轴为直线，然后根据二次函数的性质得到不等式解答即可；
（3）不等式化为(x-1)(x-a)<0，然后分为a>1或a<1求出解集，然后根据整数解的个数求出a的取值范围即可.
24．（2025九上·萧山月考）如图1，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E.交AB的延长线于点F
（1）求证：BE=BF；
（2）如图2，若G是EF的中点，连接AG、CG、AC，请判断△AGC的形状，并说明理由.
（3）如图3，作∠BED的角平分线EH交AB于点H，已知，BH=2AH=k，求BC的长.（用含k的代数式表示）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD， AD∥BC，
∴∠F=∠CDF， ∠ADF=∠BEF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADF，
∴∠F=∠BEF，
∴BE=BF；
（2）解：△AGC为等腰直角三角形，理由如下：如图，连接BG，
由 (1) 可知.BE=BF，且
∵G为EF中点，
在 和 中，
∴△AGF≌△CGB (SAS) ，
∴AG=CG， ∠AGF=∠BGC，
∴∠BGF+∠AGB=∠AGB+∠AGC，
∴∠AGC=∠BGF=90°，
∴△AGC为等腰直角三角形；
（3）解：如图， 在BH上截取BN=BE， 连接NE，
∵ BH=2AH=k，
∴AH=， BH=k，AB=，
∵∠BEF=45°，
∴∠BED=135°，
∵EH平分∠BED，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由矩形的性质结合角平分线的定义可证得∠ADF=∠BEF=∠CDF=∠F， 可证明BE=BF；
(2) 连接BG， 由“SAS”可证△AGF≌△CGB， 可AG=CG， 进一步可证明∠AGC=90°， 可判定△AGC为等腰直角三角形；
(3) 在BH上截取BN=BE， 连接NE， 由等腰三角形的性质可求 可求BN的长，即可求解.
1 / 1浙江省杭州市萧山区高桥初中教育集团2025-2026学年九年级上学期数学10月月考试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个是正确的.
1．（2025九上·萧山月考）－2的绝对值是（　　）
A．2 B．－2 　　 C．　 D．－
2．（2025九上·萧山月考）抛掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数最有可能为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·萧山月考）在二次根式 中，字母x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
4．（2025九上·萧山月考）把分解因式，结果正确的是（　　）
A． B．
C．2（a+2）（a-2） D．2（a+2）2
5．（2025九上·萧山月考）小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　）
A．① B．② C．③ D．均不可能
6．（2025九上·萧山月考）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面AB=48cm，则水的最大深度为（　　）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
7．（2025九上·萧山月考）二次函数的图象与x轴的一个交点是（3，0），则关于x的一元二次方程的一个解×1=3，另一个解×2=（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
8．（2025九上·萧山月考）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　）
A．115° B．120° C．130° D．140°
9．（2025九上·萧山月考）如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（　　）
①；②；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2025九上·萧山月考）二次函数的图象过A（x1，m），B（x2，n）两点，其中0＜x1＜3＜x2，则下列说法一定正确的是（　　）
A．若x1（6-x2）>0时，则（m-c）（n-c）<0
B．若x1（6-x2）<0时，则（m-c）（n-c）<0
C．若（6-x1）（6-x2）>0时，则（m-c）（n-c）>0
D．若（6-x1）（6-x2）<0时，则（m-c）（n-c）<0
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·萧山月考）已知⊙O的直径为8，若OA=5，则点A与⊙O的位置关系是　 　.
12．（2025九上·萧山月考）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　 　．
13．（2025九上·萧山月考）甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 　 　．
14．（2025九上·萧山月考）已知⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，则AB和CD的距离为　 　.
15．（2025九上·萧山月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx（m<0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC=AO，若，则k=　 　.
16．（2025九上·萧山月考）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AB上一点，AM=1，将△ADM沿DM翻折至△EDM，延长ME，CB交于点N，则BN=　 　.
三、全面答一答（本题有8个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17．（2025九上·萧山月考）
（1）解一元一次方程：4x-1=2x+5.
