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(共38张PPT)
第25讲　与圆有关的计算(3年1考)
1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
2.会计算圆的弧长、扇形的面积.
3.会计算圆锥的侧面积和全面积.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
实战演练 精评价
基础对练
(1)中心角∠BOC=　 　,∠BPC=　 　;
(2)若☉O的半径是8,则BC=　 　,边心距OM=　 　,正六边形ABCDEF的周长=　 　,面积是　 　.
2.一个正多边形的中心角是72°,则这个正多边形是　 　边形.
60°
30°
8
48
正五
知识梳理
知识点一　正多边形与圆
正多边形的 有关概念 概念 图形
中心 一个正多边形的　 　圆的圆心
设图中正多边形的边数为n,外接圆半径为R,则中心角α=　 　;边长an=
;周长C= ;边心距rn=
半径 外接圆的　 中心角 正多边形每一边所对的　 边心距 中心到正多边形的　 　的距离 外接
半径
圆心角
一边
温馨提示
基础对练
3.(1)在半径是4 cm的圆中,60°的圆心角所对的弧长是　 　;
(2)一个扇形的半径是4 cm,圆心角是90°,则这个扇形的面积是　 　;
(3)一个扇形的面积是12π,半径是4,则这个扇形的弧长是　 　,这个扇形的圆心角是　 　.
4πcm2
6π
270°
知识梳理
知识点二　弧长与扇形面积(高频考点)
1.圆的周长=　 　,圆的面积=　 　.
2.扇形的弧长l=　 　,扇形的面积S=　 　(r是扇形半径,n是弧所对圆心角的度数).
2πr
πr2
基础对练
4.串题练透考点 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的母线AB=10 m,半径OB=8 m.
(1)这个圆锥的高是　 　m;
(2)这个圆锥的侧面积是　 　m2,全面积是　 　 m2;
(3)这个圆锥侧面展开图的圆心角是　 　.
6
80π
144π
288°
知识梳理
知识点三　圆锥的侧面积与全面积
弧长
半径
核心考点1　弧长的相关计算(3年1考)
5.(2025·绥化)在☉O中,如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm,那么☉O的半径是( )
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
6.若扇形的圆心角为80°,半径为8,则它的弧长为　 　.
A
40π
8.2025年4月24日,“神舟二十号”航天飞船成功发射.如图所示,飞船在离地球大约330 km的圆形轨道上,当运行到地球表面点P的正上方点F时,从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q.在Rt△OQF中,OP=OQ≈
6 400 km.(参考数据:cos 16°≈0.96,cos 18°≈0.95,cos 20°≈
0.94,cos 22°≈0.93,π≈3.14)
(1)求cos α的值(结果精确到0.01);
图(1)
图(2)
核心考点2　与扇形有关的面积的计算
A
A
A
13.传统文化 龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化,某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面,制作了一个龚扇模型(如图).扇形外侧两竹条AB,AC夹角为120°,AB长30 cm,扇面的BD边长为18 cm,则扇面面积为　 　cm2(结果保留π).
252π
14.如图所示,直线AB经过点C,且点C在☉O上,OA=OB,CA=CB.
(1)求证:直线AB是☉O的切线;
(1)证明:连接OC,如图所示.
在△OAB中,∵OA=OB,
CA=CB,
∴OC⊥AB.
∵OC是☉O的半径,∴直线AB是☉O的切线.
(2)若圆的半径为4,∠B=30°,求阴影部分的面积.
核心考点3　正多边形与圆
B
16.(2025·山东)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图所示是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
D
17.(2025·上海)已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点,且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边,那么这个角的大小是　 　.
18.(2025·烟台)如图所示,正六边形ABCDEF的边长为4,中心为点O,以点O为圆心,以AB长为半径作圆心角为120°的扇形,则图中阴影部分的面积为　 　.
