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浙江省杭州市之江实验中学2025-2026学年九年级上学期数学10月月考试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分.每题只有一个正确答案）
1．（2025九上·杭州月考）若气象部门预报，明天下雨的概率是10%，下列说法正确的是（　　）
A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨
C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小
【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：明天下雨的概率是10%，说明明天下雨的可能性比较小，但也可能下雨，也可能不下雨，
因此选项D符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用概率的意义结合具体的选项进行判断即可.
2．（2025九上·杭州月考）已知点A是⊙O外一点，且OA=2，则⊙O的半径可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A是⊙O外一点，且OA=2，
∴⊙O的半径小于2，
观察四个选项，选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据d>r，点在圆外进行判断.
3．（2025九上·杭州月考）抛物线与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，1） B．（0，3） C．（-3，1） D．（0，10）
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y =9+1=10，
∴与y轴的交点坐标为(0，10），
故答案为：D.
【分析】令x=0，求出y的值解答即可.
4．（2025九上·杭州月考）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　）
A．y=240（1-2x） B．y=240（1+2x）
C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设两次的平均降价率为x，根据题意得，y=240
故答案为：C.
【分析】设两次的平均降价率为x，根据增长率问题，得出函数关系式即可求解.
5．（2025九上·杭州月考）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为：
2
=25÷60
故答案为：B.
【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，解答即可.
6．（2025九上·杭州月考）抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（　　）
A．y=（x-2）2+2 B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(0，1)， 把点(0，1)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的对应点的坐标为(-2，0)，所 以所得抛物线的函数关系式
故答案为： B.
【分析】先利用顶点式得到抛物线 的顶点坐标为(0，1)，再利用点平移的规律得到点(0，1)平移后的对应点的坐标为(-2，0)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.
7．（2025九上·杭州月考）函数y＝ax2+1和y＝ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵y＝ax2+1，
∴二次函数y＝ax2+1的图象的顶点为（0，1），故A、B不符合题意；
当y＝ax+a＝0时，x＝﹣1，
∴一次函数y＝ax+a的图象过点（﹣1，0），故C不符题意，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据二次函数函数，一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
8．（2025九上·杭州月考）二次函数自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（　　）
x …… -5 -4 -3 -2 -1 0 ……
y …… 4.9 0.06 -2 -2 0.06 4.9 ……
A．抛物线的开口向下 B．当x>-3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最大值是4.9 D．抛物线的对称轴是直线
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由数据可得：当x=-3和-2时，对应y的值相等，故函数的对称轴为：直线 且数据从x=-5到-3对应的y值不断减小，
故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，x> 时，y随x的增大而增大.
故选项A，B，C都错误，只有选项D正确.
故答案为：D.
【分析】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴，进而得出答案.
9．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=a（x-2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1-2|>|x2-2|，则下列表达式正确的是（　　）
A．y1-y2<0 B．y1-y2>0
C．a（y1-y2）>0 D．a（y1-y2）<0
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①a>0时，二次函数图象开口向上，
无法确定 的正负情况，
②a<0时，二次函数图象开口向下，
无法确定 的正负情况，
综上所述，表达式正确的是
故答案为：C.
【分析】分a>0和a<0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解.
10．（2025九上·杭州月考）已知点M（m-2，n）在二次函数的图象（如图所示）上，当x=m时，y<0；则关于n的不等式成立的是（　　）
A．n<0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设抛物线于与x轴的两交点横坐标为
∵抛物线的对称轴
∴根据函数图象可知，
时，y<0，
时，
根据图象可知：当x<1时，y随x的增大而减小，
时，函数值
故答案为：C.
【分析】由题意抛物线的对称轴x=1，根据图象与x轴的交点位置，得出-2二、填空题（每题3分，共6题）
11．（2025九上·杭州月考）某商店对一种名牌衬衫抽测结果如下表：
抽检件数 10 20 100 300 1000 3000
不合格件数 0 1 　 10 31 90
如果仓库中有10000件该名牌衬衫，估计有　 　件合格品
【答案】9700
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据表格可得抽到不合格的概率约为
∴不合格的件数为10000×0.03=300(件)，
∴合格的件数为：10000-300=9700，
故答案为： 9700.
【分析】求出抽取件数不合格的概率，用样本估计总体即可得出10000件产品不合格的件数，再由总数减去不合格的数量即可.