（2）解不等式：
18．（2025九上·萧山月考）已知：如图，AB∥CD，AD交BC于点O，EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，且AE=DF．求证：O是EF的中点．
19．（2025九上·萧山月考）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是
（1）求盒子中黑球的个数；
（2）求任意摸出一个球是黑球的概率；
（3）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由.
20．（2025九上·萧山月考）如图，在直角坐标系中，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，0）.
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，连接AM，BM，求四边形AOBM的面积.
21．（2025九上·萧山月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高线AD上.
（1）求证：△ABC是等腰三角形
（2）若AB=10，BC=12，求⊙O的半径.
22．（2025九上·萧山月考）如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A出发，沿边AB向点B以1厘米/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后就停止移动。据此解答下列问题：
（1）运动开始第几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米
（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S关于t的函数表达式，并指出自变量的取值范围。
（3）求出当s≥68时t的取值范围。
23．（2025九上·萧山月考）已知二次函数
（1）证明这个二次函数的图象经过点（1，0）
（2）点（x1，y1），（x2，y2）在这个二次函数图象上，当时，都有，求a的取值范围。
（3）关于x不等式有且只有一个整数解时，直接写出a的取值范围。
24．（2025九上·萧山月考）如图1，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E.交AB的延长线于点F
（1）求证：BE=BF；
（2）如图2，若G是EF的中点，连接AG、CG、AC，请判断△AGC的形状，并说明理由.
（3）如图3，作∠BED的角平分线EH交AB于点H，已知，BH=2AH=k，求BC的长.（用含k的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值的定义，可直接得出-2的绝对值．
【解答】|-2|=2，
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单．
2．【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币 次，正面朝上的次数最有可能为 次。
故答案为：C。
【分析】抛掷一枚质地均匀的硬币只会出现正面朝上与反面朝上两种情况，根据概率的计算方法可知出现正面朝上的概率是0.5，从而即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选C．
【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C.
【分析】先提取公因式2，然后利用平方差公式因式分解即可.
5．【答案】A
【知识点】确定圆的条件
【解析】【解答】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故答案为：A．
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作 于D， 交⊙O于E， 连接OA，
由垂径定理得：
∵⊙O的直径为52cm，
在 中，由勾股定理得：
∴油的最大深度为16cm，
故答案为：C.
【分析】过点O作 于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为52cm，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度DE的长.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得
解得
故答案为：B.
【分析】直接利用根与系数的关系求解.
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图.
∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，∴∠B'=∠B=90°，∠BFE=∠EFB'，
∵∠2=40°，
∴∠B'GF=∠2=40°，
∵∠B'GF+∠B'FG=90°，
∴40°+∠B'FG=90°，解得∠GFB'=50°，
∵∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，
∴∠1+∠1﹣50°=180°，
解得：∠1=115°.
故答案为：A．
【分析】先求出∠B'GF，再利用直角三角形的两个锐角互余求出∠B'FG，再根据∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，求出∠1.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故③正确；
∵抛物线对称轴是直线，
∴，
∴，故②正确；
当时，，故④正确；
综上，正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【分析】
①观察图象知抛物线的对称轴在y轴右侧，则a、b异号；由抛物线交y轴于正半轴知c>0，则；
②由对称轴为直线得， 即；
③由抛物线与x轴有两个交点，则；
④由于抛物线与x负半轴的交点的横坐标介于和之间，且在对称轴的左侧y随x增大而增大，则当时．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函对称轴为直线故x=3时，y取得最小值，
当x=0时得到y=c，根据图象的对称性可得x=6时，y=c，
因为则m可得则在对称轴右侧，对应的函数值n0，不正确；
可得则在对称轴右侧，对应的函数值n>c，则((m-c)(n-c)<0，正确；
因为则可得则在对称轴右侧，对应的函数值n0，不正确；
因为则可得则在对称轴右侧，对应的函数值n>c，则(m-c)(n-c)<0，不正确
故答案为：B.
【分析】由二次函数(a≠0)的对称轴为直线时得到y=c，根据图象的对称性可得x=6时，y=c，对称轴左侧y随着x的增大而减小，对称轴右侧y随着x的增大而增大，
11．【答案】点A在圆外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，圆的半径r=4.