36°或108°
C
基础过关
D
2.跨物理学科 如图所示,一个半径为9 cm的定滑轮由绳索带动重物上
升,如果该定滑轮逆时针旋转了120°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,那么重物上升的高度是( )
A.5π cm B.6π cm
C.7π cm D.8π cm
B
C
A
5.如图所示,在☉O中,若∠ACB=30°,OA=6,则扇形OAB(阴影部分)的面积是( )
A.12π B.6π
C.4π D.2π
B
4π
7.用半径为24 cm,面积为120π cm2的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径为　 　cm.
8.某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地,小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由☉O和扇形OBC组成,OB,OC分别与☉O交于点A,D.
OA=1 m,OB=10 m,∠AOD=40°,则阴影部分的面积为　 　(结果保留π).
5
11π m2
(1)求AB的长;
(2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1 m).
素养培优
10.如图所示,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,BA平分∠CBD,若∠AOD=
50°,则∠A的度数为( )
A.65° B.55°
C.50° D.75°
A
谢谢观赏！(共49张PPT)
　第六单元　圆
第23讲　圆的基本性质(3年5考)
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念.
2.探索并证明垂径定理及其推论.
3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.串题练透考点 如图所示,点A,B,C,D在☉O上,AB是☉O的直径.
(1)写出图中的弦:　 　;
(2)☉O中最长的弦是　 　,写出☉O的半径:　 　;
AC,BC,AB
AB
OA,OB,OC,OD
(3)写出图中的劣弧:　 　;
(4)写出弦BC所对的弧:　 　;
(5)弦BC所对的圆心角是　 　,圆周角是　 　;
(6)☉O的对称轴是　 　.
∠BOC
∠BAC
直径AB所在的直线(答案不唯一)
知识梳理
知识点一　圆的相关概念和性质
弦、 直径 连接圆上任意两点的　 　叫作弦,经过　 　的弦叫作直径,直径是圆中最　 　的弦
弧 圆上任意两点间的部分叫作　 　,弧有优弧、劣弧、　　 .
之分
圆心角 顶点在　 　的角
线段
圆心
长
弧
半圆
圆心
圆周角 顶点在　 　,两边都与圆　 　的角 与圆 有关的 性质 对称性 圆是轴对称图形,也是　 　对称图形.对称中心是　 　
旋转 不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
圆上
相交
中心
圆心
基础对练
2.定理及推论辨析 如图所示,AB是☉O的弦,弦CD交AB于点P,CD=6 cm.
3
⊥
⊥
3
知识梳理
知识点二　垂径定理及其推论
定理 垂直于弦的直径　 　弦,并且　 　弦所对的两条弧
推论 平分弦(不是直径)的直径　 　于弦,并且平分弦所对的两条弧
定理与推论的延伸　 弦的垂直平分线经过　 　,并且平分弦所对的弧;
平分弦所对的一条弧的直径　 　弦,并且平分弦所对的另一条　 　
平分
平分
垂直
圆心
垂直平分
弧
基础对练
3.串题练透考点 如图所示,AB是☉O的直径.
66°
32°
4
知识梳理
知识点三　弧、弦、圆心角
1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧　 　,所对的弦也
　 　.
2.推论:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等,它们所对应的其余两组量分别对应　 　.
温馨提示
应用定理时,一定要注意“在同圆或等圆中”这个条件,同时要特别注意一条弦对应两条弧.
相等
相等
相等
基础对练
4.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.
(1)∠ADB的度数为　 　;
(2)若∠ACD=36°,则∠ABD的度数为　 　,∠BAD的度数为　 　.
90°
36°
54°
知识梳理
知识点四　圆周角定理及其推论
1.圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角　 　,等于它所对的圆心角的　 　.
2.推论:(1)半圆或直径所对的圆周角是　 　;
(2)90°的圆周角所对的弦是　 　.
相等
一半
直角
直径
基础对练
5.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,点E在BC的延长线上,∠A=65°,则∠BCD=　 　,∠DCE=　 　.
