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(共39张PPT)
第9讲　一元一次不等式(组)及其应用(3年4考)
1.结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质.
2.能用不等式的性质对不等式进行变形.
3.能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集.
4.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.
5.能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的
问题.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.串题练透考点 a与5的和不小于7.
(1)用不等式表示为　 　;
(2)下列各数是(1)中不等式的解的是( )
A.0 B.1 C.1.5 D.3
(3)下列选项是(1)中不等式的解集的是( )
A.a>2 B.a≥2 C.a<2 D.a≤2
a+5≥7
D
B
知识梳理
知识点一　不等式的相关概念
1.不等式:一般地,指用　 　连接的式子.
2.不等式的解:使不等式成立的未知数的　 　.
3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的　 　的解.
不等号
值
所有
基础对练
2.[人教七下习题改编] a,b都是有理数,已知aA.a+1>b+1
B.1-a<1-b
C.2a<2b
C
3.若关于x的不等式(a-1)x>a-1的解集是x<1,则a的取值范围是( )
A.a>1 B.a<1
C.a≥1 D.a≤1
4.x≤2在数轴上表示正确的是( )
B
C
A B C D
知识梳理
知识点二　不等式的性质
>
>
<
不等式的解集在数轴上的表示:
“>”“<”为空心　　“≥”“≤”为实心
基础对练
6
分母
-3
6
括号
2+3+6
11
同类项
>-11
解:(1)x≥-2　(2)x<4　
解:(3)不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示.
(3)如图所示,把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集为　　　　　;
(5)原不等式组的最大整数解为　　　.
(4)-2≤x<4　(5)3
知识梳理
知识点三　一元一次不等式(组)的解法(高频考点)
1.解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母;(2)　 　;(3)移项;
(4)　 　;(5)系数化为　 　.
2.解一元一次不等式组的一般步骤:
(1)分别求出不等式组中　 　的解集;
(2)将每一个不等式的解集在同一个数轴上表示出来,找出它们的　 　部分;
(3)根据公共部分写出不等式组的解集,如果没有公共部分,那么不等式组
去括号
合并同类项
1
每一个不等式
公共
无解
　 .
基础对练
7.[北师大八下习题改编]某校准备用不超过1 000元购买篮球和足球共15个,其中篮球每个60元,足球每个80元,求最多可购买多少个足球.若设购买足球m个,则可列不等式为( )
A.80m+60(15-m)<1 000
B.80m+60(15-m)≤1 000
C.60m+80(15-m)<1 000
D.60m+80(15-m)≤1 000
B
知识梳理
知识点四　一元一次不等式(组)的应用(高频考点)
列不等式解应用题的步骤:
(1)找出实际问题中的　 　关系;(2)设定未知数,列出不等式(组);(3)解不等式(组);(4)从不等式的解集中求出符合题意的答案.
解决不等式的实际应用问题时,常用关键词与不等号的对比表.
不等
常用关键词 符号
大于,多于,超过,高于 >
小于,少于,不足,低于 <
至少,不低于,不小于,不少于 ≥
至多,不超过,不高于,不大于 ≤
核心考点1　不等式(组)的解法(3年2考)
典例精析
例1 (2025·贵阳二模)用不等式表示图中的解集,下列正确的是( )
A.x>-1 B.x≥-1
C.x<-1 D.x≤-1
B
真题对练
8.(2024·贵州)不等式x<1的解集在数轴上的表示,正确的是( )
C
-2≤a<-1
解:(1)x≤1　(2)x≥-2　
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为　　　　　.
解:(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来,如图所示:
(4)-2≤x≤1
归纳总结
解一元一次不等式组时,先分别解各个不等式,再利用不等式组解集的取法“口诀”或利用数轴写出不等式组的解集
核心考点2　一元一次不等式(组)的应用(3年2考)
典例精析
例3 (2024·贵州)为增强学生的劳动意识,养成劳动的习惯和品质,某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系,计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生,种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生.
