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(共33张PPT)
第17讲　全等三角形(3年3考)
理解全等三角形的概念,能识别全等三角形的对应边、对应角,掌握三角形全等的三个基本事实,证明“AAS”定理.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.如图所示,△ABC≌△DCB,若AC=8,BE=4,AB=4,∠A=60°,∠ACB=30°,则ED=　 　,CD=　 　,CE=　 　,∠D=　 　°,∠ABD=　 　°.
4
4
4
60
60
知识梳理
知识点一　全等三角形及其性质
1.概念:能够完全　 　的两个三角形叫作全等三角形.
2.全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边　 　,对应角　 　;
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线)　 　、周长
　 　、面积　 　.
重合
相等
相等
相等
相等
相等
基础对练
2.一题多解练透考点 如图所示,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,
AB∥DE,有下列条件:①AC=DF;②∠A=∠D;③BE=CF;④AC∥DF.请从中选择一个条件,使△ABC≌△DEF,并说明理由.
解:(答案不唯一)∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEF.选②.
∵AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠DEF,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
3.如图所示,B是AD的中点,BC∥DE,BC=DE.求证:∠C=∠E.
知识梳理
知识点二　全等三角形的判定
1.全等三角形的判定方法:
已知条件 图示 是否全等 形成结论
三边相等 是 SSS
两角 一边 两角及其夹边相等　 是 ASA
两角及其一角的对边相等　 是 AAS
两 边 一 角 两边及其夹角相等　 是 SAS
两边及其一边的对角相等　 直角三 角形　 是 HL
一般三 角形　 不一定
三个角相等 不一定
2.三角形全等的证明思路(已知边或角对应相等)
核心考点　全等三角形的判定与性质(3年3考)
4.(2025·贵州模拟)如图所示,在△ABC和△BDE中,再添两个条件不能使△ABC和△BDE全等的是( )
A.AB=BD,AE=DC
B.AB=BD,DE=AC
C.BE=BC,∠E=∠C
D.∠EAF=∠CDF,DE=AC
B
5.(2025·铜仁模拟)如图所示,△ABC和△ADE均为等边三角形,点B,D,E在同一直线上,若∠EBC=35°,则∠ECA的度数为( )
A.35° B.25°
C.30° D.45°
B
6.(2025·遵义红花岗区一模)如图所示,在△ABC中,D是BC上一点,E为△ABC外部一点,连接DE交AC于点O,BC=DE,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE.
(1)求证:AD=AB;
(2)若∠ADE=74°,求∠CDE的度数.
(2)解:∵△ABC≌△ADE,∴∠ADE=∠B=74°.
∵AD=AB,∴∠B=∠ADB=74°.
∴∠CDE=32°.
7.(2025·贵阳白云区模拟改编)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为AC边上的中点,E为边BC上一点,连接DE,过点D作DF⊥DE交AB的延长线于点F,连接EF,已知CE=2,EF=6,求AF的长.
解:延长ED到G,使DG=DE,连接FG,AG,如图所示.
∵DF⊥DE,CE=2,EF=6,
∴DF是线段EG的垂直平分线.
∴FG=EF=6.
8.推理能力 如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,CD平分∠ACB,
BE⊥CD,垂足在CD的延长线上,AD=1.
(1)AC的长为　　　　　;
(2)求线段BE长度的平方.
1.[人教八上习题改编]如图所示,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA′,BB′的中点,只要量出A′B′的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
A
基础过关
2.(2025·威海)我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.下列条件中,不能判断四边形ABCD是筝形的是( )
A.BO=DO,AC⊥BD
B.∠DAC=∠BAC,AD=AB
C.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA
D.∠ADC=∠ABC,BO=DO
D
3.下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图所示,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)作射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;以点C′为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点D′;
(3)过点D′作射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′=∠AOB,其中△C′O′D′≌△COD判定的依据是( )
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
A
4.开放性题 如图所示,△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件　 　,使得AE=CE(只添一种情况即可).
DE=EF(答案不唯一)
5.如图所示,在△ABC中,∠BAC=45°,高AD,CE交于点H.若AB=19,CE=12,则CH=　 　.
5
6.(2025·南充)如图所示,在五边形ABCDE中,AB=AE,AC=AD,∠BAD=
∠EAC.
(1)求证:△ABC≌△AED;
(2)求证:∠BCD=∠EDC.
证明:(2)∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC.
由(1)可知:△ABC≌△AED,
∴∠ACB=∠ADE.
∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC.
∴∠BCD=∠EDC.
7.(2025·河北)如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,
∠ACB=∠ADB,点F在ED上,∠BAF=∠EAD.
(1)求证:△ABC≌△AFD;
证明:(1)∵AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,点F在ED上,
∴∠ACB=∠ADF.
∵∠BAF=∠EAD,∴∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF.∴∠BAC=∠FAD.
(2)若BE=FE,求证:AC⊥BD.
证明:(2)由(1)得△ABC≌△AFD,
∴AB=AF.