12．（2025九上·杭州月考）△ABC内接于⊙O，若AB=6，AC=8，BC=10，则⊙O的半径是　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：
则 的外接圆半径长为
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理的逆定理知该三角形是直角三角形，则该三角形的外接圆的半径即为其斜边的一半.
13．（2025九上·杭州月考）小袁同学连续抛掷一枚质地均匀的硬币20次得到这样的结果：反反正正反反反反正正反正反反反反反正正正，请问小袁同学第21次抛掷这枚硬币，正面向上的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵抛一枚硬币可能的结果有正面向上和反面向上2种，
∴第21次抛掷这枚硬币，正面向上的概率是
故答案为：.
【分析】根据概率的定义计算即可.
14．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=-2（x-m）（x-2+m），当x≤1时，y随着x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）.
【答案】减小
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：令y=0，则 -2(x-m)(x-2+m)=0，
解得x=m或x=2-m，
∴抛物线与x轴交于点(m，0)，(2-m，0)，
∴对称轴为直线x=，
∵开口向下，
∴当 x≤1时，y随着x的增大而减小，
故答案为： 减小.
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，然后得到抛物线的对称轴为直线x=1，在然后根据二次函数的增减性解答即可.
15．（2025九上·杭州月考）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“笑口线”.抛物线与抛物线组成一个如图所示的“笑口线”，则　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 ∵抛物线 与抛物线 x+c组成一个如图所示的“月牙线”，
∴两条抛物线与x轴有相同的交点，
当y=0时，
∴
故答案为：.
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后代入得到方程组，求出c=-3a，然后求比值即可.
16．（2025九上·杭州月考）二次函数的图象如图所示，顶点坐标是（1，t）现有下列结论：
①b+2a=0；②关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；③且x1≠x2，则；④.其中正确的结论有　 　.
【答案】①②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=，
∴b=-2a，则2a+b=0，故①正确；
令y=t-1∵开口向下，顶点坐标为(1，t)，
∴直线y=t-1与抛物线 有两个交点，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，故正确；
∵a≠0， x1≠x2，
∴ ，故③正确；
∵开口向下，
∴a<0，
抛物线与x轴交点在正半轴，
∴c>0，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④.
【分析】根据对称轴为直线x=1得到b=-2a即可判断①；令y=t-1三、解答题
17．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=2x2+bx+c经过点A（1，0）和点B（-3，0），求二次函数的解析式和最值
【答案】解：二次函数的解析式为y=-2(x-1)(x+3)=-2x2-4x+6，
y=-2x2-4x+6=-2(x-1)2+8，
∴二次函数的最值为8.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】根据交点式求出二次函数的解析式，然后配方得到顶点坐标即可.
18．（2025九上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）.
（1）圆心M的坐标为　 　；
（2）求⊙M的半径.
【答案】（1）(2，0)
（2）解：∵A(0，4)，M(2，0)，
即⊙M的半径为： .
【知识点】确定圆的条件；垂径定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】(1) 如图，
圆心M的坐标为(2，0)；
故答案为：(2，0)；
【分析】(1)利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，从而得到点M的坐标；
(2)利用两点间的距离公式计算出MA即可；
19．（2025九上·杭州月考）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂：遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色.现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水A、白醋溶液B、食用碱溶液C、柠檬水溶液D，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体.
（1）小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是　 　；
（2）小莉先取一个烧杯，滴入石蕊试剂，不放回再取出一个烧杯，再滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D)
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中一杯变红、一杯变蓝的结果数有4种，
∴一杯变红、一杯变蓝的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】(1)解：∵一共有四瓶液体，其中能使紫色石蕊试剂变蓝的液体有一瓶，且每瓶液体被选择的概率相同，
∴小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接根据概率计算公式求解即可；
(2)先两边得到所有等可能性的结果数，再找到一杯变红、一杯变蓝的结果数，最后根据概率计算公式求解即可.
20．（2025九上·杭州月考）掷实心球是杭州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据杭州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由.
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为 把 代入解析式，
得 解得
（2）解：该女生在此项考试中是得满分.
理由：令y=0，即 解得 (舍去)。
∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m， 大于6.70m.
∴该女生在此项考试中是得满分.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可.
21．（2025九上·杭州月考）阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.
（1）圆的标准方程则它的圆心是　 　，半径是 .
（2）圆心为C（-3，4），半径为2的圆的标准方程为： 　 　；
（3）若已知⊙C的标准方程为：圆心为C，请判断点A（3，-1）与⊙C的位置关系并说明理由.