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生
(2)种植甲、乙两种作物共10亩,所需学生人数不超过55人,至少种植甲作物多少亩
解:(2)设种植甲作物a亩,则种植乙作物(10-a)亩,
根据题意,得5a+6(10-a)≤55,
解得a≥5.
答:至少种植甲作物5亩.
真题对练
11.(2025·贵州)贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”,这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间.为满足市场需求,某抹茶车间准备安装A,B两种型号生产线.已知同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共
200 t,同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280 t.
(1)一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨
(2)为扩大生产规模,若另一车间准备同时安装相同型号的A,B两种生产线共5条,该车间接到一个订单,要求4个月生产抹茶不少于2 000 t,至少需要安装多少条A型生产线
解:(2)设需要安装m条A型生产线,由题意,得
4[120m+80(5-m)]≥2 000,解得m≥2.5.
∵m为整数,∴m=3.
答:至少需要安装3条A型生产线.
12.(2025·遂宁)为了建设美好家园,提高垃圾分类意识,某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料:
材料一:已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元;购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二:据统计,该社区需购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个,但总费用不超过15 300元,且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的 .
请根据以上材料,完成下列任务:
任务一:求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价.
任务二:有哪几种购买方案
任务三:哪种方案更省钱,最低购买费用是多少元
解得117.5≤a≤120,∵a为整数,
∴a=118或119或120.
∴有三种购买方案:①购买A种型号的新型垃圾桶118个,购买B种型号的新型垃圾桶82个;②购买A种型号的新型垃圾桶119个,购买B种型号的新型垃圾桶81个;③购买A种型号的新型垃圾桶120个,购买B种型号的新型垃圾桶80个.
任务三:∵A种型号的新型垃圾桶价格更低,
∴购买A种型号的新型垃圾桶越多,购买费用越低,即购买A种型号的新型垃圾桶120个,购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱.
∴60×120+100×80=15 200(元).
答:购买A种型号的新型垃圾桶120个,购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱,最低购买费用是15 200元.
C
基础过关
2.(2024·长春)不等关系在生活中广泛存在.如图所示,a,b分别表示两位同学的身高,c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是
( )
A.若a>b,则a+c>b+c
B.若a>b,b>c,则a>c
C.若a>b,c>0,则ac>bc
A
3.(2024·广东)关于x的不等式组中,两个不等式的解集如图所示,则这个不等式组的解集是　 　.
x≥3
m≤3
5.实际情境 (2024·通辽)如图所示,根据机器零件的设计图纸,用不等式表示零件长度L的合格尺寸(L的取值范围)为　 　.
39.99≤L≤40.01
素养培优
7.应用意识 为落实科技兴农政策,某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求,该食品企业将收购的农产品加工成A,B两种等级的农产品对外销售,已知销售6 kg A等级农产品和4 kg B等级农产品共收入112元,销售4 kg A等级农产品和2 kg B等级农产品共收入68元(不考虑加工损耗).
(1)每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元
(2)若该食品企业以每千克8元购进6 000 kg农产品,全部加工后对外销售,要求总利润不低于16 000元,则至少需加工A等级农产品多少千克
解:(2)设需加工A等级农产品m kg,则需加工B等级农产品(6 000-m) kg,
由题意,得(12-8)m+(10-8)(6 000-m)≥16 000.
解得m≥2 000.
答:要求总利润不低于16 000元,则至少需加工A等级农产品2 000 kg.
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第二单元　方程(组)与不等式(组)
第6讲　一次方程(组)及其应用(3年6考)
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程,理解方程的意义.
2.掌握等式的基本性质,能运用等式的性质进行等式的变形,能根据等式的性质解一元一次方程.
3.能根据二元一次方程组的特征,选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组,能解简单的三元一次方程组.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.[北师大七上练习改编] 下列利用等式的基本性质变形错误的是( )
A
知识梳理
知识点一　等式的性质及其应用
1.若a=b,则a±c=b±　 移项.
c
bc
基础对练
(1)其中　 　是方程,　 　是一元一次方程;
(2)若方程⑥的解是x=1,m的值是　 　.