∵BE=FE,
∴AC⊥BF,即AC⊥BD.
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为　 　.
3
素养培优
5
10.如图所示,已知在△ABC中,AD⊥BC于点D,E为AC上一点,且BF=AC,DF=
DC.若AC=5,DF=3,则AF的长为 　.
1
11.如图所示,已知∠ABC=∠ADE=90°,AB=BC,AD=DE,其中点D是边BC所在射线上一动点(点D不与B,C重合),连接AC,EC,则∠DCE的度数为　 .
　.
135°
或45°
谢谢观赏！(共41张PPT)
第16讲　三角形及其性质
1.理解三角形及其内角、外角、中线、高、角平分线等概念,了解三角形的稳定性、探索并证明三角形的中位线定理.
2.探索并证明三角形的内角和定理,掌握它的推论,证明三角形的三边关系定理.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.串题练透考点 已知△ABC.
(1)若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则△ABC按角分是　 　三角形;
(2)△ABC的周长是14,三边之比是3∶3∶1,则△ABC按边分是　 　三角形.
直角
等腰
知识梳理
知识点一　三角形的分类
直角
等边
基础对练
2.[人教八上练习改编]下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是
( )
A.1,2,3 B.3,4,5 C.4,5,10 D.6,9,2
3.[人教八上习题改编]已知在等腰三角形ABC中,AB=8.
(1)若BC=6,则△ABC的周长是　 　;
(2)若BC=3,则△ABC的周长是　 　;
(3)若△ABC的周长是18,则另外两边的长分别为　 . 　
B
20或22
19
5,5或8,2
4.如图所示,点D是△ABC的边AC上一点,点O是BD上一点,连接CO.
(1)若∠1=25°,∠2=20°,∠BOC=　 　°;
(2)若∠4=25°,∠A=60°,则∠3=　 　°;
(3)∠BOC　 　∠3　 ∠A(选填“>”“<”).
135
85
>
>
知识梳理
知识点二　三角形的有关性质
1.三角形的三边关系定理:
三角形的两边之和　 　第三边,三角形的两边之差　 　第三边.
温馨提示
只需要判断两条较小线段的长度之和是否大于最长线段,即可判断三条线段能否构成一个三角形.
2.三角形具有稳定性.
大于
小于
3.与三角形的角有关的定理:
(1)内角和定理:三角形三个内角的和等于　 　;
(2)外角和等于　 　;
(3)内外角关系:三角形的一个外角等于与它　 　的两个内角的和,并且大于其中任何一个与它　 　的内角.
180°
360°
不相邻
不相邻
基础对练
5.串题练透考点 如图所示,在Rt△ABC中,AD是高,AE是中线,EF垂直平分AB交AB于点F,∠ACD的平分线CP交AD于点P.
(1)若△AEF的面积是2,BC=8,则△ABE的面积是　 　,△ABC的面积是
　 　,AD=　 　;
4
8
2
(2)若AB=6,BC=8,则△ABE的周长是　 　;
(3)若∠ACB=60°,则∠DAC=　 　,∠PCD=　 　;
(4)若PD=1,AC=2,则△APC的面积是　 　;
(5)若AC=2,则EF=　 　,EF　 　AC(位置关系),∠BAC=　 　.
14
30°
30°
1
1
∥
90°
知识梳理
知识点三　与三角形有关的重要线段
类型 图示 性质 拓展
中线 重心:三角形三条中线的交点.重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍,如AO=2OD
S△ACD
高 垂心:三角形三条高的
交点
角平分线 内心:三角形三条角平分线的交点.内心到三角形
　 　的距离相等
∠BAC
三边
中垂线 AM=BM且OM⊥AB, BN=CN且ON⊥BC 外心:三角形三条边垂直平分线的交点.外心到三角形三个　 　的距离相等
中位线 △ADE∽△ABC,它们的相似比为　 　,面积比为
　 　
顶点
BC
1∶2
1∶4
核心考点1　三角形中的特殊线段
6.如图所示,将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠,则AD是△ABC的高的是( )
D
7.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD,AE,BF分别是△ABC的高、中线和角平分线,下列结论错误的是( )
A.∠ABF=∠CBF
B.∠ABC=∠CAD
C.S△ABE=S△ACE
D.AF=CF
D
8.如图所示,△ABC的周长是16,AD是BC边上的中线,AB=6,CD=3,则△ABD与△ACD的周长之差为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
A
B
10.(2025·连云港)如图所示,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
核心考点2　三角形的三边关系
11.(2025·铜仁市模拟)小颖同学有长度分别为4 cm和6 cm的两根木条,想再找一根木条与它们首尾相接组成三角形,则所找木条的长可以是
( )
A.2 cm B.4 cm
C.10 cm D.11 cm
12.已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长为( )
A.9 B.17或22 C.17 D.22
B
D
13.如图(1)所示,将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形,其中左右两侧矩形的宽相等,若要将其围成如图(2)所示的三棱柱形物体,则图中a的值可以是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
B
14.四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
B
核心考点3　三角形内、外角的有关计算
15.(2024·贵阳白云区模拟)下列图形中,∠2大于∠1的是( )
D
16.如图所示,一把直尺的边缘AB经过一块三角板DCB的直角顶点B,交斜边CD于点A,直尺的边缘EF分别交CD,BD于点E,F,若∠D=60°,∠ABC=
15°,则∠1的度数为　 　度.
