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(共52张PPT)
第12讲　反比例函数的图象与性质(3年5考)
1.结合具体情境用实例体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的解析式.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
C
知识梳理
知识点一　反比例函数的概念
概念:形如y=　 　(k是常数,且k　 　)的函数叫作反比例函数.自变量x的取值范围是　 　的一切实数.
≠0
不等于0
基础对练
第二,第四
(1)图象是分布于　 　象限的　 　,在图象的每一支上y随x的增大而　 　;
(2)当y>2时,x的取值范围是　 　;
双曲线
增大
-3<
(3)填“>”“<”或“=”.
①若点(-6,y1),(-4,y2)在该函数图象上,则y1　 　y2;
②若点(4,y3),(6,y4)在该函数图象上,则y3　 　y4;
③若点(-4,y5),(6,y6)在该函数图象上,则y5　 　y6;
<
>
y2>y3>y1
知识梳理
知识点二　反比例函数的图象与性质
象限 分布在　 象限 分布在　 象限
范围 x≠0,y≠0 增减性 在每个象限内,y随x的增大而　 在每个象限内,y随x的增大而　
对称性 既是　 　对称图形,又是　 　对称图形,两条对称轴为直线y=　 　,对称中心是　 　 第一,第三
第二,第四
减小
增大
轴
中心
±x
坐标原点
【注意】反比例函数图象的增减性必须强调在每一个分支上,不能认为在整个自变量取值范围内增大(或减小).
基础对练
C
图(1)
4
图(2)
A
图(3)
知识梳理
知识点三　反比例函数中k的几何意义
|k|
2.与k的几何意义有关的图形面积
S△AOB=S△BOC=S△ABP=　 　
S△APP′=　 　 (点P′为点P关于原点的对称点) S△AOB=　 　
2|k|
基础对练
C
知识梳理
知识点四　反比例函数解析式的确定
利用待定系数法求反比例函数解析式的两种途径:
(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出;
基础对练
5.跨物理学科 已知蓄电池的电压为定值,使用某蓄电池时,电流I(单位:
A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,则当电阻为6 Ω时,电流为( )
A.3 A B.4 A
C.6 A D.8 A
B
知识梳理
知识点五　反比例函数的实际应用
实际问题中常见的反比例函数关系
核心考点1　反比例函数的图象与性质(3年2考)
例1 (2025·贵州)小星在阅读《天工开物》时,看到一种名为桔槔(ɡāo)的古代汲水工具[如图(1)所示],有一横杆固定于桔槔上O点,并可绕O点转动,在横杆A处连接一竹竿,在横杆B处固定300 N的物体,且OB=1 m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点O的距离l时,横杆始终处于水平状态,小星发现F与l有一定的关系,记录了拉力的大小F与点A与点O的距离l的变化,如下表:
典例精析
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 a
(1)表格中a的值是　　　　.
(2)小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图(2)所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,
并画出这个函数的图象.
解:(1)100
(2)如图所示.
(3)根据以上数据和图象判断,当OA的长增大时,拉力F是增大还是减小 请说明理由.
解:(3)当OA的长增大时,拉力F逐渐减小.理由如下:
根据题意可知,桔槔的工作原理是利用杠杆原理,
即FA·|OA|=FB·|OB|.而FB=300 N,OB=1 m,
∴FA·|OA|=300.
∴当OA的长增大时,拉力F是逐渐减小的.
真题对练
(2)点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,比较a,b,c的大小,并说明理由.
解:(2)a∵k=3>0,∴函数图象位于第一,三象限.
∵点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,-3<0<1<3,
∴a<0核心考点2　反比例函数系数k的几何意义
3
-6
归纳总结
反比例函数中k的几何意义常见模型
核心考点3　反比例函数与一次函数的综合(3年2考)
典例精析
(1)求反比例函数的解析式和点E的坐标;
解:(2)-3≤m≤0.
真题对练
(2)判断点B是否在该反比例函数的图象上,并说明理由.
归纳总结
反比例函数与一次函数的图象的交点问题
核心考点4　反比例函数的实际应用(3年1考)
10.(2025贵阳花溪区模拟)AI软件火爆全网说明人工智能已经逐渐融入我们的生活.小明家餐厅为了跟上时代的步伐,购买了一个送餐机器人,这种机器人与地面的接触面积是可以调整的.在水平地面上,当机器人对地面的压力一定时,地面所受压强p与接触面积S之间的关系如表:
地面所受压 强p/Pa … 4× 104 6× 104 8× 104 1× 105 …
接触面积 S/m2 … 1.2× 10-2 8× 10-3 6× 10-3 4.8× 10-3 …
(1)求地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m2)的函数表达式.
(2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道,且这段玻璃通道能承受的最大压强为5×104 Pa,这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平
方米
减小
12.(2025·贵阳二模)如果用眼不科学,坐姿不正确,就容易导致视力下降.经调查发现,近视眼镜的度数y(度)与镜片的焦距x(米)是反比例函数关系,图象如图所示.
(1)求反比例函数解析式;
(2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜,由于用眼不科学,导致视力下降,经复查验光后,所配镜片的焦距调整到了0.25米,小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度
解:(2)将x=0.25代入y=(x>0),得y=400,
400-200=200(度).
答:小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度.
基础过关
B
D
A
D
A
D
C
C
0
-1≤x<0或x≥2
180
素养培优
B
解:(1)令y=0,则2x+4=0,解得x=-2,
∴点A的坐标为(-2,0).
令x=0,则y=4,∴点B的坐标为(0,4).
(2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形,求k的值.
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第13讲　二次函数的图象与性质(3年2考)
1.会通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式,体会二次函数的意义.