①③④⑤⑥
③⑥
5
①
等号右边的1漏乘了最小
公倍数
6x-2(2x-1)=6+3(x-3)
x=5
知识梳理
知识点二　一元一次方程及其解法
1.方程:含有未知数的　 　.
2.方程的解:能够使方程成立的未知数的值.
3.一元一次方程:含有　 　个未知数,并且含有未知数的项的次数都是
　 　的　 　方程,叫作一元一次方程.
等式
1
1
整式
4.解一元一次方程的步骤及需注意的问题:
(1)去分母:等号两边都乘以所有分母的　 　,不要漏乘不含
　 　的项(整数项或是单独的字母项),去分母时,若分子是多项式应带上　 　;
(2)去括号:括号前是负因数时,去括号后的各项与原括号里的各项的符号　 　,去括号时,括号外的因数要与括号里的每一项相乘,不要漏乘;
(3)移项:把等号一边的某项移到等号的另一边时要变号;
(4)合并同类项:只把系数相加,字母及其指数不变;
(5)系数化为1:等号两边同时除以未知数的系数(或是乘以未知数的系数的倒数).
最小公倍数
分母
括号
相反
基础对练
1
方法二(加减消元法):
知识梳理
知识点三　二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是消元
方法 方程组系数特点 步骤
代入消元法 方程组中一个方程的常数项为 0或者某一个未知数的系数为1或-1, 如 变——用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数;
代——消去一个未知数:
由①,得　 　(用x表示y).再代入②,得
　 　.求得x的值,继而求得y的值
y=4x
x+4x=20
加减消元法 方程组中某一个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系,如 化——将同一个未知数的系数化相等或互为相反数;
加减——消去一个未知数:
①×2+②,得　 　(消去y).求得x的值,把x的值代入①或②,求得y的值
7x=14
基础对练
6.[北师大七上习题改编]我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:
“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之 ”大意为:“甲走路快,乙走路慢,两个人在相同时间里,甲走100步,乙走60步.现在乙先走100步,甲随后就追,甲要走多少步才能追上乙 ”设甲走了x步才追上乙,则下列方程正确的是( )
A
7.某超市正在热销一种商品,其标价为每件12元,打8折销售后每件可获利2元,该商品每件的进价为( )
A.7.4元 B.7.5元 C.7.6元 D.7.7元
8.数学文化 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题:“马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马三匹、牛五头,共价三十八两.问马、牛各价几何 ”设马每匹x两,牛每头y两,根据题意可列方程
组为　 　.
C
9.[人教七下练习改编] 有大小两种货车,3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22 t,5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25 t,则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货多少吨
知识梳理
知识点四　一次方程(组)的应用
1.列一次方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审;(2)设;(3)列;(4)解;(5)验;(6)答.
2.一次方程(组)常用的等量关系
常考类型 重要等量关系式
购买问题 总价=单价×数量
利润问题 销售额=售价×销量
利润=售价-进价=进价×利润率
售价=标价×折扣(如打8折即“标价×0.8”)
利润率=
工程 问题 工作总量(常设为1)=工作效率×工作时间
甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率
行程 问题 基本量之间的关系:路程=速度×时间
1.直线相遇与追及问题:
(1)相遇问题(相向而行):全路程=速度和×相遇所用的时间
(2)追及问题:
①同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程
②同时不同地出发:
前者走的路程+两者间的距离=追者走的路程
行程 问题 2.环形路上相遇与追及问题:
(1)环形相遇:甲路程+乙路程=环形周长
(2)环形追及:快者路程-慢者路程=环形周长
3.航行问题:
顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
核心考点1　等式的性质(3年1考)
C
A.x=y B.x=2y
C.x=4y D.x=5y
B
2x=y
核心考点2　一次方程(组)的解法(3年1考)
13.(2025·贵州)已知x=2是关于x的方程x+m=7的解,则m的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
C
D
15.(2025·贵阳三模)x=2是关于x的一元一次方程ax+5=7的解,则a=　 .