45
17.如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABC的外角平分线,若∠DAC=
20°,则∠EAC=　 　.
70°
18.(2025·西安模拟)如图所示,在△ABC中,D,E分别为AB,AC边的中点,
BF=2CF,连接EF,交DC于点M,若DC=10,则MC的长为( )
B
19.(2025·昭通模拟)如图所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,AE是它的中线,AB=5,AC=3,BC=7,则ED长为( )
C
1.如图所示,小明和亮亮分别站在池塘岸边的点A,B处,为了估计他们之间的距离,笑笑在池塘一侧选取一点O,测得OA=13 m,OB=10 m,则小明和亮亮之间的距离不可能是( )
A.5 m B.10 m
C.22 m D.25 m
D
基础过关
2.下列说法错误的是( )
A.三角形的高、中线、角平分线都是线段
B.三角形的三条中线一定交于同一点
C.三角形的三条角平分线一定交于同一点
D.三角形的三条高一定交于同一点
D
3.(2025·贵州清镇期中)空调室外机安装在墙上时,一般都会采用如图所示的方法固定,这种方法应用的几何原理是( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.三角形的稳定性
D.垂线段最短
C
4.(2025·南充)如图所示,把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上,则∠α的度数是( )
A.120° B.130°
C.140° D.150°
D
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,线段AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,则△BDC的周长为( )
A.21 B.14
C.13 D.9
C
6.(2025·广东)如图所示,点D,E,F分别是△ABC各边上的中点,∠A=
70°,则∠EDF等于( )
A.20° B.40°
C.70° D.110°
C
7.如图所示,AD,CE是△ABC的中线,连接ED,△ABC的面积是10,则△EDC的面积是( )
A.7.5 B.5
C.3 D.2.5
D
C
9.如图所示,已知在△ABC中,∠A=40°,将一块直角三角板放在△ABC上,使三角板的两条直角边分别经过B,C,直角顶点D落在△ABC的内部,则
∠ABD+∠ACD等于( )
A.90° B.60°
C.50° D.40°
C
10.如图所示,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠B=60°,∠D=
45°,AC与DE相交于点F.若BC∥AE,则∠AFE的度数为　 　.
105°
11.(2025·江苏南通)如图所示,DE是三角形ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF等于( )
A.4 B.3
C.2.5 D.1.5
D
素养培优
12.如图所示,在△ABC中,点D在BA的延长线上,点E在BC边上,连接DE交AC于点F,已知∠DFC=3∠B=123°,∠C=∠D,则∠BED的度数为( )
A.102° B.98°
C.88° D.82°
B
13.(2025·德阳)△ABC在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(3,0),如果
△ABC的面积为1,那么点C的坐标可以是　 .
　(只需写出一个即可).
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,D是AC的中点,连接BD,E是BD的中点,连接CE,若AB=3CD,CE=4,则AB的长为　 　.
(2,1)(答案不唯一,纵坐标绝对
值为1即可)
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第18讲　等腰三角形与直角三角形(3年5考)
1.理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定.
2.探索等边三角形的性质与判定.
3.理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质与判定.
4.探索勾股定理及其逆定理,并能应用它们解决一些简单的实际问题.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.串题练透考点 [人教八上练习改编]如图所示,△ABC中,AD⊥BC于点D且平分BC,BE平分∠ABC.
(1)若BC=6,∠BAC=36°,BD=　 　,∠BAD=　 　,
∠ACB=　 　 ,∠ABE=　 　;
(2)若AB=5,BC=6,AD=　 　,△ABC的面积是　 　;
(3)若∠BAC=36°,图中有　 　个等腰三角形,分别是
　.
3
18°
72°
36°
4
12
3
△ABC,△ABE和△BEC
2.(1)[分类讨论思想]等腰三角形的一个内角为50°,则它的一个底角的度数是　 　;
(2)等腰三角形一个外角是100°,则它的顶角的度数是　 　.
50°或65°
80°或20°
知识梳理
知识点一　等腰三角形
图形
性质 等腰三角形的两腰相等(图中AB=AC);
等腰三角形的两个底角　 　(简称“等边对等角”,图中∠B=　 　);
等腰三角形的顶角　 　、底边上的　 　、底边上的　 　重合(简称“三线合一”);
等腰三角形是轴对称图形,有　 　条对称轴;
面积:图中S△ABC=
相等
∠C
平分线
中线
高
一
相等
判定 有两边　 　的三角形是等腰三角形(定义);
等角对　
等边
基础对练
3.串题练透考点 如图所示,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,延长AB到点E,连接DE,AC=4.
(1)∠CAD的度数为　 　;
(2)若BD=BE.