因为OA=4，即d>r，
故点A与⊙O的位置关系是：点A在圆外.
故答案为：点A在圆外.
【分析】根据dr，则点在圆外，进而判断即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线，
向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
得到
即
故答案为：．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵甲去景区有三种情况，乙去景区 也三种情况，
∴甲乙共有3×3=9种情况，
∵二人恰好选择同一景区的情况是三种，
∴二人恰好选择同一景区的情况概率为：.
故答案为：.
【分析】先求出甲乙一共去景区的情况，再求出二人去同一景区的情况，用同一景区情况除以总情况即可求出概率.
14．【答案】2cm或14cm
【知识点】勾股定理；垂径定理；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)AB，CD在圆心的同侧如图 (一) ， 连接OD，OB， 过O作AB的垂线交CD、AB于E， F，
根据垂径定理得
在 中，OD=10cm，ED=8cm，
由勾股定理得 6(cm)，
在 中，OB=10cm，FB=6cm，
则O
AB和CD的距离是OF-OE=8-6=2(cm)；
(2)AB， CD在圆心的异侧如图 (二) ， 连接OD，OB， 过O作AB的垂线交CD、AB于E， F，
根据垂径定理得
在 中，OD=10cm，ED=8cm，由勾股定理得 6(cm)，
在 中，OB=10cm，FB=6cm，则O AB和CD的距离是OF+OE=6+8=14(cm)
AB和CD的距离是2cm或14cm.
故答案为：2cm或14cm.
【分析】分为 AB， CD在圆心的同侧或AB， CD在圆心的异侧两种情况画图，根据垂径定理和勾股定理解答即可.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：A，B两点的坐标关于原点对称，
是等腰三角形，
过点A作 于点D，根据等腰三角形的三线合一可得(CD=CO，
∵反比例函数的图形位于二、四象限，
故答案为：
【分析】根据正比例函数和反比例函数交于A、B两点，得出A，B两点的坐标关于原点对称，过点A作 于点D，由等腰三角形的性质可得 进而求出k的值.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连结DB， EB， 过点N作NG⊥AB交AB于点G，
∵在菱形ABCD中， AB= AD， ∠A =60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD = BD， ∠ABD =∠CBD=60°，由折叠的性质得： AD=ED， ∠MED=∠A=60°AM = EM = 1，
∴ED=BD， ∠DEN =∠DBN =120°，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠NEB=∠NBE，
∴ EN = BN，
在 中，
∴可设BG=x，则EN=BN=2x，
∴在 中，MN=1+2x，MG=2-x，
根据勾股定理得：
即
解得：
故答案为：
【分析】连结DB， EB， 过点N作. 交AB于点G，证明 是等边三角形，再结合折叠的性质可得 从而得到，进而得到EN=BN，在R 中，根据直角三角形的性质可设BG=x， 则EN=BN=2x，然后在 中，根据勾股定理求出x的值即可.
17．【答案】（1）解：移项得：4x-2x=5+1
合并同类项得：2x=6
系数化为1得x=3；
（2）解：x-5+2>2x-6
x-2x>-6+5-2
-x>-3
x<3
【知识点】解一元一次不等式；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用移项，合并同类项，系数化为1解一元一次方程即可；
（2）根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1解一元一次不等式即可.
18．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AOE和△DOF中，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴OE=OF，
∴O是EF的中点．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】利用平行线的性质说明∠A=∠D，结合其他条件，可利用AAS证明△AOE≌△DOF，从而有OE=OF，即有O是EF的中点成立.
19．【答案】（1）解：盒子中球的个数为： (个) ，
答：盒子中球的个数为15个；
（2）解：黑球个数为：15-3-5=7；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为：
（3）解：不能，理由为：
若把白球全部拿走， 任意摸出一个球是红球的概率为，
故不能只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为.
【知识点】概率公式
【解析】【分析】(1)利用白球5个即可求出总数；
(2)求出黑球个数后，直接利用概率公式得出答案；
(3)计算白球全部拿走的概率解答即可.