115°
65°
知识梳理
知识点五　圆内接四边形
1.性质:圆内接四边形的对角　 　.
2.拓展:圆内接四边形的一个外角
等于其内对角,如图所示,∠C=∠DAE.
互补
核心考点1　垂径定理及其推论(3年1考)
6.(2025·宜宾)如图所示,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D.若AB=8,
OC=5,则OD的长是( )
A
7.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD于点E,若AB=10,CD=8,则cos∠OCE等于( )
C
8.传统文化 圆在中式建筑中有着广泛的应用,如图所示,某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8 m,地面入口的宽度为1 m,门枕的高度为0.3 m,则该圆弧所在圆的半径为( )
A.1.2 m B.1.3 m
C.1.4 m D.0.5 m
B
核心考点2　圆周角定理及推论(3年2考)
9.(2025·黔西一模)如图所示,△ABC内接于☉O,连接OB,OC,∠A=45°,则∠BOC的度数为( )
A.60° B.75°
C.90° D.100°
C
B
A.70° B.110° C.120° D.140°
C
A.40° B.25° C.20° D.15°
21
核心考点3　圆的有关性质的综合应用(3年2考)
典例精析
例 (2025·贵州一模)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一
点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
13.(2025·毕节一模)如图所示,☉O为△ABC的外接圆,且AB=AC,BD是☉O的直径,过点A作AE⊥BD于点E,交BC于点F,连接AD.
(1)写出图中一个与∠C相等的角;
解:(1)∠C=∠ABC(答案不唯一).
真题对练
(2)判断△ABF的形状,并说明理由;
解:(2)△ABF是等腰三角形,理由如下:
∵BD为☉O的直径,∴∠BAD=90°.
∴∠D+∠ABE=90°.
∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°.
∴∠BAE+∠ABE=90°,∴∠D=∠BAE.
又∠C=∠D,∴∠C=∠BAE.
∵AB=AC,∴∠C=∠ABF.∴∠BAF=∠ABF.
∴△ABF是等腰三角形.
归纳总结
圆的有关性质的综合运用,主要是运用圆的有关性质去解决相关计算和证明,运用的难点在于作辅助线和破解题目中已知条件,为解决问题打下铺垫.作辅助线的主要思想是构造与性质相关的模型去解决问题,如:构造垂径定理的模型时,常作垂直于弦的直径得到直角三角形;构造与圆周角相关的模型时,常有(1)作过圆上某点的直径,连接过直径端点的弦;(2)构造同弧所对的圆周角.破解题目中已知条件时,要注意把已知条件与定理、模型联系起来,如:利用圆周角定理时,注意找准直径、等弦或同弦所对的圆周角;同时还要联系以往所学的知识,寻找多个模型形成的常见组合模型等.
14.新情境 如图所示,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=
20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为　 　cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
7.5
提示:如图所示,设球心为O,过O作OM⊥AD于点M,连接OA.
1.下列说法正确的是( )
A.弦是直径
B.半圆是弧
C.长度相等的弧是等弧
D.过圆心的线段是直径
基础过关
B
2.如图所示,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC的度数为( )
A.15° B.30°
C.45° D.60°
B
3.如图所示,A,B,C在☉O上,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则☉O半径的长为( )
D
4.如图所示,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB,D为圆周上一点,若∠ADC的度数为35°,则∠ABO的度数为( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
B
5.如图所示,点A,B,C,D在☉O上,AC⊥BC,AC=5,∠ADC=30°,则BC的长为
( )
A
6.如图所示,将一根木棒的一端固定在O点,另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开,让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为
( )
A.倾斜直线 B.抛物线
C.圆弧 D.水平直线
C
C
A.50 cm B.35 cm
C.25 cm D.20 cm
8.如图所示,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AD延长线上一点,
∠AOC=128°,则∠CDE等于( )
A.64° B.60°
C.54° D.52°
A
B
A.66° B.56°
C.34° D.28°
10.如图所示,☉O的弦AB=8,半径OC⊥AB,垂足为D,且CD=2,则∠OAB的正弦值等于( )
A
4
12.如图所示,☉O中,AB为直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点E,D为AC上一点,∠AOD=∠C.