①AE的长为　 　;
②∠ADE的度数为　 　;
(3)若F是AC的中点,连接DF,则△AFD是　 　三角形,△CFD是　 　三角形;
30°
6
120°
等腰
等边
(4)△ABC的面积是　 　.
知识梳理
知识点二　等边三角形
性质 具有等腰三角形的所有性质
三边　
三个角　 　,且每个角都等于　 　
是轴对称图形,有　 　条对称轴
相等
相等
60°
三
判定 三边都相等的三角形是等边三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是　 　的等腰三角形是等边三角形
面积
60°
基础对练
4.串题练透考点 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=
2 cm.
(1)∠B=　 　,AB=　 　cm,AC=　 　cm;
(2)D是AB的中点,则CD=　 　cm;
(3)CE⊥AB,则CE=　 　cm,BE=　 　cm.
60°
4
2
1
A
知识梳理
知识点三　直角三角形
直角三角形的性质 直角三角形的判定
直角三角形的两个锐角　 　; 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ; 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的　 　; 勾股定理:在直角三角形中,两条直角边a,b的　 　等于斜边c的　 　,即　 　 有一个角为90°的三角形是直角三角形(定义);
两个锐角　 　的三角形是直角三角形;
勾股定理的逆定理:如果三角形的两边的　 　等于第三边的　 　,那么这个三角形是直角三角形
互余
一半
一半
平方和
平方
a2+b2=c2
互余
平方和
平方
核心考点1　等腰三角形(等边三角形)的性质和判定(3年3考)
典例精析
例1 [人教八上复习题改编] 如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA的延长线于点F.
(1)证明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,则EC的长为　　　　　.
(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵FE⊥BC,
∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°=∠BED.
∴∠F=∠BDE.
∵∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA.
∴AF=AD.∴△ADF是等腰三角形.
(2)解:4
【解题依据】(1)问中用到的等腰三角形的判定依据是　 ;
(2)中用到的等边三角形的判定依据是　　　.
【解题依据】
(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形 (2)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
真题对练
D
7.(2024·贵州)如图所示,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧,交BC于点D,连接AD.若AB=5,则AD的长为 　.
5
8.如图所示,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,求点O到CD的距离OE为　 　.
核心考点2　与直角三角形有关的证明与计算(3年2考)
典例精析
例2 如图所示,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,点F是DE的中点,
AB与AG关于AE对称,AE与AF关于AG对称.
(1)求证:△AEF是等边三角形;
(1)证明:∵AE是BC边上的高,∴AE⊥BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.
∴AE⊥AD,即∠DAE=90°.
∵点F是DE的中点,即AF是Rt△ADE的中线.
∴AF=EF=DF.
∵AE与AF关于AG对称,
∴AE=AF,则AE=AF=EF.
∴△AEF是等边三角形.
(2)若AB=2,求△AFD的面积.
真题对练
9.(2023·贵州)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是
( )
A.4 m B.6 m
C.10 m D.12 m
B
11.(2025·毕节模拟改编)如图所示,△ABC是等边三角形,D是BC延长线上一点,DE⊥AB于点E,EF⊥BC于点F.已知CD=3AE,CF=6,求AC的长.
解:AC与DE相交于G,如图所示,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC,
∠A=∠B=∠ACB=60°,
∵DE⊥AE,∴∠AGE=30°.
∴∠CGD=30°,
∵∠ACB=∠CGD+∠D,∴∠D=30°.
∴CG=CD.
设AE=x,则CD=3x,CG=3x,
在Rt△AEG中,AG=2AE=2x,
∴AB=BC=AC=5x.∴BE=4x,BF=5x-6.
在Rt△BEF中,BE=2BF,
即4x=2(5x-6),解得x=2.
∴AC=5x=10.
12.推理能力 (2025·福建)如图所示,△ABC是等边三角形,D是AB的中
点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G.
(1)求∠DCE的大小;
(2)求证:△CEG是等边三角形.
1.等腰三角形的两边长分别是x2-10x+21=0方程的两个根,则这个三角形的周长为( )
A.17或13 B.13或21 C.17 D.13
2.等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
C
基础过关
B
3.如图所示,直线l1∥l2,AB=AC,∠BAC=40°,则∠1+∠2的度数是( )
A.60° B.70°
C.80° D.90°
B
4.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
B
6.如图所示,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC与BC相交于点D,点E是AB的中点,点F是DC的中点,连接EF交AD于点P.若△ABC的面积是24,PD=1.5,则PE的长是( )
A.2.5 B.2
C.3.5 D.3
A
7.如图所示,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若∠AED=
∠BEC,DE=2,则BE的长为　 　.
8.(2025·遵义汇川区模拟)如图所示,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　.
4
24
9.(2025·广安)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=
4,D是BC边上的一个动点,连接AD,则AD的最小值为　 　.
10.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为直线l上一动点,连接PO,PA,则PO+PA的最小值为　 　.