20．【答案】（1）解：当.x=0时， 则A(0，4)，当y=0时， 解得x=8，则B(8，0)，设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8)，把A(0，4)代入得解得
∴抛物线解析式为 即
（2）解：
作 轴于D，
四边形AOBM 的面积
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先根据直线的解析式求出点A和B的坐标，然后利用交点式求出抛物线的解析式即可；
（2）配方得到顶点M的坐标，过M点作 轴于D，然后根据AOBM 的面积 解答即可.
21．【答案】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）解：如图，连接OB .
∵AD是 的高.
在 中，
设圆的半径是 R.
则OD=8-R.
在 中，根据勾股定理可以得到：
解得：
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到BD=CD，然后根据垂直平分线的性质得到结论即可；
（2）连接OB，根据垂径定理首先求得BD的长，根据勾股定理求得AD的长，可以设出圆的半径，在直角三角形OBD中，利用勾股定理即可列方程求得半径.
22．【答案】（1）解：当运动时间为t秒时，则.AP=tcm，BP=(6-t)cm，BQ=2tcm，CQ=(12-2t)cm依题意得：
整理得：
解得：
∴运动开始后第2或4秒， 的面积等于
（2）解：根据题意可知：五边形APQCD的面积=矩形面积- 的面积，
(0≤t≤6)，
∴S与t之间的函数表达式为 自变量的取值范围是(0≤t≤6)；
（3）解：令S=68，则，解得t=3±，
∵开口向上，
∴离对称轴越远，S的值越大，
即当0≤t≤3-或3+≤t≤6时， s≥68.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)当运动时间为t秒时，则AP=tcm，BP=(6-t)cm，BQ=2tcm，CQ=(12-2t)cm根据题意即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
(2)根据题意可知：五边形APQCD的面积=矩形面积- 的面积，然后利用面积公式即可写出S与t之间的函数表达式，进而得到自变量的取值范围；
(3)令S=68，即可得到，求出t的值，然后根据二次函数的开口方向和增减性解答即可.
23．【答案】（1）解：将x=1代入二次函数 中，可得： =0
所以，这个二次函数的图象经过点(1，0)；
（2）解：
二次函数的对称轴为
因为当 时，都有 所以函数在 时y随x的增大而增大，
因此，对称轴 解得a≤2
（3）解：不等式 可化为(x-1)(x-a)<0，
当a>1时，不等式的解集为1因为不等式有且只有一个整数解，所以当a>1时，2综上，a的取值范围是-1≤a<0或2【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把x=1代入函数解析式求出y的值即可；
（2）将二次函数配方为顶点式，即可得到对称轴为直线，然后根据二次函数的性质得到不等式解答即可；
（3）不等式化为(x-1)(x-a)<0，然后分为a>1或a<1求出解集，然后根据整数解的个数求出a的取值范围即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD， AD∥BC，
∴∠F=∠CDF， ∠ADF=∠BEF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF=∠ADF，
∴∠F=∠BEF，
∴BE=BF；
（2）解：△AGC为等腰直角三角形，理由如下：如图，连接BG，
由 (1) 可知.BE=BF，且
∵G为EF中点，
在 和 中，
∴△AGF≌△CGB (SAS) ，
∴AG=CG， ∠AGF=∠BGC，
∴∠BGF+∠AGB=∠AGB+∠AGC，
∴∠AGC=∠BGF=90°，
∴△AGC为等腰直角三角形；
（3）解：如图， 在BH上截取BN=BE， 连接NE，
∵ BH=2AH=k，
∴AH=， BH=k，AB=，
∵∠BEF=45°，
∴∠BED=135°，
∵EH平分∠BED，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由矩形的性质结合角平分线的定义可证得∠ADF=∠BEF=∠CDF=∠F， 可证明BE=BF；
(2) 连接BG， 由“SAS”可证△AGF≌△CGB， 可AG=CG， 进一步可证明∠AGC=90°， 可判定△AGC为等腰直角三角形；
(3) 在BH上截取BN=BE， 连接NE， 由等腰三角形的性质可求 可求BN的长，即可求解.
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