2.会用描点法画出二次函数的图象,会利用一些特殊点画草图,通过图象了解二次函数的性质,知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系,会求其图象与坐标轴的交点坐标.
3.会用配方法将数字系数的二次函数化为顶点式,能由此得出其顶点坐标、开口方向、对称轴.
课标要求
4.会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值.
5.知道二次函数和一元二次方程之间的关系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
B
知识梳理
知识点一　二次函数的概念
一般地,形如y=　 　(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫作二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
ax2+bx+c
基础对练
2.串题练透考点 小明在探究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质的过程中,将x与y的几组对应值列表如下:
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -5 0 3 4 m 0 …
根据表格所提供的数据,完成下列习题.
(1)如图所示,在平面直角坐标系中画出函数的图象;
解:(1)画出函数图象如图所示.
(2)该二次函数的解析式为　　　　　,m=　　　　　;
(3)该二次函数图象的开口向　　　　 　,将其解析式化为顶点式为y=
　　　　　　,对称轴为直线　　　　　,顶点坐标为　　　　 　,函数有最　　　　　值,其值为　　　　　;
(4)该二次函数图象与x轴有　　　　　个交点,交点坐标为　　　　　;与y轴的交点坐标为　　　　　;
解:(2)y=-x2+2x+3　3　
(3)下　-(x-1)2+4　x=1　(1,4)　大　4　
(4)2　(-1,0)和(3,0)　(0,3)　
(5)当-2≤x≤5时,y的取值范围为　　　　　;
(6)若二次函数图象上的点A(-3,n)关于对称轴对称的点为点B,则点B的坐标为　　　　;
(7)若(-3,y1),(1,y2),(2,y3)是该函数图象上的点,则y1,y2,y3的大小关系为　　　　　(用“<”连接);
(8)点A(k-1,y1),B(k,y2)都在该函数图象上,若y1　.
知识梳理
知识点二　二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向　 开口向　
对称轴 直线x=　 　 【注:画图象,了解二次函数的性质,知道二次函数的系数与图象形状与对称轴的关系】 上
下
低
高
减小
增大
增大
减小
温馨提示
二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同的性质,在顶点处有最大值或最小值.如果自变量的取值中不包含顶点,那么最大值或最小值在距离对称轴最近处取得.
基础对练
C
2
3
知识梳理
知识点三　二次函数图象的平移
保持抛物线y=ax2的形状不变,使其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法
如下:
温馨提示
点坐标的平移规律:“左减右加,上加下减”;函数图象的平移规律:“左加右减,上加下减”,两者要区分开.
基础对练
5.串题练透考点 根据下列已知条件,求二次函数的解析式.
(1)已知二次函数的顶点在x轴上,且横坐标为1,过另一点(2,-4),则二次函数的解析式为　 　;
(2)已知二次函数的顶点坐标为(2,-2),且其图象经过点(3,1),则该二次函数的解析式为　 　;
(3)已知二次函数的图象经过点(-4,0),(2,0),(0,8),则二次函数的解析式为　 　;
(4)已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1),则二次函数的解析式为　 　.
y=-4(x-1)2
y=3(x-2)2-2
y=-x2-2x+8
y=2x2+3x-4
知识梳理
知识点四　用待定系数法求二次函数的解析式
已知条件 选用解析式的形式 形式
抛物线上三点的坐标 一般式 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数, a≠0)
抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)为抛物线的顶点坐标
抛物线与x轴的两个交点的横坐标 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), x1,x2为抛物线与x轴两个交点的横坐标
基础对练
6.二次函数y=2x2-3x-c(c>0)的图象与x轴的交点情况是( )
A.有1个交点
B.有2个交点
C.无交点
D.无法确定
7.若抛物线y=x2-8x+k与x轴只有一个公共点,则k的值为　 　.
B
16
8.串题练透考点 [人教九上习题改编] 二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示.
(1)方程-x2+bx+c=0的根为　 　;
(2)一元二次不等式-x2+bx+c>0的解集是　 　;
(3)一元二次不等式-x2+bx+c<0的解集是　 　.
x1=-1,x2=5
-1x<-1或x>5
知识梳理
知识点五　二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况
两个交点(x1,0),(x2,0) 有两个不相等的实数根x1,x2,b2-4ac　 　0
>
=
<
2.二次函数与不等式的关系
不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集为二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴　 　方(或　 　方)时对应的x的取值范围.
上
下
基础对练
9.串题练透考点 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0),结合图象填空(填“>”“<”或“=”).
(1)a　 　0,b　 　0,c　 　0;
(2)2a+b　 　0,2a-b　 　0,abc　 　0;
(3)b2-4ac　 　0;
(4)a+b+c　 　0,a-b+c　 　0;
(5)4a+2b+c　 　0,4a-2b+c　 　0;
(6)9a+3b+c　 　0,9a-3b+c　 　0.
<
>
>
=
<
<
>
>
=
>
<
=
<
10.如图所示,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是( )
A.b恒大于0
B.a,b同号
C.a,b异号
D.以上说法都不对
C
知识梳理
知识点六　二次函数的图象与字母系数的关系
项目 字母的符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b b=0 对称轴为y轴
ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
b2- 4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2-4ac>0 与x轴有两个不同交点
b2-4ac<0 与x轴没有交点
特殊 关系 当x=1时,y=a+b+c 当x=-1时,y=a-b+c 若a+b+c>0,即x=1时,y>0 若a-b+c>0,即x=-1时,y>0 核心考点1　二次函数的图象与性质(3年1考)
11.(2024·贵州)如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是( )
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
D
12.已知点(-2,y1),(3,y2),(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1
C
核心考点2　二次函数图象的平移
13.(2025·遵义二模)将抛物线y=x2向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到抛物线的解析式为( )
A.y=(x-2)2-3 B.y=(x+3)2-2
C.y=(x+2)2-3 D.y=(x-3)2+2
14.将抛物线y=-2x2+4x-6先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到新抛物线的顶点坐标为　 　.