5
11.追本溯源:
题(1)来自课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图(1)所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由;
解:(1)△BDE是等腰三角形.理由如下:
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵DE∥BC,∴∠BDE=∠CBD.
∴∠BDE=∠ABD.
∴EB=ED.
∴△BDE是等腰三角形.
方法应用:
(2)如图(2)所示,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
解:(2)①B　
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
解:②∵在 ABCD中,AB=3,BC=5,
∴AB=CD=3,BC=AD=5.
∵BE平分∠ABC,AD∥BC,
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB.∴AB=AE.
∵AF⊥BE,∴∠BAG=∠EAG.
∵BA∥AD,∴∠F=∠BAG=∠EAG.
∴DA=DF.∴CF=DF-CD=5-3=2.
素养培优
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第四单元　三角形
第15讲　线段、角、相交线与平行线(3年2考)
1.会比较线段的长短,理解线段的和、差以及线段中点的意义.
2.理解角的概念,能比较角的大小,认识度、分、秒等角的度量单位,会进行角的和或差的计算.
3.理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握它们的性质.
4.掌握基本事实:①两点确定一条直线;②两点之间,线段最短;③在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
5.理解垂线、垂线段的概念,能过一点画已知直线的垂线,理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离.
课标要求
6.理解角平分线的概念,探索并证明角平分线的性质定理与判定定理.
7.识别同位角、内错角、同旁内角.
8.理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理.
9.理解平行线的概念,探索并证明平行线的判定定理,掌握平行线的性质定理.
10.能用三角板和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.
11.通过具体实例,了解定义、命题的意义,了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.在墙壁上固定一根横放的木条,则至少需要用　 　枚钉子,其依据为
　 　.
2.[人教七上习题改编]如图所示,把弯曲的道路改直可以缩短路程,其道理用几何知识解释应为　 　.
2
两点确定一条直线
两点之间,线段最短
3.[人教七上教材习题改编]如图所示,点C,D在线段AB上.
(1)①AB=　 　+CB=　 　+BD=　 　+CD+　 　;
②BD=BC-　 　=　 　-AD.
(2)已知C是线段AD的中点.
①若AB=10,BD=2,则CD=　 ;
②若BD=1,BC=3,则AB=　 　.
AC
AD
AC
BD
CD
AB
4
5
知识梳理
知识点一　直线、射线、线段
1.两个基本事实
直线的基本事实:经过两点有　 　并且只有　 　直线,即两点确定一条直线.
线段的基本事实:两点之间,　 　最短.
2.两点间的距离:连接两点间的线段的长度,叫作两点间的距离.
一条直线
一条
线段
3.线段的和与差:如图所示,点B是线段AC上一点,则有AC=AB+　 　,AB=
AC-　 　.
4.线段的中点:如图所示,点M是线段AB的中点,则AM　 　BM=　 　AB.
BC
BC
=
基础对练
4.串题练透考点 如图所示,点O在直线BD上,OC⊥OA,OE⊥BD,∠1=28°.
(1)∠1=　 　′=　 　″;
(2)∠1的余角是　 　,∠2的余角是　 　;∠BOC的补角是
　 　;
(3)∠1　 　∠2,理由是　 　.
1 680
100 800
∠BOC
∠BOC
∠COD,∠AOE
=
同角的余角相等
5.串题练透考点 如图所示,∠AOB=70°,点P是射线OC上一点.
(1)若OC平分∠AOB,则∠AOC=　 　;
(2)PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,若OC平分∠AOB,PD=2,则PE=　 　;
(3)PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,若PD=PE,则OC　 　∠AOB(填“平分”或“不平分”).
35°
2
平分
知识梳理
知识点二　角及角的平分线
1.角度的换算:1周角=　 　,1平角=　 　,1°=　 　,1′=　 　.
2.余角:
(1)定义:如果两个角的和等于　 　,那么这两个角互余;
(2)性质:同角(或等角)的余角　 　.
3.补角:
(1)定义:如果两个角的和等于　 　,那么这两个角互补;
(2)性质:同角(或等角)的补角　 　.
360°
180°
60′
60″
90°
相等
180°
相等
4.角的平分线:
角的平分线 定义 从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线
性质 角的平分线上的点到角两边的距离　
判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在
　 　上
相等
角的平分线
基础对练
6.串题练透考点 如图所示,直线a,b分别与直线c相交,∠1=70°.
(1)∠1的对顶角是　 　,邻补角是　 　;
(2)∠6=　 　°,∠2=　 　°;
(3)∠1与∠3是　 　角,∠2与∠3是　 　角,∠2与∠4是　 　角.
∠6
∠2与∠5
70
110
同位
同旁内
内错
7.如图所示,下列说法错误的是( )
A.∠3与∠B是同旁内角
B.∠3与∠1是同旁内角
C.∠2与∠3是内错角
D.∠1与∠2是同位角
8.[人教七下“探究”改编]点P是直线l外一点,点A,B,D在直线l上,PC⊥直线l于点C,PA=5,PC=3,PB=4.