(1)求证:OD⊥AE;
(1)证明:∵BC为☉O的切线,AB是☉O的直径,
∴AB⊥BC.∴∠ABC=90°.
∴∠A+∠C=90°.
∵∠AOD=∠C,
∴∠A+∠AOD=90°.
∴∠ADO=90°,即OD⊥AE.
(1)求证:∠DAE=∠AED;
(1)证明:设∠ABC=α,则∠AOC=2α.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠OAC=90°-α.
∵AD是☉O的切线,∴OA⊥AD.
∴∠OAD=90°.∴∠DAE=α.
∵∠AOC=2∠AED,∴∠ADE=α.
∴∠DAE=∠AED.
(2)若AD=1,求BC的长.
素养培优
14.AB是☉O的弦,点C是☉O上的一动点,若∠AOB=50°,则∠ACB=
　 　.
15.如图所示,点A,B,C在☉O上,AC与OB交于点D,点D是AC的中点,OC∥AB,若AC=3,则☉O的半径为　 　.
25°或155°
谢谢观赏！(共47张PPT)
第24讲　点、直线与圆的位置关系(3年2考)
1.探索并掌握点和圆的位置关系,了解三角形的外心与内心.
2.了解直线与圆的位置关系,掌握切线的概念.
*3.探索并证明切线长定理:过圆外一点的两条切线长相等.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.串题练透考点 如图所示,☉O的半径是5 cm.
(1)点A在☉O外,则OA　 　5 cm;点B在☉O上,则OB　 　5 cm;点C在☉O内,则OC　 　5 cm;
(2)若OP=6 cm,则点P在☉O　 　;若OQ=2 cm,则点Q在☉O　 　.
>
=
<
外
内
知识梳理
知识点一　点与圆的位置关系
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
几何图形
d与r的 大小关系 d　 　r d　 　r d　 　r
<
=
>
基础对练
2.串题练透考点 如图所示,☉O的半径是10 cm,弦AB=16 cm.
(1)点O到AB的距离是 　cm,
☉O与直线AB的位置关系是　 　;
(2)把直线AB向下平移4 cm,此时☉O与直线AB的位置关系是　 　;
(3)把直线AB向上平移18 cm,此时☉O与直线AB的位置关系是　 　.
6
相交
相切
相离
知识梳理
知识点二　直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
几何图形
交点个数 0个 1个 2个
d与r的大小关系 d　 　r d　 　r 　 　≤d 　 　r
>
=
0
<
基础对练
3.串题练透考点 如图所示,点B在☉O上,点C在☉O外,OC交☉O于点A.
(1)若BC切☉O于点B,∠C=20°,则∠BOC=　 　;
(2)若BC切☉O于点B,BC=4,AC=2,则☉O的半径是　 　;
(3)若∠BOC=50°,当∠C=　 　时,BC与☉O相切.
70°
3
40°
知识梳理
知识点三　切线的性质与判定
1.切线的性质:圆的切线　 　于过切点的半径.
2.切线的判定
(1)经过半径的外端且　 　这条半径的直线是圆的切线;
(2)到圆心的距离等于　 　的直线是圆的切线.
垂直
垂直于
半径
基础对练
4.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,连接AB交OP于点C.PA=4,∠APB=
60°.
(1)PB=　 ,∠APO=　 　;
(2)△PAB是　 　三角形,AB=　 　;
(3)AC　 　OP,AC=　 　=　 　.
4
30°
等边
4
⊥
BC
2
知识梳理
知识点四　切线长定理
切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长　 　,这一点和圆心的连线　 　两条切线的夹角.
拓展:切线长定理常与等腰三角形三线合一的性质综合运用解题.