A
(2,-1)
核心考点3　根据二次函数图象判断与系数有关的结论(3年1考)
B
核心考点4　二次函数与方程、不等式的关系
16.若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有交点,则c的取值范围是　　.
17.已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点,求a的取值范围;
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点,求a的值;
(3)求证:该二次函数的图象不经过原点.
(2)解:∵二次函数的图象与x轴有交点,
∴Δ=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8=-8(a-1)2≥0.
∴8(a-1)2≤0.
又8(a-1)2≥0,∴8(a-1)2=0.解得a=1.
18.开放性题 (2025·广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点
(c,0),但不经过原点,则该二次函数的解析式可以是　 .
　.(写出一个即可)
y=-x2+x+2(答案
不唯一)
19.几何直观 如图(1)所示,在△ABC中,∠ABC=60°,D是BC边上的一个动点(不与点B,C重合),DE∥AB,交AC于点E,EF∥BC,交AB于点F.设BD的长为x,四边形BDEF的面积为y,y与x的函数图象是如图(2)所示的一段抛物线,其顶点P的坐标为(2,3),则AB的长为　 　.
基础过关
1.将抛物线y=x2+2x-1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为( )
A.(-4,-1) B.(-4,2)
C.(2,1) D.(2,-2)
D
B
3.(2025·贵州一模)下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:
x -1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 m
下列关于这个二次函数的结论中,不正确的是( )
A.图象开口向下
B.抛物线的对称轴为直线x=1
C.当x<1时,y随x的增大而减小
D.m=0
C
4.已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当
x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是( )
A.0C.2≤t≤4 D.t≥2
C
C
7.(2024·贵阳一模)二次函数y=x2-6x+5的图象经过平移,其顶点恰好为坐标原点,则平移的最短距离为　 　.
8.一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2交于A(-1,1)和B(2,4)两点,则当y1>y2时,x的取值范围是　 　.
y2=y3>y1
5
-19.(2025·连云港)如图所示,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线y=
a(x-3)2+2.5运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m,则铅球掷出的水平距离OB为　 　m.
8
10.已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).
(1)求b,c的值;
(2)当-4≤x≤0时,求y的最大值;
解:(1)把(0,-3),(-6,-3)代入y=-x2+bx+c,得b=-6,c=-3.
(2)∵y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6,-4≤x≤0,
∴当x=-3时,y有最大值为6.
(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.
解:(3)①当-3-m2-6m-3,
∴-m2-6m-3+(-3)=2.∴m=-2或m=-4(舍去).
素养培优
11.(2025·天津)在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8 cm,AD=10 cm,BC=
16 cm.动点M从点B出发,以2 cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动;动点N从点C同时出发,以1 cm/s的速度沿边CB向终点B运动.规定其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t s.当t=2 s时,点M,N的位置如图所示.有下列结论:
①当t=6 s时,CN=DM;
②当1≤t≤2时,△BMN的最大面积为26 cm2;
③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39 cm2.其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
C
B
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第11讲　一次函数的图象与性质
1.能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的解析式;会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的解析式.
2.认识正比例函数中两变量之间的对应规律.
3.会画一次函数的图象,求其图象与坐标轴的交点坐标,根据一次函数的解析式y=kx+b(k≠0)探索并理解k值的变化对函数图象的影响.
4.会根据一次函数的图象体会一次函数与二元一次方程的关系.
5.能在实际问题中列出一次函数的解析式,并结合其图象与解析式的性质解决简单的实际问题.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
n=±4
n=4
2
<
3.在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-3的图象是( )
D
A B C D
4.串题练透考点 若函数y=(n-2)x|n|-3-1是关于x的一次函数,且y随x的增大而减小.
(1)n的值为　 　;
(2)该图象经过第　 　象限;
(3)若0≤x<2,则y的取值范围是　 　;
(4)对于此一次函数,下列说法中正确的是( )
A.y随x的增大而增大
B.该函数图象与y轴的交点坐标为(0,1)
C.点(1,1)在该函数的图象上
-4
二,三,四
-13D
知识梳理
知识点一　一次函数的概念及性质
1.一次函数:一般地,如果y=　 　(k,b是常数,k≠0),那么y叫作x的一次函数.
2.正比例函数:特别地,当b　 　时,y=kx+b变为　 　(k是常数,k
≠0),这时y叫作x的正比例函数.
kx+b
=0
y=kx
项目 图象 k>0 k<0 正比例 函数y= kx(k≠0) 一次函数 y=kx+b (k≠0) b>0 b<0 b>0 b<0
增大
减小
(0,b)
知识拓展
1.直线y=kx+b的位置由k和b的符号决定:k决定直线从左向右呈上升还是呈下降趋势,|k|越大,直线越陡;|k|越小,直线越平缓.
2.一次函数的图象是一条直线,但直线不一定是一次函数的图象,如直线x=a不是一次函数的图象.
基础对练
(5)将此函数的图象向上平移2个单位长度,所得函数图象对应的解析式是　 　;
(6)若某一次函数的图象平行于此函数的图象,且经过点A(-1,-3),则此一次函数的解析式是　 　;
(7)若某一次函数的图象垂直于此函数的图象,且经过点P(6,2),则此一
次函数的解析式是　 　.
y=-6x+1
y=-6x-9
知识梳理
知识点二　一次函数图象的平移
知识拓展
对于两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2:
(1)若两个一次函数的图象平行,则k1=k2,且b1≠b2;
(2)若两个一次函数的图象垂直,则k1·k2=-1.