(1)PC　 　PD,理由是　 　;
(2)点P到直线l的距离是　 　.
D
<
垂线段最短
3
9.串题练透考点 如图所示,点P是线段AB外一点,点D在AB上.
(1)若PD⊥AB,且AD=BD,则PA　 　PB;
(2)若PA=PB,则点P在线段AB的　 　上.
=
垂直平分线
知识梳理
知识点三　相交线
1.三线八角
对顶角 举例:如图所示,∠1与∠3,∠2与　 　. 性质:对顶角相等
邻补角 举例:如图所示,∠1与∠2、∠4,∠3与∠2、∠4(互为邻补角的两个角的和为　 　) ∠4
180°
同位角 举例:如图所示,∠1与　 　,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7
内错角 举例:如图所示,∠2与　 　,∠3与∠5 同旁 内角 举例:如图所示,∠2与∠5,∠3与 ∠5
∠8
∠8
2.垂线的性质:
(1)同一平面内,经过一点,有且仅有　 　直线与已知直线垂直;
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,　 　最短.
3.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的　 　.
4.线段的垂直平分线:
(1)性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的　 　相等;
(2)判定:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的　 　 .
上.
一条
垂线段
长度
距离
垂直平
分线
基础对练
10.点P是任意一点,在同一平面内,过点P画一条直线与BC平行,则这样的直线( )
A.有且只有一条 B.有两条
C.不存在 D.有一条或不存在
11.如图所示,直线a∥b,直线b∥c,则a　 　c.
D
∥
12.串题练透考点 如图所示,a∥b.
(1)若∠1=70°,则∠2=　 　°;
(2)若∠5=70°,则∠4=　 　°;
(3)若∠3=110°,当∠6=　 　°时,c∥d;
(4)若∠4=110°,当∠7=　 　°时,c∥d.
70
110
70
110
13.如图所示,AB∥CD,AC∥BD,∠B=60°,AC=4,则AC　 　BD,AB　 　CD,
AB与CD之间的距离是　 　.
=
=
知识梳理
知识点四　平行线
1.平行公理及其推论:
(1)公理:过直线外一点有且只有　 　直线与这条直线平行;
(2)推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相
　 　.
一条
平行
2.平行线的性质与判定:
(1)同位角　 两直线平行;
相等
(2)内错角　 两直线平行;
(3)同旁内角　 两直线平行.
3.两平行线间的距离:
(1)定义:过平行线上的一点作另一条平行线的垂线,　 　的长度叫作两条平行线间的距离;
(2)性质:两条平行线间的距离处处　 　.
相等
互补
垂线段
相等
基础对练
14.串题练透考点 下列命题:①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③同位角相等;④两直线平行,同旁内角互补.
(1)其中真命题是　 　(填序号);
(2)命题①的题设是　 　,结论是　 　;
(3)命题①和②互为　 　;
(4)写出命题③的逆命题,如果　 　,那么　 　,此逆命题是　 　命题.
①④
两个角是对顶角
这两个角相等
逆命题
两个角相等
这两个角是同位角
假
知识梳理
知识点五　命题
1.命题:判断为正确或错误的陈述语句叫作命题,命题分为题设和结论两
部分.
2.真命题:判断为正确的命题.
3.假命题:判断为不正确的命题.
4.互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.
核心考点1　线与角
15.如图所示,工人砌墙时,先在两个墙脚的位置分别插一根木桩,再拉一条直的参照线,就能使砌的砖在同一条直线上.这样做运用的数学知识是
( )
A.两点之间,线段最短 B.两点确定一条直线
C.垂线段最短 D.三角形两边之和大于第三边
B
16.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,垂足为O.若∠BOE=40°,则∠AOC的度数为( )
A.40° B.50°
C.60° D.140°
B
17.如图所示,将一副三角尺重叠放在一起,使直角顶点重合于点O.若
∠AOC=130°,则∠BOD的度数为( )
A.30° B.40°
C.50° D.60°
C
18.(2025·贵阳清镇模拟)如图所示,点P在直线l外,点A,B,C,D在直线l上,且PA=3.6,PB=3.2,PC=3,PD=3.8,则点P到直线l的距离是( )
A.3 B.3.2
C.3.6 D.3.8
A
核心考点2　平行线的性质与判定(3年2考)
19.(2025·六盘水钟山区模拟)如图所示,把一个含30°角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上,若∠1=34°,则∠2的度数为( )
A.34° B.26°
C.24° D.16°
B
20.如图所示的“箭头”图形中,AB∥CD,∠B=∠D=80°,∠E=∠F=47°,则图中∠G的度数是( )
A.80° B.76°
C.66° D.56°
C
21.将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形.若∠CAB=30°,则∠ACB的度数为( )
A.45° B.55°
C.65° D.75°
D
22.(2025·贵阳云岩区校级模拟)如图所示,已知直线a∥b∥c,直线d与它们分别垂直且相交于A,B,C三点,若AC=8,BC=5,则平行线a,b之间的距离是　 　.