1
核心考点3　一次方程(组)的应用(3年4考)
C
17.(2025·遵义二模)科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用,已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4 mg,两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146 mg.设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg,一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg.依据题意,可列方程组为( )
B
18.(2025·遵义一模)如图所示为2025年三月份月历,小红用“X”字形框出月历中的5个日期,这五个日期之和不可能是( )
A.95 B.60
C.85 D.72
19.(2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了一道题,大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,则快马追上慢马需要的天数是　 　.
D
20
99
1.(2025·毕节一模)观察图(1)所示,若天平保持平衡,则在图(2)所示天平的右盘中需放入“ ”的个数为( )
A.5个 B.6个
C.7个 D.8个
B
基础过关
A
2.关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1,则m的值为( )
A.3 B.-3 C.7 D.-7
B
A
D
D
A
8.图(1)中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图(2)所示,其中AB=AB′,AB⊥B′C于点C,BC=0.5尺,
B′C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为　 　.
x2+22=(x+0.5)2
图(1)　 　 图(2)
9.数学文化 《九章算术》是中国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题,可理解为:速度快的人每分钟走100 m,速度慢的人每分钟走60 m,现在速度慢的人先走100 m,速度快的人去追他.问速度快的人追上他需要
　 　min.
2.5
10.(2025·毕节一模)把1～9这9个数填入3×3方格中,使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等,这样便构成了一个三阶幻方,它源于我国古代的洛书.如图所示是仅可以看到部分数值的三阶幻方,则其中x的值为　 　.
6
12.(2025·烟台)某商场打折销售一款风扇,若按标价的6折出售,则每台风扇亏损10元;若按标价的9折出售,则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为( )
A.350元 B.320元 C.270元 D.220元
A
素养培优
13.某商贩在一次买卖中,同时卖出两件上衣,每件都以60元出售,若按成本计算,其中一件盈利25%,另一件亏本25%,在这次买卖中,该商贩( )
A.不盈不亏 B.盈利8元
C.亏损8元 D.盈利10元
C
14.新定义题 定义:若点P(m,n)满足2m-n=1,则称点P为二元一次方程2x-y=1的坐标点.
(1)若点A(3,a)为方程2x-y=1的坐标点,则a=　　　;
(2)若点B(b+c,b+5)为方程2x-y=1的坐标点,且b,c为正整数,求b,c的值.
解:(1)5　
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第8讲　分式方程及其应用(3年1考)
1.能解可化为一元一次方程的分式方程.
2.能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
解:方程的两边都乘x-2,得
　 　=x-1-　 　.
得x=　 .
检验:当x=　 　时,x-2=　 　≠　 　.
∴原分式方程的解是x=　 　.
-1
3(x-2)
3
3
1
0
3
(1)以下是小敏同学解该分式方程的部分过程,请认真阅读,并回答以下问题.
解:去分母,得x-2=m,第一步
移项,得x=m+2,第二步
…
从第　 　步开始出错,错误的原因是　 　;
则正确的结果为x=　 　(用含m的代数式表示);
一
去分母时,常数项未乘最简公分母
6-m
(2)若分式方程的解为x=4,则m的值为　 　;
(3)若分式方程有增根,则m的值为　 　;
(4)若分式方程的解为非负数,则m的取值范围为　 　.
2
3
m≤6且m≠3
知识梳理
知识点一　分式方程的解法
1.解分式方程
(1)基本思路
分式方程 整式方程
最简公分母
(2)一般步骤
分式方程 整式方程 x=a
去分母
检验
口诀:一化二解三检验四写根.
易错警示
(1)去分母时,不要漏乘常数项;(2)移项时,符号要改变;(3)解分式方程一定要验根.验根的方法:①代入原分式方程检验;②代入最简公分母检验.
2.增根的产生
使分式方程的分母为　 　的根是增根.
温馨提示
分式方程的增根与无解并非同一概念.分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.