【答案】（1）（1，2）；5
（2）
（3）解：由题意圆心为C(2，0)，
∴点A在⊙C内部.
【知识点】圆的相关概念；点与圆的位置关系；确定圆的条件；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1） 圆的标准方程则它的圆心是(1，2)，半径是5，
故答案为：（1，2）；5；
(2)圆心为C(3，4)，半径为2的圆的标准方程为：
故答案为： ；
【分析】(1)根据阅读材料知识解答即可；
(2)根据圆的标准方程的定义求解即可.
(3)得到圆心坐标和圆的半径，求出AC的长，可得结论.
22．（2025九上·杭州月考）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2=-x+b的图象交于A，C两点.
（1）求b的值；
（2）求点C坐标并求出△ABC的面积；
（3）根据图象，直接写出当y1>y2时x的取值范围.
【答案】（1）解：当 时，
解得：
∴抛物线与x轴交于A(-1，0)， B(3，0).
∵直线经过A点，
（2）解：由 (1) 知
联立得：
l(舍)，x=2，
把x=2代入y=-x-1，得y=-3，
（3）解：当x < - 1或ax>2时，抛物线在直线的上方，
∴当 时，x<-1或x>2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)根据函数与方程的关系，当 时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值；
(2)先求两个函数的交点C的坐标，把 代入 中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可；
(3)根据A(-1，0)，C(2，-3)，结合图象，即可确定x的取值范围.
23．（2025九上·杭州月考）已知二次函数
（1）若a=4，求函数的对称轴和顶点坐标.
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值.
（3）若抛物线过点（-1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（m，n），B（2-m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p>-8.
【答案】（1）解：
∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线：x=3，(3，0)；
（2）解：函数图象向下平移一个单位得 +2a+1-1，
与x轴只有一个交点，
解方程得：a=2；
（3）解：∵抛物线过点 且对于抛物线上任意一点 都有
为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为：x=-1，
∴抛物线为：
)在抛物线上，
-7，
-7，
是这条抛物线上不同的两点，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)将a=4代入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案；
(2)根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与x轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案；
(3)由题意可得 为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为x=-1，从而计算出a的值，再将A(m，n)，B(2-m，p)代入如抛物线的解析式得到 即可得到答案.
24．（2025九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数（h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF=6时，我们称点P是该二次函数图象的T~6生长点.
（1）二次函数的图象如图所示.
①当请说明该函数图象是否有T~6生长点.
②已知P（m，n）是该函数图象的T~6生长点，则n的取值范围是　 　.
（2）已知二次函数（h为常数），若P（3，5）是该函数图象的T~6生长点，求h的值.
【答案】（1）解：①当时，∴当点P在线段EF上时，PE+PF=EF=6，满足题意；当该函数图象是否有T~6生长点 ；②
（2）解：∵二次函数 (h、k为常数)的图象经过点(6，1)，
∵P(3，5)是该函数图象的T ~6生长点，
当 时，则 (5-k)，
①当点P在线段EF上时，则PE+PF=EF=2
解得
把 代入 得：h=5或h=7，
当h=5时， E(2，5)， F(8，5)， 满足题意；
当h=7时， E(4，5)， F(10，5)，
此时点P不在线段EF上，不符合题意，舍去；
②当点P在点E的左侧时，则PE=h-2(5-k)
把h=6，代入 得：k=1，此时 符合题意；
③当点P在点F的右侧时，则.PE=3-h+
把h=0，代入 得：k=-17
此时 点P不在点F的右侧，不符合题意，舍去；
综上： 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）②∵点P在直线EF上，
由(1)知： 当 时，此时
∴当 时，EF>6，此时直线EF上不存在点P使PE+PF=6，
又∵过点T(0，t)作y轴的垂线与 的图象交于点E， F，
而 的最小值为y=0，
【分析】(1)①把代入，求出EF的长，根据新定义解答即可；
②点P在直线EF上，得到n=t，由①可知 ，再根据y=t与 的图象有2个交点，得到n>0，即可得出结果；
(2)把(6，1)代入函数表达式，得到 k， 令 得到E(h- 分3种情况求解即可.