3
D
24.跨物理学科 (2025·扬州)如图所示,平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后,折射光线BE,DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°,
∠CDF=150°,则∠EGF的度数是( )
A.60° B.70°
C.80° D.90°
B
25.居民出行 图(1)是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图(2)是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BAC=40°,∠MAC=80°,若AM∥
BE,则∠BCD等于( )
图(1) 图(2)
A.45° B.50°
C.60° D.70°
C
1.如图所示,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角为( )
A.20° B.40°
C.60° D.80°
C
基础过关
2.如图所示,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC,若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为( )
A.29° B.32°
C.45° D.58°
B
3.如图(1)所示,三根木条a,b,c相交成∠1=80°,∠2=110°,固定木条b,c,将木条a绕点A顺时针转动至如图(2)所示,使木条a与木条b平行,则可将木条a旋转( )
A.30° B.40°
C.60° D.80°
A
4.(2025·长沙)如图所示,AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F,直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°,∠2=50°,则∠GEF的度数为( )
A.50° B.60°
C.65° D.70°
B
5.(2025·贵州模拟)如图所示,一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起,则∠ACE的度数为( )
A.120° B.90°
C.60° D.30°
C
6.跨物理学科 (2025·深圳)如图所示为小颖在试鞋镜前的光路图,入射光线OA经平面镜后反射入眼,若CB∥OA,∠CBO=122°,∠BON=90°,则入射角∠AON的度数为( )
A.22° B.32°
C.35° D.122°
B
7.(2025·福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质,用一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中点A,E,C,F在同一条直线上,∠BAC=∠EDF
=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.当AD∥BC时,∠ADE的大小为( )
A.5° B.15°
C.25° D.35°
B
8.如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置.若∠EFB=65°,则∠AED′等于( )
A.70° B.65°
C.50° D.25°
C
9.传统文化 一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为　 　.
78°
10.[人教八上例题改编]如图所示,C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西35°方向,则∠ACB的大小是　 　.
85°
11.如图所示,已知AB∥CD,连接BC.点E,F是直线AB上不重合的两点,G是CD上一点,连接ED交BC于点N,连接FG交BC于点M.若∠ENC+∠CMG=180°.
(1)求证:∠2=∠3;
(1)证明:∵∠CMG=∠FMN,∠ENC+∠CMG=180°,
∴∠ENC+∠FMN=180°.∴ED∥FG.
∴∠2=∠D.
又∵AB∥CD,
∴∠3=∠D.
∴∠2=∠3.
(2)若∠A=∠1+60°,∠ACB=50°,求∠B的度数.
(2)解:∵AB∥CD,
∴∠1=∠B.
在△ABC中,∠A+∠B+∠ACB=180°.
又∵∠A=∠1+60°且∠ACB=50°,
∴∠1+60°+∠1+50°=180°.
∴∠1=35°.
∴∠B=∠1=35°.
12.跨物理学科 一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力G的方向竖直向下,支持力F1的方向与斜面垂直,摩擦力F2的方向与斜面平
行.若斜面的坡角α=25°,则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为
( )
A.155° B.125°
C.115° D.65°
C
素养培优
13.(2025·凉山)如图所示,DF∥AB,∠BAC=120°,∠ACE=100°,则∠CED等于( )
A.30° B.40°
C.60° D.80°
B
14.跨地理学科 (2025·北京)如图所示,☉O是地球的示意图,其中AB表示赤道,CD,EF分别表示北回归线和南回归线,∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时,太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH
(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的大小为　 　度.
43
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第20讲　锐角三角函数及其应用(3年4考)
1.利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sin A,cos A,tan A),知道30°,45°,60°角的三角函数值.
2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角.
3.能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.串题练透考点 如图所示,在△ABC中,∠C=90°.
知识梳理
知识点一　锐角三角函数的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. 正弦
余弦
正切
基础对练
B
60°
知识梳理
知识点二　特殊锐角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60° 图示
sin α 　　
cos α 　　 　　 tan α 1 　　 基础对练
C
知识梳理
知识点三　直角三角形的边角关系
1.三边关系:
a2+b2=c2(勾股定理).
2.三角关系:
∠A+∠B=∠C=　 　.
3.边角关系:sin A=cos B=　 　;
cos A=sin B=　 　;
tan A=　 　;tan B=　 　.
90°
基础对练
13.8 m
9.如图所示,一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10 km到B处,再从B处向正西方向行驶30 km到C处,此时这艘船与A处的距离是　 　km.
知识梳理
知识点四　解直角三角形的应用
仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫作　 　,视线在水平线下方的角叫作　 　
坡度、 坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(坡比),用字母i表示;坡面与水平线的夹 角α叫作坡角,i=tan α=　　.(如图所示)
仰角
俯角
方位角 如图所示,A点位于O点的北偏东　 　方向, B点位于O点的　 　60°方向,C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)
30°
南偏东
核心考点1　解直角三角形(3年1考)
A
11.(2025·贵阳云岩区校级模拟)sin 80°的值可能是( )
A.0.38 B.0.55 C.0.98 D.1.12
12.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接PO并延长与☉O交于点C,D,若CD=12,PA=8,则sin ∠ADB的值为( )
C
A
B
14.(2025·扬州)如图(1)所示,棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上,其中水面高度BM=7 cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上,此时水面MN恰好与点A齐平,其主视图如图(2)所示,则tan α=　　.