基础对练
5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,5)与(-4,-9).求这个一次函数的解析式.
知识梳理
知识点三　一次函数解析式的确定
设 设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)
列 找出一次函数图象上的两点,将其坐标代入函数解析式,得到二元一次方程组
解 解这个方程组,求出待定系数k,b的值
写 将求得的k,b的值代入,写出一次函数的解析式
基础对练
6.串题练透考点 如图所示,直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1,4).
(1)方程kx+b=0的解是　 　;
(2)不等式kx+b<0的解集是　 　;
(3)kx+b>4的解集是　 　;
x=5
x>5
x<1
(3,2)
(5)根据图象,写出关于x的不等式2x-4≥kx+b的解集是　 　;
(6)根据图象,写出关于x的不等式组0<2x-4x≥3
2知识梳理
知识点四　一次函数与方程(组)、不等式的关系
1.一次函数与一元一次方程的关系
横坐标
2.一次函数与一元一次不等式的关系
(1)从“数”上看:
①kx+b>0的解集是y=kx+b中,y>　 　时x的取值范围;
②kx+b<0的解集是y=kx+b中,y<　 　时x的取值范围;
(2)从“形”上看:
①kx+b>0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴　 　时,对应的x的取值范围;
②kx+b<0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴　 　时,对应的x的取值范围.
0
0
上方
下方
m
n
基础对练
7.如图所示,已知一次函数y=-4x+b的图象过点M,且与y轴交于点N,连接OM.
(1)b的值为　　　　;
(2)△MON的面积为　　　　;
解:(1)-5　(2)5　
(3)若点K在x轴上,S△KON=15,求点K的坐标.
知识梳理
知识点五　一次函数与几何图形
求三角形的面积
基础对练
8.2025年6月14日是“文化和自然遗产日”.今年活动主题为“让文物焕发新活力　绽放新光彩”,宣传口号是“守护文化遗产　建设文化强国”.某商店为了抓住此次活动的商机,决定购进一些纪念品进行销售,若购进A种纪念品16件,B种纪念品8件,需要1 760元;若购进A种纪念品9件,B种纪念品3件,需要750元.
(1)求A,B两种纪念品的单价.
(2)若每件A种纪念品的售价为60元,每件B种纪念品的售价为180元.考虑到市场需求,商店决定购进这两种纪念品共300件,要求购进A种纪念品的数量不多于B种纪念品的数量的7倍,设购进B种纪念品m件,总利润为w元,请写出总利润w(元)与m(件)的函数关系式,并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案.
解:(2)购进A种纪念品(300-m)件,
根据题意,得300-m≤7m,解得m≥37.5,
∵m为非负整数,
∴m≥38,
w=(60-30)(300-m)+(180-160)m=-10m+9 000,
∴w与m的函数关系式为w=-10m+9 000.
∵-10<0,
∴w随m的增大而减小.
∵m≥38,
∴当m=38时,w值最大,
300-38=262(件).
答:购进A种纪念品262件、B种纪念品38件利润最高.
知识梳理
知识点六　一次函数的应用
1.解题步骤:
(1)根据题意设问题中的变量;
(2)建立一次函数模型;
(3)确定自变量的取值范围;
(4)与方程(组)或不等式(组)结合解决实际问题.
2.方案问题:
通常涉及两个相关量,根据所满足的关系式,列不等式,求出某一个变量的取值范围,再根据另一个变量所满足的条件,即可确定有多少种方案.
3.最值问题:
(1)有具体方案时,将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较;
(2)求出函数关系式,由一次函数的增减性确定最值;若为分段函数,应分类讨论,先计算出每个分段函数的最值,再进行比较,最后确定最值.
4.常见类型:
(1)简单应用:一般只涉及一个简单解析式的实际问题,要根据解析式求变量的值、求最大(小)值等;
(2)分段函数问题:函数关系随自变量取值范围的变化而变化,如阶梯收费问题(水费、电费、出租车收费等)、促销问题、计算机程序等;
(3)双图象问题:问题情境涉及两个相关解析式,如方案选择、相遇问
题等.
核心考点1　一次函数的图象与性质
9.(2025·遵义一模)在平面直角坐标系中,一次函数y=-x-1的图象不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
10.(2024·贵州模拟)关于一次函数y=-3x+2,下列说法正确的是( )
A.图象过点(1,1)
B.其图象可由y=3x的图象向下平移2个单位长度得到
C.y随着x的增大而增大
D.图象经过第一、二、四象限
11.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点M(1,2),且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上,则点N的坐标可以是( )
A.(-2,2) B.(2,1) C.(-1,3) D.(3,4)
D
D
12.(2025·天津)将直线y=3x-1向上平移m个单位长度,若平移后的直线经过第三、第二、第一象限,则m的值可以是　 　(写出一个即可).
2(答案不唯一)
核心考点2　一次函数与方程(组)、不等式的关系
13.(2025·贵阳一模)一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b<0的解集为( )
A.x>2 B.x<2
C.x>3 D.x<3
A
D
15.(2025·贵阳二模)如图所示,已知直线y1=2x+3与直线y2=kx+b(k≠0)交于点(n,6),则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为　 　 .
核心考点3　一次函数的应用
典例精析
例 (2025·河南)为助力乡村振兴,支持惠农富农,某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元;4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元.
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价.
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱,且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数.该公司最少需花费多少元
解:(2)设购买甲种苹果a箱,则购买乙种苹果(12-a)箱,
由题意,得12-a≤a,解得a≥6,
设该公司需花费w元,则w=100a+80(12-a)=20a+960,
∵20>0,∴w随a的增大而增大.