1 / 1浙江省杭州市之江实验中学2025-2026学年九年级上学期数学10月月考试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分.每题只有一个正确答案）
1．（2025九上·杭州月考）若气象部门预报，明天下雨的概率是10%，下列说法正确的是（　　）
A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨
C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小
2．（2025九上·杭州月考）已知点A是⊙O外一点，且OA=2，则⊙O的半径可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025九上·杭州月考）抛物线与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，1） B．（0，3） C．（-3，1） D．（0，10）
4．（2025九上·杭州月考）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　）
A．y=240（1-2x） B．y=240（1+2x）
C． D．
5．（2025九上·杭州月考）某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·杭州月考）抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为（　　）
A．y=（x-2）2+2 B．
C． D．
7．（2025九上·杭州月考）函数y＝ax2+1和y＝ax+a（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·杭州月考）二次函数自变量x与函数y的对应值如下：说法正确的是（　　）
x …… -5 -4 -3 -2 -1 0 ……
y …… 4.9 0.06 -2 -2 0.06 4.9 ……
A．抛物线的开口向下 B．当x>-3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最大值是4.9 D．抛物线的对称轴是直线
9．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=a（x-2）2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1-2|>|x2-2|，则下列表达式正确的是（　　）
A．y1-y2<0 B．y1-y2>0
C．a（y1-y2）>0 D．a（y1-y2）<0
10．（2025九上·杭州月考）已知点M（m-2，n）在二次函数的图象（如图所示）上，当x=m时，y<0；则关于n的不等式成立的是（　　）
A．n<0 B． C． D．
二、填空题（每题3分，共6题）
11．（2025九上·杭州月考）某商店对一种名牌衬衫抽测结果如下表：
抽检件数 10 20 100 300 1000 3000
不合格件数 0 1 　 10 31 90
如果仓库中有10000件该名牌衬衫，估计有　 　件合格品
12．（2025九上·杭州月考）△ABC内接于⊙O，若AB=6，AC=8，BC=10，则⊙O的半径是　 　.
13．（2025九上·杭州月考）小袁同学连续抛掷一枚质地均匀的硬币20次得到这样的结果：反反正正反反反反正正反正反反反反反正正正，请问小袁同学第21次抛掷这枚硬币，正面向上的概率是　 　.
14．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=-2（x-m）（x-2+m），当x≤1时，y随着x的增大而　 　（填“增大”或“减小”）.
15．（2025九上·杭州月考）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“笑口线”.抛物线与抛物线组成一个如图所示的“笑口线”，则　 　.
16．（2025九上·杭州月考）二次函数的图象如图所示，顶点坐标是（1，t）现有下列结论：
①b+2a=0；②关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；③且x1≠x2，则；④.其中正确的结论有　 　.
三、解答题
17．（2025九上·杭州月考）已知二次函数y=2x2+bx+c经过点A（1，0）和点B（-3，0），求二次函数的解析式和最值
18．（2025九上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）.
（1）圆心M的坐标为　 　；
（2）求⊙M的半径.
19．（2025九上·杭州月考）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂：遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色.现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水A、白醋溶液B、食用碱溶液C、柠檬水溶液D，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体.
（1）小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是　 　；
（2）小莉先取一个烧杯，滴入石蕊试剂，不放回再取出一个烧杯，再滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率.
20．（2025九上·杭州月考）掷实心球是杭州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目.如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据杭州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由.
21．（2025九上·杭州月考）阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.
（1）圆的标准方程则它的圆心是　 　，半径是 .
（2）圆心为C（-3，4），半径为2的圆的标准方程为： 　 　；
（3）若已知⊙C的标准方程为：圆心为C，请判断点A（3，-1）与⊙C的位置关系并说明理由.
22．（2025九上·杭州月考）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2=-x+b的图象交于A，C两点.
（1）求b的值；
（2）求点C坐标并求出△ABC的面积；
（3）根据图象，直接写出当y1>y2时x的取值范围.
23．（2025九上·杭州月考）已知二次函数
（1）若a=4，求函数的对称轴和顶点坐标.
（2）若函数图象向下平移一个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值.
（3）若抛物线过点（-1，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（m，n），B（2-m，p）是这条抛物线上不同的两点，求证：n+p>-8.
24．（2025九上·杭州月考）在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数（h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF=6时，我们称点P是该二次函数图象的T~6生长点.
（1）二次函数的图象如图所示.
①当请说明该函数图象是否有T~6生长点.
②已知P（m，n）是该函数图象的T~6生长点，则n的取值范围是　 　.