0
基础对练
3.串题练透考点
某市准备对某公园景点进行改造.
(1)工程队花费45 000元用于购买材料,一段时间后,又花费21 000元第二次购买材料,第二次的购买量是第一次的一半,且第二次的单价(单位:元/t)比第一次少100元,求这两次分别购买材料多少吨;
(2)已知购买材料的地点距工地180 km,工程队第二次购买材料后,用卡车运回工地,匀速行驶1 h后,司机接到工程队命令需提前到达,速度增加到原来的1.5倍,最终提前40 min到达工地.求加速前卡车的平均速度;
(3)已知甲工程队单独完成此项工程所需的天数是乙工程队的2倍.若甲、乙两个工程队合作施工,只需20天即可完成.则乙工程队单独完成此项工程需要　　　　　天.
解:(3)30
知识梳理
知识点二　分式方程的应用
1.用分式方程解实际问题的一般步骤
实际问题
列分式方程
→
解方程
↓
双检验
←
答
【注意】 双检验:(1)检验是否为分式方程的解;(2)检验是否符合实际问题.
甲、乙合作问题:
甲的工作效率×甲的工作时间+乙的工作效率×乙的工作时间=“1”.
【注意】当题干中没有给出具体的工作总量时,默认工作总量为1.
方法点拨
列分式方程解应用题时,要验根后作答,不但要检验是否为方程的增根,还要检验是否符合题意,即“双重”验根.
核心考点1　分式方程的解法
D
C
解:去分母,得3=2x-1……………………第一步
移项、合并同类项,得4=2x………………第二步
系数化为1,得x=2…………………………第三步
检验,当x=2,3(x+1)≠0……………………第四步
∴x=2是原分式方程的解…………………第五步
(1)从第　　　步开始出现错误;
解:(1)一
(2)请写出解这个分式方程的正确过程.
解:(2)3=2x-3(x+1),3=2x-3x-3,x=-6.
经检验,x=-6是原分式方程的解.
核心考点2　分式方程的应用(3年1考)
7.数学文化 (2025·贵州模拟)《九章算术》中记载了一道题,大意是:兔子和狗在同一起点,兔子先出发100步,然后狗出发,狗跑了250步后,距离兔子还有30步,问:如果狗和兔子都不停的话,狗再跑多少步可以追到兔子 若设狗再跑x步可以追到兔子,则可列方程为( )
A
8.(2023·贵州)为推动乡村振兴,政府大力扶持小型企业.根据市场需
求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题:
(1)更新设备后每天生产　　　　　　件产品(用含x的式子表示);
解:(1)1.25x
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2
天,求更新设备后每天生产多少件产品.
A
-1
D
基础过关
A
A
A
5.一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为( )
A.5 km/h B.6 km/h
C.7 km/h D.8 km/h
D
6.数学文化 《九章算术》是中国古代数学名著,其中记载:每头牛比每只羊贵1两,20两买牛,15两买羊,买得牛羊的数量相等,则每头牛的价格为多少两 若设每头牛的价格为x两,则可列方程为( )
B
C
B
(2,-1)(答案不唯一)
10.(2025·江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同,且每百公里的耗油费比耗电费约多50元,求纯电汽车每百公里的耗电费.
设纯电汽车每百公里的耗电费为x元,可列分式方程为 　.
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出你的解答过程.
12.(2025·重庆)列方程解下列问题:
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个
解:(1)设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个,则甲文创产品数量是(x+50)个.
3(x+50)=4x+100,解得x=50,则甲文创产品数量为x+50=100个,答:该厂每天生产的乙文创产品数量是50个,甲文创产品数量是100个.
(2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前有所增加,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个,乙比甲多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
素养培优
12
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第7讲　一元二次方程及其应用(3年3考)
1.能根据一元二次方程的特征,选择配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.
2.会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根及两实数根是否相等,会将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式相联系.
3.利用一元二次方程的根与系数的关系可以解决一些简单的问题.