∴当a=6时,w有最小值为20×6+960=1 080,
即该公司最少需花费1 080元.
真题对练
16.遵义市开展信息技术与教学深度融合的精准化教学,某实验学校计划购买A,B两种型号教学设备,已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%,用30 000元购买A型设备的数量比用15 000元购买B型设备的数量多4台.
(1)A,B型设备单价分别是多少元
w=3 000a+2 500(50-a)=500a+125 000,
∵500>0,∴w随a的增大而增大.
∴当a=13时,w取得最小值,最小值为500×13+125 000=131 500.
答:最少购买费用为131 500元.
归纳总结
运用一次函数图象及其性质可以帮助我们解决实际生活中的许多问题,如利润最大、成本最低、话费最省、最佳设计方案等问题,我们应善于总结规律,达到灵活运用的目的,应用一次函数解决实际问题常见的三种题型:(1)建立函数模型,然后借助方程或不等式或函数图象来解决方案选择问题;(2)利用一次函数的图象和性质,如增减性结合定义域区间等来解决生活中的最优化问题,它常与方程(组)或不等式(组)一起考查; (3)与分段函数相关的实际问题,要注意理清分段的标准.
17.综合与实践 某中学科学小组连续监测了25 ℃恒温下一种鸡蛋品质变化的情况,其中一项监测指标为蛋黄指数(蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标,蛋黄指数越高,蛋黄弹性越大,鸡蛋越新鲜).下表是该小组同学记录的储存时间x(单位:天)和该品种鸡蛋的蛋黄指数y的部分数据:
储存时间x/天 0 5 10 15 20 …
蛋黄指数y 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 …
(1)在平面直角坐标系中描出数据对应的点并用平滑的曲线连接.观察图象,蛋黄指数y与储存时间x之间可能是　　　　　(选填“一次”“二次”或“反比例”)函数关系.
解:(1)如图所示.一次
(2)根据以上判断,求y关于x的关系式.
(3)当鸡蛋的蛋黄指数低于0.18时,鸡蛋不能食用,那么这种鸡蛋30天后还能食用吗
解:(3)将x=30代入y=-0.01x+0.45,得
y=-0.01×30+0.45=0.15.
∵0.15<0.18,
∴这种鸡蛋30天后不能食用.
基础过关
1.正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则k的值可能是( )
A
3.(2025·陕西)在平面直角坐标系中,过点(1,0),(0,2)的直线向上平移3个单位长度,平移后的直线经过的点的坐标可以是( )
A.(1,-3) B.(1,3)
C.(-3,2) D.(3,2)
A
B
4.(2025·六盘水期末)已知正比例函数y=kx(k为常数,k≠0),若y的值随着x值的增大而减小,则一次函数y=kx+k在平面直角坐标系中的图象可能是( )
C
5.如图所示,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点是( )
A
6.(2025·贵阳模拟)一次函数y1=mx+n和一次函数y2=ax+b的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.a>0
B.n<0
C.2(a-m)=b-n
D.当x<-2时,y1>y2
C
A B C D
C
8.开放性题 已知直线y=kx+b(k,b是常数)经过点(1,1),且y随x的增大而减小,则b的值可以是　 　(写出一个即可).
9.如图所示,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴,y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为　 　.
2(答案不唯一)
x=-2
x>3
11.如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OABC各顶点的坐标分别是
O(0,0),A(1,2),B(3,3),C(5,0),则四边形OABC的面积为　 　.
9
素养培优
B
13.(2025·贵阳一模)贵州玉屏侗族自治县被誉为“箫笛之乡”.某中学举办“箫笛艺术节”活动,现需购买玉箫、玉笛若干支.已知玉箫单价比玉笛单价高10元,用1 000元购买的玉箫数量与用800元购买的玉笛数量相同.
(1)玉箫和玉笛的单价各是多少元
(2)学校计划购买玉箫与玉笛共30支,且玉箫的数量不少于玉笛数量的2倍,则学校最少需花费多少元
解:(2)设学校计划购买玉箫m支,玉笛(30-m)支,
根据玉箫的数量不少于玉笛数量的2倍,得m≥2(30-m),解得m≥20.
设总费用为w元,则w=50m+40(30-m)=10m+1 200.
∵10>0,∴w随m的增大而增大.
∴当m=20时,w取最小值,为10×20+1 200=1 400.
答:学校最少需花费1 400元.
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第10讲　平面直角坐标系与函数初步(3年5考)
第三单元　函数及其图象
1.理解平面直角坐标系的有关概念,能画出平面直角坐标系;在给定的平面直角坐标中,能根据坐标描出点的位置,由点的位置写出点的坐标.
2.在实际问题中,能建立适当的平面直角坐标系,描述物体的位置.
3.在平面上,运用方向角和距离刻画两个物体的相对位置.
4.在平面直角坐标系中,能写出几何图形关于坐标轴对称时,对称点的坐标.
5.在平面直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标.
课标要求
6.能识别简单实际问题中的常量、变量及其意义,并能找出变量之间的数量关系及变化规律,形成初步的抽象能力.
7.了解函数的概念和表示法,能举出函数的实例,初步形成模型观念.
8.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,理解函数值的意义.
9.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.
10.能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息,发现变量间的变化规律.
11.能结合函数图象对简单实际问题中的函数关系进行分析,结合对函数关系的分析,能对变量的变化趋势进行初步推测.
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.串题练透考点 已知平面直角坐标系内的点A(a+1,2a-3).