相等
平分
基础对练
5.如图所示,△ABC内接于☉O,∠A=45°,BC=2,则☉O的半径是　 　.
6.分类讨论思想 △ABC内接于☉O,若∠BOC=100°,则∠BAC的度数是
　 　.
50°或130°
7.[人教九上习题改编] 如图所示,☉I交△ABC的三边于点D,E,F,∠A=
28°,AB=14,AC=13,BC=9.
(1)∠BIC=　 　°,若AD=9.5,则BD=　 　;
(2)若☉I的半径是2,则△ABC的面积是　 　.
8.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则△ABC外接圆的半径是　 　,内切圆的半径是　 　.
104
4.5
36
6.5
2
知识梳理
知识点五　三角形的外接圆与内切圆
1.确定圆的条件:过一点可以作　 　个圆;过两点的圆有　 个,其圆心在　 　上;　 　三个点可以确定一个圆.
无数
无数
这两点连线的垂直平分线
不在同一直线上的
2.三角形的外接圆与内切圆
名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆
图形
圆心名称 外心 内心
圆心的实质 三角形三边　 　的交点 三角形三个角　 　的交点
圆心的性质 外心到三角形三个　 　的距离相等 内心到三角形　 　的距离相等
垂直平分
平分线
顶点
三边
拓展
核心考点　切线的性质与判定(3年2考)
典例精析
例 (2024·贵州) 如图所示,AB为半圆O的直径,点F在半圆上,点P在AB的延长线上,PC与半圆相切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,DC=DE.
(1)写出图中一个与∠DEC相等的角:　　　;
(1)解:∠DCE(答案不唯一)
(2)求证:OD⊥AB;
(2)证明:连接OC,如图所示,
∵PC与半圆相切于点C,
∴∠OCD=90°.
∴∠DCE+∠ACO=90°.
∵OA=OC,∴∠A=∠ACO.
∵∠DCE=∠DEC=∠AEO,∴∠A+∠AEO=90°.
∴∠AOE=90°.∴OD⊥AB.
(3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长.
9.(2025·福建)如图所示,PA与☉O相切于点A,PO的延长线交☉O于点C.
AB∥PC,且交☉O于点B.若∠P=30°,则∠BCP的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
C
真题对练
10.(2025·黑龙江)如图所示,PA,PB是圆O的切线,A,B为切点,AC是直径,
∠BAC=35°,∠P=　 　.
70°
11.(2025·齐齐哈尔)如图所示,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,点D在AB的延长线上,连接CD,∠BCD=∠A,过点B作BE⊥AD,交CD于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(1)证明:连接OC,如图所示,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠A+∠ABC=90°.
∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB.
∵∠BCD=∠A,∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°.
∴OC⊥CD.
∵OC为☉O的半径.∴CD是☉O的切线.
(2)若点B是AD的中点,且BE=3,求☉O的半径.
归纳总结
证明切线的方法:①若已知直线与圆的公共点,则采用判定定理法,其基本思路是:当已知点在圆上时,连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即可,可简述为:有公共点,连半径,证垂直;②若未知直线与圆的公共点,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为:无公共点,作垂直,证相等.
12.科学家阿基米德曾说:“假如给我一个支点,我可以撬起整个地球!”这运用的是杠杆原理.如图(1)所示,☉O表示地球,点P是支点.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图(1)中作出撬起地球的杠杆(直线l),使其经过点P,且与☉O相切于点D(标明字母,保留作图痕迹,不写作法);
解:(1)如图①所示,直线l即为所求作的直线.