（2）已知二次函数（h为常数），若P（3，5）是该函数图象的T~6生长点，求h的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：明天下雨的概率是10%，说明明天下雨的可能性比较小，但也可能下雨，也可能不下雨，
因此选项D符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用概率的意义结合具体的选项进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点A是⊙O外一点，且OA=2，
∴⊙O的半径小于2，
观察四个选项，选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据d>r，点在圆外进行判断.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y =9+1=10，
∴与y轴的交点坐标为(0，10），
故答案为：D.
【分析】令x=0，求出y的值解答即可.
4．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设两次的平均降价率为x，根据题意得，y=240
故答案为：C.
【分析】设两次的平均降价率为x，根据增长率问题，得出函数关系式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为：
2
=25÷60
故答案为：B.
【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，解答即可.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(0，1)， 把点(0，1)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的对应点的坐标为(-2，0)，所 以所得抛物线的函数关系式
故答案为： B.
【分析】先利用顶点式得到抛物线 的顶点坐标为(0，1)，再利用点平移的规律得到点(0，1)平移后的对应点的坐标为(-2，0)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.
7．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵y＝ax2+1，
∴二次函数y＝ax2+1的图象的顶点为（0，1），故A、B不符合题意；
当y＝ax+a＝0时，x＝﹣1，
∴一次函数y＝ax+a的图象过点（﹣1，0），故C不符题意，D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据二次函数函数，一次函数图象与系数的关系即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由数据可得：当x=-3和-2时，对应y的值相等，故函数的对称轴为：直线 且数据从x=-5到-3对应的y值不断减小，
故函数有最小值，没有最大值，则其开口向上，x> 时，y随x的增大而增大.
故选项A，B，C都错误，只有选项D正确.
故答案为：D.
【分析】直接利用表格中数据得出函数的增减性以及对称轴，进而得出答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①a>0时，二次函数图象开口向上，
无法确定 的正负情况，
②a<0时，二次函数图象开口向下，
无法确定 的正负情况，
综上所述，表达式正确的是
故答案为：C.
【分析】分a>0和a<0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设抛物线于与x轴的两交点横坐标为
∵抛物线的对称轴
∴根据函数图象可知，
时，y<0，
时，
根据图象可知：当x<1时，y随x的增大而减小，
时，函数值
故答案为：C.
【分析】由题意抛物线的对称轴x=1，根据图象与x轴的交点位置，得出-211．【答案】9700
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据表格可得抽到不合格的概率约为
∴不合格的件数为10000×0.03=300(件)，
∴合格的件数为：10000-300=9700，
故答案为： 9700.
【分析】求出抽取件数不合格的概率，用样本估计总体即可得出10000件产品不合格的件数，再由总数减去不合格的数量即可.
12．【答案】5
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：
则 的外接圆半径长为
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理的逆定理知该三角形是直角三角形，则该三角形的外接圆的半径即为其斜边的一半.
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵抛一枚硬币可能的结果有正面向上和反面向上2种，
∴第21次抛掷这枚硬币，正面向上的概率是
故答案为：.
【分析】根据概率的定义计算即可.
14．【答案】减小
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：令y=0，则 -2(x-m)(x-2+m)=0，
解得x=m或x=2-m，
∴抛物线与x轴交于点(m，0)，(2-m，0)，
∴对称轴为直线x=，
∵开口向下，
∴当 x≤1时，y随着x的增大而减小，
故答案为： 减小.
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，然后得到抛物线的对称轴为直线x=1，在然后根据二次函数的增减性解答即可.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 ∵抛物线 与抛物线 x+c组成一个如图所示的“月牙线”，
∴两条抛物线与x轴有相同的交点，
当y=0时，
∴
故答案为：.
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后代入得到方程组，求出c=-3a，然后求比值即可.
16．【答案】①②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=，
∴b=-2a，则2a+b=0，故①正确；
令y=t-1∵开口向下，顶点坐标为(1，t)，
∴直线y=t-1与抛物线 有两个交点，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，故正确；
∵a≠0， x1≠x2，
∴ ，故③正确；
∵开口向下，
∴a<0，
抛物线与x轴交点在正半轴，
∴c>0，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④.
【分析】根据对称轴为直线x=1得到b=-2a即可判断①；令y=t-117．【答案】解：二次函数的解析式为y=-2(x-1)(x+3)=-2x2-4x+6，
y=-2x2-4x+6=-2(x-1)2+8，
∴二次函数的最值为8.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】根据交点式求出二次函数的解析式，然后配方得到顶点坐标即可.