4.能根据具体问题的实际意义,建立一元二次方程的模型解决实际问题.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.概念辨析 下列一元二次方程:①2xm-1+2x+3=0;②x2-5x=6;③x2+2x+c
=0.
(1)方程①中,m的值是　 　;
(2)方程②中,一次项系数是　 　,常数项是　 　;
(3)下列各数是方程②的解的是　 　;
A.1 　B.-1 　C.0 　 D.2
(4)若方程③的一个根是1,则c的值是　 　.
3
-5
-6
B
-3
知识梳理
知识点一　一元二次方程及其相关概念
1.一元二次方程:只含有　 　未知数,且未知数的最高次数是　 　的整式方程.
2.一般形式为　 　(a≠0,a,b,c为常数).
3.一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边　 　的未知数的值,若x=m是ax2+bx+c=0(a≠0)的解,则am2+bm+c=0.
一个
2
ax2+bx+c=0
相等
基础对练
2.串题练透考点 认真观察下列方程,指出使用何种方法求解比较适当.
(1)(x+6)2-9=0,应选用　　　　　　法;
(2)x2+16x=5,应选用　　　　　法;
(3)x2-3x=x-3,应选用　　　　　法;
(4)x2+2x-2=0,应选用　　　　　　法.
解:(1)直接开平方　(2)配方　(3)因式分解 (4)公式(或者配方)　
过程纠错 小华解方程(1)的解答过程如下:
解:移项,得(x+6)2=9……第一步
两边开平方,得x+6=3……第二步
所以x=-3………………第三步
小华的解答过程从第　　　　　步开始出错,请写出正确的解答过程.
解:二
(x+6)2=9,∴x+6=3或x+6=-3.
∴x1=-3,x2=-9.
【实践应用】解下列方程:
(5)[人教九上例题改编] x2-3x=x-3.
(6)[人教九上例题改编] x2+2x-2=0.
解:(5)x1=1,x2=3.
知识梳理
知识点二　一元二次方程的解法(高频考点)
解法 基本类型 适用情况 注意事项
直接 开平 方法 x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(c≥0) 方程缺少一次项时常用 开方不要漏掉　 　.
注:开方后取值是“±”
公式法 ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac ≥0) 适用于任意一元二次方程,求根公 式为x= _ 先将方程化为一般形式,再确定判别式Δ≥0,最后利用求根公式求解,若Δ　 　0,则方程没有实数根
负根
<
配方法 ax2+bx+c=0变形为 适用于任意一元二次方程 配方时,给方程两边同时加上一次项系数一半的平方,不要漏加
因式分解法 a(x-x1)(x-x2)=0或ax2=bx a.将方程右边化为0后,左边可以因式分解;b.方程缺少常数项 两边不能同时约去含有未知数的因式
温馨提示
解一元二次方程选择方法的一般顺序:直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法
基础对练
3.一材多题 [人教九上例题改编] 已知一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)若m=-1,则一元二次方程x2+2x+m=0的根的情况是　 .
　;
(2)若该一元二次方程有两个相等的实数根,则m的值为　 　;
(3)若该一元二次方程没有实数根,则m的取值范围为　 　;
(4)若该一元二次方程有实数根,则m的取值范围为　 　;
有两个不相等的
实数根
1
m>1
m≤1
(5)若该一元二次方程的一个根为1,则m的值为　 　,该方程的另一个根为　 　;
(6)若m=-2,且x1,x2是一元二次方程x2+2x+m=0的两根,请回答下列问题.
①x1+x2=　 　,x1x2=　 　;
-3
-3
-2
-2
-2
8
知识梳理
知识点三　根的判别式及根与系数的关系
1.根的判别式:Δ=b2-4ac
(1)Δ>0且a≠0 方程有　 　的实数根;
(2)Δ=0且a≠0 方程有　 　的实数根;
(3)Δ<0且a≠0 方程　 　实数根;
(4)由此可知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的条件是　 　.