1.已知点A在直径为8 cm的☉O内,则OA的长可能是( )
A.8 cm B.6 cm
C.4 cm D.2 cm
2.如果直径为13 cm的圆与一条直线有两个公共点,则圆心到该直线的距离d满足( )
基础过关
D
A.d=13 cm B.d=6.5 cm
C.0 cm≤d<6.5 cm D.d>6.5 cm
C
A
A.18° B.30° C.36° D.72°
4.如图所示,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+
∠BCD=236°,则∠E等于( )
A.56° B.60°
C.68° D.70°
C
5.如图所示,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB的度数为( )
A.120° B.130°
C.135° D.150°
B
6.如图所示,AB是☉O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,
∠EAD=25°,则下列结论错误的是( )
A.AE⊥DE B.AE∥OD
C.DE=OD D.∠BOD=50°
C
7.(2024·浙江)如图所示,AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,连接BC.已知∠ACB=50°,则∠B的度数为　 　.
40°
8.如图所示,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=　 　.
35°
9.数学文化 《九章算术》中记载:“今有勾八步,股十五步.问勾中容圆径几何 ”译文:今有一个直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,则该直角三角形内切圆的直径是　 　步(注:“步”为长度单位).
6
10.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,且∠APB=56°.若点C是☉O上异于点A,B的一点,则∠ACB的大小为　 　.
62°或118°
11.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D的直线EF∥BC,分别交AB,AC的延长线于点E,F.
(1)猜想直线EF与☉O的位置关系,并证明你的猜想;
(1)证明:直线EF是☉O的切线.理由如下:
连接OD,如图所示.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAC.
∴∠ODA=∠DAC.∴AC∥OD.
∴∠ODE=∠F.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵EF∥BC,∴∠F=∠ACB=90°.
∴∠ODE=90°,即OD⊥EF.
∵OD为半径,∴直线EF是☉O的切线.
12.如图所示是一台圆形扫地机器人示意图,其两侧安装可以转动的毛边刷,毛边刷伸出5 cm,扫地机器人可以在矩形场地内任意移动,为了将场地边角清扫干净,则该扫地机器人的最大直径(结果取整数)是( )
A.20 cm B.22 cm
C.24 cm D.26 cm
C
13.(2024·陕西)如图所示,直线l与☉O相切于点A,AB是☉O的直径,点C,D在l上,且位于点A两侧,连接BC,BD,分别与☉O交于点E,F,连接EF,AF.
(1)求证:∠BAF=∠CDB;
(1)证明:∵直线l与☉O相切于点A,
∴∠BAD=90°.∴∠BDA+∠ABD=90°.
∵AB是☉O的直径,∴∠BFA=90°.
∴∠BAF+∠ABD=90°.
∴∠BAF=∠CDB.
(2)若☉O的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长.
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14.(2025·贵州二模)(1)如图(1)所示,已知△ABC是一个直角三角形,
∠B=90°,用尺规求作△ABC的外接圆,圆心为点O,不写作法,保留作图
痕迹;
(1)解:如图所示,☉O即为所求.
(2)如图(2)所示,已知△ABC的三个顶点都在☉O上,AB是☉O的直径,点D在AB上,BD=BC.连接CD并延长到点E,使得AE=AC,求证:AE与☉O相切;
(2)证明:∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD.
又∠BDC=∠ADE,∴∠BDC=∠ADE=∠BCD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,即∠ACD+∠BCD=90°.
∵AE=AC,∴∠E=∠ACD.∴∠E+∠ADE=90°.
∴∠DAE=90°,即OA⊥AE.
∵AO是☉O的半径,∴AE与☉O相切.
(3)在(2)的条件下,若∠BAC=2∠ACD,探究AC,BC的数量关系,并说明理由.
(3)解:AC=BC.理由如下:
由(2),得∠E=∠ACD.
又∠BAC=2∠ACD,∴∠BAC=2∠E.
∵∠BDC=∠BAC+∠ACD,∴∠BDC=2∠E+∠E=3∠E.
∵∠E+∠ADE=90°,∠BDC=∠ADE,
∴∠E+3∠E=90.
∴2∠E=45°,即∠BAC=45°.
∵∠ACB=90°,∴∠ABC=∠BAC=45°.∴AC=BC.
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