(1)若点A在第一象限,则a的取值范围是　 　;
(2)若点A在第四象限,则a的取值范围是　 　;
(3)若点A在第三象限,则a的取值范围为　 　;
(4)若点A在x轴上,则a=　 　;若点A在y轴上,则a=　 　;
(5)若点A在第一、第三象限的角平分线上,则a=　 　.
a<-1
-1
4
2.已知点A(2a,a+3),B(a-1,2a),若AB∥y轴,则点A的坐标是　 　;若AB∥x轴,则点A的坐标是　 　.
(-2,2)
(6,6)
知识梳理
知识点一　平面直角坐标系及点的坐标特征
各象限内点的坐标特征
【切记:坐标轴上的点不属于任何象限】
坐标轴上点的坐标特征 点P(x,y)在x轴上 　 　=0;
点P(x,y)在y轴上 　 　=0;
原点的坐标为　 　
【小结:平面内的点与有序实数对一一对应】
y
x
(0,0)
象限角平分线上点的坐标特征　　 第一、第三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标　 　;
第二、第四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标　
平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征　　　 平行于x轴的直线上的点的　 　坐标相等;
平行于y轴的直线上的点的　 　坐标相等
相等
互为相反数
纵
横
基础对练
3.串题练透考点 [人教七下习题改编] 在平面直角坐标系中,已知点P的坐标为(-2,2),请完成下列问题:
(1)点P到x轴的距离为　 　,点P到y轴的距离为　 　,点P到原点的距离为　 　,点P与点(1,-1)之间的距离为　 　;
(2)若点M是y轴上一点,PM∥x轴,则点M的坐标为　 　;点P和M之间的距离为　 　;
(3)点A的坐标为(2,1),已知AB∥y轴,且AB=3,则点B的坐标为　 .
　;若AC∥x轴,且AC=4,则点C的坐标为　 　.
2
2
(0,2)
2
(2,4)或
(2,-2)
(6,1)或(-2,1)
知识梳理
知识点二　平面直角坐标系中的距离
点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到x轴的距离为　 　;
点P(x,y)到y轴的距离为　 　;
点P(x,y)到原点的距离为　 　
平行于坐标轴的直线上两点间的距离 平行于x轴的直线a上的两点P1(x1,y)和P2(x2,y) 纵坐标相等 P1P2=|x1-x2|;平行于y轴的直线b上的两点Q1(x,y1)和Q2(x,y2) 横坐标相等,Q1Q2= |y1-y2|
|y|
|x|
基础对练
(4)点P关于x轴对称点的坐标为　 　;点P关于y轴对称点的坐标为　 　;点P关于原点对称点的坐标为　 　;
(5)将点P先向右平移2个单位长度,其对应点的坐标为　 　,再向下平移1个单位长度,其对应点的坐标为　 　.
(-2,-2)
(2,2)
(2,-2)
(0,2)
(0,1)
4.[人教七下习题改编] 如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B的坐标分别是(0,2),(2,-1).将△ABC依次沿两个坐标轴方向平移后得到△A′B′C′,若点A的对应点A′的坐标是(-1,0),则点B的对应点
B′的坐标是　 　.
(1,-3)
知识梳理
知识点三　点的对称与平移
图形变换 点的坐标规律 图示
对称变换 关于 x轴 点A(a,b)关于x轴的对称点为B　 　
关于 y轴 点A(a,b)关于y轴的对称点为C　 　 关于 原点 点A(a,b)关于原点的对称点为D　 　 (a,-b)
(-a,b)
(-a,-b)
平移变换 左右 平移 将点P(x,y)向右或向左平移a(a>0)个单位长度,得到的对应点的坐标是(　 　,y)或(　 　,y)
上下 平移 将点P(x,y)向上或向下平移b(b>0)个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,　 　)或(x,　 　)
x+a
x-a
y+b
y-b
基础对练
5.[人教八下习题改编] 如图所示,下列图象能表示y是x的函数的是( )
B
A　 B　 C　 D
6.用列表法和解析式法表示n边形的内角和m(单位:度)关于边数n的
函数.
解:列表法表示为:
边数n 3 4 5 6 …
内角和m/度 180 360 540 720 …
解析式法表示为m=180(n-2)(n≥3,且n为整数).
知识梳理
1.自变量与函数:
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有　 　的值与之对应,那么y是x的函数,其中　 　是自变量.
2.函数的表示方法:
(1)　 　 ;(2)　 　;(3)　 　.
3.由函数的解析式画函数图象的一般步骤:
(1)　 　;(2)　 　;(3)　 　.