两个不相等
两个相等
没有
Δ≥0
2.一元二次方程根与系数的关系(新课标将选学内容改为必修内容)
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1和x2,则x1+x2=
　 　,x1x2=　　 .
温馨提示
利用根与系数的关系解题时,其前提是一元二次方程有实数根,即b2-4ac≥0.
基础对练
4.[北师大九上习题改编]在一次篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场,则每个球队参赛的场数为( )
A.7场 B.8场 C.9场 D.10场
5.[人教九上探究改编] 有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121个人患了流感,按照这样的速度,第三轮传染后,患流感的人数是( )
A.1 331 B.1 210
C.1 100 D.1 000
B
A
6.某药品原价每盒25元,为了响应国家解决老百姓看病贵的号召,经过两轮连续降价,现在售价每盒16元,则该药品平均每次降价的百分率是
　 　.
7.[北师大九上习题改编]如图所示,某小区规划在一个长14 m,宽11 m的矩形场地ABCD上,修建同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草,若平均每块草坪面积为20 m2,则小路的宽度为
　m.
20%
1
8.商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库
存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:每件商品降价多少元时,商场日盈利可达到2 100元.
解:∵降价1元,可多售出2件,
∴设降价x元,可多售出2x件,
由题意,得(50-x)(30+2x)=2 100.
化简,得x2-35x+300=0.
解得x1=15,x2=20.
∵该商场为了尽快减少库存,∴降得越多,越吸引顾客.
∴x=20.
答:每件商品降价20元时,商场日盈利可达到2 100元.
知识梳理
知识点四　一元二次方程的应用
2.平均增长率或下降率问题:
(1)若基数为a,末数为b,设平均增长率或下降率为x,时间的间隔是n,则关系式是　 　;
(2)传播问题类似于增长率问题.
a(1±x)n=b
3.面积问题常见图形归纳如下:
图(1)　 图(2)　 图(3)
(1)如图(1)所示,空白部分宽均为x,则阴影部分的面积表示为　 　 ;
(2)如图(2)所示,阴影道路的宽为x,则空白部分的面积为　 　;
(3)如图(3)所示,阴影道路的宽为x,则空白部分的面积可以转化为　 ;
(4)在篱笆上开门的问题:开多宽的门相当于计算时篱笆的长增加了多少.
(a-2x)(b-2x)
(a-x)(b-x)
(a-x)(b-x)
4.销售问题:
(1)单件产品的利润=　 　-　 　=　 　×　 　;
(2)利润率=利润÷　 　×100%;
(3)销售利润=　 　×　 　.
售价
进价
进价
利润率
进价
单件产品的利润
销售量
核心考点1　一元二次方程的解法(3年2考)
B
9.(2024·贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是( )
A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1
10.(2025·贵阳一模)一元二次方程(x-4)2=1的解是( )
A.x1=5,x2=-3 B.x1=-5,x2=3
C.x1=-5,x2=-3 D.x1=5,x2=3
11.(2025·贵州)一元二次方程x2-1=0的根是　 　.
D
x1=1,x2=-1
12.(2025·贵州一模)解一元二次方程x2-2x-3=0时,两位同学的解题过程如下:
解:(1)两位同学的解题过程都不正确,在框内打“×”.
解法一:x2-2x=3, x(x-2)=3, ∴x=1或x-2=3. ∴x1=1或x2=5. 解法二:a=1,b=-2,c=-3,
b2-4ac=4-12=-8.
∵b2-4ac<0,
∴此方程无实数根.
(1)判断:两位同学的解题过程是否正确,若正确,请在框内打“√”,若错误,请在框内打“×”;
(2)请选择合适的方法求解此方程.
解:(2)x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,x-3=0或x+1=0,
∴x1=3,x2=-1.