18．【答案】（1）(2，0)
（2）解：∵A(0，4)，M(2，0)，
即⊙M的半径为： .
【知识点】确定圆的条件；垂径定理的推论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】(1) 如图，
圆心M的坐标为(2，0)；
故答案为：(2，0)；
【分析】(1)利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，从而得到点M的坐标；
(2)利用两点间的距离公式计算出MA即可；
19．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
A B C D
A (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D)
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中一杯变红、一杯变蓝的结果数有4种，
∴一杯变红、一杯变蓝的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】(1)解：∵一共有四瓶液体，其中能使紫色石蕊试剂变蓝的液体有一瓶，且每瓶液体被选择的概率相同，
∴小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接根据概率计算公式求解即可；
(2)先两边得到所有等可能性的结果数，再找到一杯变红、一杯变蓝的结果数，最后根据概率计算公式求解即可.
20．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为 把 代入解析式，
得 解得
（2）解：该女生在此项考试中是得满分.
理由：令y=0，即 解得 (舍去)。
∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m， 大于6.70m.
∴该女生在此项考试中是得满分.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可.
21．【答案】（1）（1，2）；5
（2）
（3）解：由题意圆心为C(2，0)，
∴点A在⊙C内部.
【知识点】圆的相关概念；点与圆的位置关系；确定圆的条件；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1） 圆的标准方程则它的圆心是(1，2)，半径是5，
故答案为：（1，2）；5；
(2)圆心为C(3，4)，半径为2的圆的标准方程为：
故答案为： ；
【分析】(1)根据阅读材料知识解答即可；
(2)根据圆的标准方程的定义求解即可.
(3)得到圆心坐标和圆的半径，求出AC的长，可得结论.
22．【答案】（1）解：当 时，
解得：
∴抛物线与x轴交于A(-1，0)， B(3，0).
∵直线经过A点，
（2）解：由 (1) 知
联立得：
l(舍)，x=2，
把x=2代入y=-x-1，得y=-3，
（3）解：当x < - 1或ax>2时，抛物线在直线的上方，
∴当 时，x<-1或x>2.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)根据函数与方程的关系，当 时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值；
(2)先求两个函数的交点C的坐标，把 代入 中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可；
(3)根据A(-1，0)，C(2，-3)，结合图象，即可确定x的取值范围.
23．【答案】（1）解：
∴函数的对称轴和顶点坐标分别为：直线：x=3，(3，0)；
（2）解：函数图象向下平移一个单位得 +2a+1-1，
与x轴只有一个交点，
解方程得：a=2；
（3）解：∵抛物线过点 且对于抛物线上任意一点 都有
为抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为：x=-1，
∴抛物线为：
)在抛物线上，
-7，
-7，
是这条抛物线上不同的两点，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)将a=4代入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案；
(2)根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与x轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案；
(3)由题意可得 为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为x=-1，从而计算出a的值，再将A(m，n)，B(2-m，p)代入如抛物线的解析式得到 即可得到答案.
24．【答案】（1）解：①当时，∴当点P在线段EF上时，PE+PF=EF=6，满足题意；当该函数图象是否有T~6生长点 ；②
（2）解：∵二次函数 (h、k为常数)的图象经过点(6，1)，
∵P(3，5)是该函数图象的T ~6生长点，
当 时，则 (5-k)，
①当点P在线段EF上时，则PE+PF=EF=2
解得
把 代入 得：h=5或h=7，
当h=5时， E(2，5)， F(8，5)， 满足题意；
当h=7时， E(4，5)， F(10，5)，
此时点P不在线段EF上，不符合题意，舍去；
②当点P在点E的左侧时，则PE=h-2(5-k)
把h=6，代入 得：k=1，此时 符合题意；
③当点P在点F的右侧时，则.PE=3-h+
把h=0，代入 得：k=-17
此时 点P不在点F的右侧，不符合题意，舍去；
综上： 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）②∵点P在直线EF上，
由(1)知： 当 时，此时
∴当 时，EF>6，此时直线EF上不存在点P使PE+PF=6，
又∵过点T(0，t)作y轴的垂线与 的图象交于点E， F，
而 的最小值为y=0，
【分析】(1)①把代入，求出EF的长，根据新定义解答即可；
②点P在直线EF上，得到n=t，由①可知 ，再根据y=t与 的图象有2个交点，得到n>0，即可得出结果；
(2)把(6，1)代入函数表达式，得到 k， 令 得到E(h- 分3种情况求解即可.
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