唯一确定
x
列表法
图象法
解析式法
列表
描点
连线
基础对练
x≠0
C
知识梳理
知识点五　函数自变量的取值范围
整式型 全体　 　数
分式型 使分母不为　 　的实数
偶次根式型 使被开方数为　 　的实数
零(负整数) 次幂的底数 使底数不为　 　的实数
混合型 各个代数式中自变量取值范围的　 　部分
实
零
非负数
零
公共
核心考点1　平面直角坐标系中点的坐标特征(3年3考)
9.(2025·贵阳模拟)贵阳老城“九门四阁”之一的大西门城门楼亮相,再现了贵阳老城的历史文化风采.若将次南门的位置记为原点O,建立如图所示的直角坐标系,则可以表示“大西门城门楼”位置的坐标是( )
A.(3,1) B.(-3,-1)
C.(-3,1) D.(3,-1)
C
10.(2025·贵州)如图所示,在平面直角坐标系中有A,B,C,D四点,根据图中各点位置判断,哪一个点在第四象限( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
11.(2025·湖南)在平面直角坐标系中,将点P(-3,2)向右平移3个单位长度到P1处,则点P1的坐标为( )
A.(-6,2) B.(0,2)
C.(-3,5) D.(-3,-1)
D
B
12.(2025·铜仁模拟)在平面直角坐标系中,线段AB的端点分别为A(1,3),B(2,2),将线段AB平移到A1B1,且点A1的坐标为(5,4),则点B1的
坐标为( )
A.(6,3) B.(3,6)
C.(4,5) D.(5,4)
A
核心考点2　函数自变量的取值范围
A
D
x>-3且x≠-2
核心考点3　函数图象的分析与判断(3年2考)
典例精析
例 (2025·遵义一模)王明从家步行到公交车站台,然后等公交车去单
位.下公交车后又步行了一段路程才到单位.图中的折线表示王明的路程s(m)与所花时间t(min)之间的函数关系.下列说法正确的是( )
A.王明等公交车时间为5 mim
B.王明步行的速度是60 m/min
C.王明全程的平均速度为290 m/min
D.公交车的速度是500 m/min
D
真题对练
16.(2023·贵州)今年“五一”假期,小星一家驾车前往黄果树景点旅
游,在行驶过程中,汽车离黄果树景点的路程y(km)与所用时间x(h)之间
的函数关系的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.小星家离黄果树景点的路程为50 km
B.小星从家出发第1小时的平均速度为75 km/h
C.小星从家出发2 h离景点的路程为125 km
D.小星从家出发到黄果树景点共用了3 h
D
归纳总结
分析与判断符合实际问题的函数图象时,需遵循以下几点:
(1)明确“两轴”所表示的意义;
(2)找特殊点:即交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化;
(3)判断图象趋势:向上倾斜的直线或曲线,表示函数值随自变量的增大而增大;与x轴平行的直线表示函数值随自变量的增大而保持不变;向下倾斜的直线或曲线,表示函数值随自变量的增大而减小.
17.跨生物学科 生物学研究表明,当光合作用与呼吸作用强度的差越大时,植物体内积累的有机物越多,产量也就越高.为了解某经济作物的产量与种植密度的关系,研究人员通过试验得到该经济作物的种植密度分别与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系,其图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后不变
B.种植密度越大,该经济作物的产量越高
C.种植密度为d时,该经济作物的产量最高
D.种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量
D
基础过关
1.(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),
(0,0),则“技”所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
2.(2025·湖北)如图所示,平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若
A(-1,2),则点C的坐标是( )
A.(2,-1) B.(-2,1)
C.(1,-2) D.(-1,-2)
3.跨语文学科 (2025·遵义开学考试)《宋史·司马光传》中记载:群儿戏于庭,一儿登瓮,足跌没水中.众皆弃去,光持石击瓮破之,水迸,儿得
活.下面图　　　　比较符合故事情节( )
C
D
4.跨物理学科 把多个用电器连接在同一个插线板上,同时使用一段时间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究,得到时长一定时,插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象[如图(1)所示],插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象[如图(2)所示].下列结论中错误的是( )
A.当P=440 W时,I=2 A
B.Q随I的增大而增大
C.I每增加1 A,Q的增加量相同
D.P越大,插线板电源线产生的热量Q越多
C
图(1)
图(2)
6.(2025·贵州二模)小军、小刚两人沿同一直道从A地到B地,若在整个行程中,他们都是匀速直线运动,小军、小刚离A地的距离s与时间t之间的函数关系如图所示,则小军的速度v小军与小刚的速度v小刚的数量关系
是v小军=　 　v小刚.
x≥-2
7.在平面直角坐标系中,点P(5,-1)关于y轴对称的点的坐标是　 .
8.开放性题 (2025·德阳)△ABC在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(3,
0),如果△ABC的面积为1,那么点C的坐标可以是　 　.
(只需写出一个即可)
(-5,-1)
(2,1)(答案不唯一)
素养培优
9.(2024·河北)在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数,且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移,每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时,向右平移;当余数为1时,向上平移;当余数为2时,向左平移),每次平移1个单位长度.
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后,到达点Q16(-1,9),则点Q的坐标为
　 　.
(5,1)或(7,1)
10.小王前往距家2 000 m的公司参会,先以v0(m/min)的速度步行一段时间后,再改骑共享单车直达会议地点,到达时距会议开始还有14 min,小王距家的路程s(单位:m)与距家的时间t(单位:min)之间的函数图象如图所示.若小王全程以v0(m/min)的速度步行,则他到达时距会议开始还有
　 　min.
5
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第14讲　二次函数的实际应用(3年3考)
1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义.
2.会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应的自变量的值,能利用二次函数解决简单的实际问题.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
10
2.[人教九上复习题改编] 如图所示,用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,要使菜园的面积最大,则平行于墙面的边长为　 　.
15 m
3.[人教九上“探究2”改编] 某药店购进了一批口罩,每包进价10元,每包售价定为25元时,每天销售1 000包.经过一段时间调查,发现每包售价每上涨1元,每天就少卖40包.其销售单价不低于进价,销售利润率不高于180% .设每包售价为x元(x为正整数).
(1)写出x的取值范围为　　　　　;
解:(1)10≤x≤28
(2)设每天的总利润为w元,当每包售价定为多少元时,该药店每天的利润最大 最大利润是多少元
解:(2)由题意,得w=(x-10)[1 000-40(x-25)],
即w=-40x2+2 400x-20 000=-40(x-30)2+16 000,
∵a=-40<0,∴抛物线开口向下,w有最大值.
∵10≤x≤28,当x<30时,w随x的增大而增大,
∴当x=28时,w有最大值,是-40×(28-30)2+16 000=15 840.
答:当每包售价定为28元时,该药店每天的利润最大,最大利润是15840元.