B
14.(2025·贵阳二模)若一元二次方程x2+5x+4=0的一个根是-1,则另一个根是( )
A.4 B.1 C.0 D.-4
D
6
核心考点3　一元二次方程的实际应用
17.(2025·云南)某书店今年3月份盈利6 000元,5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x,根据题意,下列方程正确的是( )
A.6 000(1+x)2=6 200
B.6 000(1-x)2=6 200
C.6 000(1+2x)=6 200
D.6 000x2=6 200
A
18.(2025·铜仁期末)2024年“村BA”球王争霸赛全国总决赛于2024年10月4日在贵州省台江县台盘村“村BA”球场举行.组委会将参赛球队平均分成2个小组进行单循环赛(同组所有对手之间都进行一次比赛),每个小组决出一二名进入4强交叉赛.已知每个小组的单循环比赛总场次为10场,若设每个小组有x支球队,则列出方程正确的是( )
D
19.(2025·威海)如图所示,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块,请你求出小路的宽度.
20.(2025·河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
21.(2025·威海)如图所示,小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开,得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为12 cm,则折成立方体的棱长为　 　cm.
1.若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是0,则a的值为
( )
A
基础过关
2.(2025·贵州期末)一元二次方程5x2-4x-1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )
A.5,-4,-1 B.5,4,-1
C.5,-4,1 D.5,-4,0
3.(2025·贵州二模)将多项式x2-6x进行配方,正确的是( )
A.(x-3)2-9 B.(x-3)2+9
C.(x-6)2-9 D.(x-6)2+9
A
A
4.(2025·黔南一模)方程x(x-5)=x-5的根是( )
A.5 B.0,5
C.1,5 D.0,-5
5.关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
C
A
6.(2025·内江)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2 B.a<2
C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1
7.若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,则3m2-4m+n2的值为　 　.
8.(2025·绥化)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2 025x+1=0的两个根,则(m+1)(n+1)=　 　.
9.(2025·贵阳模拟)已知α,β是方程x2+2x-1=0的两个实数根,则α2+
β2的值为　 　.
C
6
2 027
6
10.(2025·贵州一模)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题,其大意为:有一块圆形的田,中间有一块正方形水池,测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步,从水池边到圆周,每边相距3步远.请计算出正方形的边长.如图所示,设正方形的边长是x步,则列出
的方程是　 　.
11.解下列方程(选择适当的方法):
(1)x2-4x+1=0; 　　　 (2)2x2+3x=3;
(3)x2+x-6=0; 　　　 (4)(2x+3)2=(3x+2)2.
解:(3)整理,得(x+3)(x-2)=0,
∴x+3=0或x-2=0.∴x1=-3,x2=2.
(4)2x+3=±(3x+2),
∴2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2.
∴x1=1,x2=-1.
12.(2025·贵州期末)某城市2023年五一长假期间接待游客达20万人次,预计在2025年五一长假期间,接待游客将达28.8万人次.该城市美食久负盛名,一家特色粉面店希望在五一长假期间获得好的收益,经测算知,该粉面成本价为每碗6元,借鉴以往经验:若每碗卖18元,平均每天将销售300碗,若价格每降低1元,则平均每天多销售30碗.
(1)求出2023至2025年五一长假期间游客人次的年平均增长率.
解:(1)设平均增长率为x,则20(1+x)2=28.8,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),
答:年平均增长率为20%.
(2)为了更好地维护城市形象,店家规定每碗售价不得超过15元,则当每碗售价定为多少元时,店家才能实现每天利润3 150元
解:(2)设每碗售价定为y元,
∵每天利润为 3 150元,
∴(y-6)[300+30(18-y)]=3 150,解得y1=13,y2=21.
∵每碗售价不超过15元,
∴y=13.
答:当每碗售价定为13元时,店家才能实现每天利润3 150元.
13.(2025·南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根.
(1)当x1=-1时,求x2及m的值;
素养培优
(2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0.
解:(2)证明:方程(x-1)(x-2)=m2可化为
x2-3x+2-m2=0,
∵Δ=4m2+1>0,
∴原方程有两个不相等的实数根,
由根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=2-m2.
∴(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2,
∵-m2≤0,∴(x1-1)(x2-1)≤0.
谢谢观赏！

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