知识梳理
知识点一　二次函数的实际应用
1.解题步骤
(1)根据题意列出二次函数的解析式;
(2)根据已知条件确定自变量的取值范围;
(3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围求出最大(小)值.
温馨提示
二次函数的最大(小)值不一定是实际问题的最大(小)值,一定要结合实际问题中的自变量的取值范围确定最大(小)值.
2.常考题型
类型一　实物抛物线
类型二　二次函数在面积问题中的应用
温馨提示
运用二次函数的性质求实际问题中的最大值和最小值的一般方法是:①列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;②配方或利用公式求顶点;③检查顶点是否在自变量的取值范围内或检查所求最值是不是符合要求.
a.若函数的对称轴在自变量的取值范围内,顶点纵坐标即为其最值.
b.若函数的对称轴不在自变量的取值范围内,可根据函数的增减性求解,再结合自变量在两端时函数值的对比,从而求解出最值.
基础对练
4.如图所示,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点.
(1)b=　　　　,c=　　　　,顶点的坐标为　　　　;
(2)该二次函数的图象上是否存在点P,使△PAB的面积为6,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
知识梳理
知识点二　二次函数与几何综合
1.最值问题
2.存在性问题
注意灵活运用数形结合思想,可先假设存在,再借助已知条件求解,如果有解(求出的结果符合题目要求),则假设成立,即存在;如果无解(求出的结果不符合题目要求),则假设不成立,即不存在.
3.动点问题
通常利用数形结合、分类讨论和转化思想,借助图形,切实把握图形运动的全过程,动中取静,选取某一时刻作为研究对象,然后根据题意建立方程模型或者函数模型求解.
核心考点　二次函数的实际应用(3年3考)
类型一　利润问题
例1 串题练透考点 [人教九上“探究2”改编]某超市销售一种商品, 每件成本为50元,销售人员经调查发现,销售单价为100 元时,每月的销售量为50件,而销售单价每降低2元,则每月可多售出10件,且要求销售单价不得低于成本.
典例精析
(1)求该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式(不需要求自变量取值范围);
单价x/元 100 x
销售量y/件 50 　　　　
解:(1)550-5x
(2)若使该商品每月的销售利润为4 000元,并使顾客获得更多的实惠,销售单价应定为多少元(温馨提示:注意题干上描述的前提条件“要求销售单价不得低于成本”)
解:(2)依题意,得(-5x+550)(x-50)=4 000,
解得x1=70,x2=90.
∵为使顾客获得更多的实惠,
∴销售单价应定为70元.
(3)超市的销售人员发现:当该商品每月销售量超过某一数量时,会出现所获利润反而减小的情况,为了使每月所获利润最大,该商品销售单价应定为多少元
解:(3)设每月总利润为w元,依题意,得w=(-5x+550)(x-50)=-5x2+800x-27 500=-5(x-80)2+4 500,
∵-5<0,
∴当x=80时,w有最大值,最大值为4 500.
∴为了每月所获利润最大,该商品销售单价应定为80元.
真题对练
5.(2024·贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数解析式;
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少
解:(2)设日销售利润为w元,根据题意,得
w=(x-10)(-2x+80)=-2(x-25)2+450,
∴当x=25时,w有最大值为450,
∴糖果销售单价定为25元时,所获日销售利润最大,最大利润是450元.
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.
类型二　抛物线形问题
例2 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏:将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上,从箱外向箱内投乒乓球.建立如图所示的平面直角坐标系(长方形ABCD为箱子截面图,x轴经过箱子底面中心,并与其一组对边平行,AB=CD=1 m,OB=BC=2 m),小明站在原点,将乒乓球从距离水平地面1.5 m高的P处抛出,乒乓球运行轨迹为抛物线,当乒乓球离小明1 m时,达到最大高度2 m.
(1)求抛物线的解析式;
典例精析
解:(1)由题意,得P(0,1.5),抛物线的顶点坐标为(1,2),
设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a≠0),
∵抛物线y=a(x-1)2+2经过点P(0,1.5),
∴1.5=a+2.∴a=-0.5.
∴抛物线的解析式为y=-0.5(x-1)2+2,
即y=-0.5x2+x+1.5
(2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子,请通过计算说明.
解:(2)能,理由如下:
当x=2时,y=1.5>AB,
当y=0时,-0.5x2+x+1.5=0,
解得x1=-1(舍去),x2=3,
∴乒乓球在运行中,高于AB,并落在BC的中点处.
∴小明抛出的乒乓球能投入箱子.
真题对练
(2)在(1)的条件下,若FG=4,在水面上有一个截面宽AB=1,高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物,点A的坐标为(4.5,0),判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物 请说明理由.
7.跨生物学科 (2025·山东)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象,下列结论正确的是( )
A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小
B.当x=2 000时,y有最大值
C.当y≥0.6时,x≥1 000
D.当y=0.4时,x=600
B
汽车在反应过程保持原速度匀速运动,制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示:
原速度x/( km/h) 0 20 40 60 80 …
制动距离S2/m 0 2 8 18 32 …
(1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线,并求出S2与x的函数关系式;
解:(1)图象如图所示:
(2)当行驶速度为60 km/h时,求刹车距离S.
基础过关
1.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s;
②小球运动中的高度可以是30 m;
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
3.如图(1)所示为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图(2)所示是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车　 　(选填“能”或“不能”)完全停到车棚内.
能
图(1)
图(2)
素养培优
销售价格x/(元/千克) 2 4 … 10
市场需求量q/(百千克) 12 10 … 4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克,且不高于10元/千克.
(1)求q与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;
(2)当每天的产量不大于市场需求量时,求厂家每天获得的利润y(百元)的最大值.
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