核心考点2　解直角三角形的应用(3年3考)
例1 (2023·贵州)贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图(1)所示的景区内修建观光索道.设计示意图如图(2)所示,以山脚A为起点,沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线夹角为45°,A,B两处的水平距离AE为576 m,DF⊥AF,垂足为F(图中所有点都在同一平面内,点A,E,F在同一水平线上).
典例精析
(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);
解:(2)如图所示,延长BC交DF于点G,
∵BC∥AE,∴∠CBE=90°.
∵DF⊥AF,∴∠AFD=90°.
∴四边形BEFG为矩形.
∴EF=BG,∠CGD=∠BGF=90°.
∵CD=AB=594 m,∠DCG=45°,
例2 (2025·贵州)某小区在设计时,计划在如图(1)所示的住宅楼正前方建一栋文体活动中心.设计示意图如图(2)所示,已知BD=28 m,CD=21 m,该地冬至正午太阳高度角α为35°.如果你是建筑设计师,请结合示意图和已知条件完成下列任务.
任务一:计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离AB的长;
解:任务一:如图所示,过点A作AE⊥CD,交CD于点E.
则CE=BD·tan 35°≈28×0.70=19.6(m).
∴AB=CD-CE=21-19.6=1.4(m).
任务二:为符合建筑规范对日照的要求,让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光,需将活动中心沿BD方向移动一定的距离(活动中心高度不变),求该活动中心移动了多少米
(参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70.结果保留小数点后一位)
真题对练
15.(2025·从江县二模)如图(1)所示,假设某居民楼地处北半球某地,窗户朝南,窗户的高度为h.此地一年中正午时刻,太阳光线与地平面的最小夹角为α,最大夹角为β.请你为该窗户设计一个遮阳篷,要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.
如图(2)所示,小明家住贵阳,测得他家窗户高2.4 m,即AB=2.4 m.小明根据所学知识自己设计了一个遮阳篷,在冬至时最大限度地使阳光照入室内,测量得太阳光线与地平面的最小夹角为α=40°;在夏至最大限度遮挡阳光,测量得太阳光线与地平面的最大夹角为β=67°,请你求出BC,CD的长(精确到0.01 m,参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,
tan 67°≈2.36,sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84).
B
A.(11,-4) B.(10,-3)
C.(12,-3) D.(9,-4)
17.应用意识 (2025·内蒙古)如图所示,因地形原因,湖泊两端A,B的距离不易测量,某科技小组需要用无人机进行测量,他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处,从C点测得A点的俯角为60°,测得B点的俯角为30°(A,B,C三点在同一竖直平面内),则湖泊两端A,B的距离为　 　m
(结果保留根号).
基础过关
A
B
A
B
B
6.(2025·山西)如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(6,0),将线段OA绕点O逆时针旋转45°,则点A对应点的坐标为　 　.
7.(2025·遂宁)在综合实践活动中,为了测得摩天轮的高度,如图所示,在A处用高为1.6 m的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α=37°,再向摩天轮方向前进30 m至B处,又测得摩天轮顶端C的仰角β=50°.求摩天轮CF的高度(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈
0.80,tan 37°≈0.75,sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈
1.19).
素养培优
8.(2025·上海)如图所示,某公司安装了一个人脸打卡器,AB是高2.7 m的门框,某人CD高1.8 m,只有当∠CAB=53°时,他才能开门,那么BD长为
　 　(参考数据:sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°≈1.33,保留1位小数).
1.2 m
(2)如图(2)所示,在AD边上截取DG=CF,连接GE,BD,相交于点H,求证:
BD⊥GE.
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第19讲　相似三角形(含位似)(3年3考)
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段,通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
2.掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
3.通过具体实例认识图形的相似,了解相似多边形和相似比.
4.了解相似三角形的判定定理及其证明.
5.了解相似三角形的性质定理.
6.了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.已知a,d,c,b是成比例线段,a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则d的长度是( )
A.3 cm B.1 cm
C.6 cm D.5 cm
B
2.串题练透考点 如图所示,l1∥l2∥l3,直线m,n分别交l1,l2,l3于点A,B,
C,D,E,F,直线m与n交于点O.已知AO=2,BO=1,BC=1.5.
(1)若DE=2.5,则EF=　 　;
(2)若DE=2.5,则OD=　 　;
(3)若OE=1,则OF=　 　.
1.25
2.5
知识梳理
知识点一　比例与成比例线段
1.比例的基本性质
2.平行线分线段成比例
(1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;
(2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得
的对应线段　 　.
成比例
基础对练
1∶3
1∶9
∽
4.[人教九下复习题改编]如图所示,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上.若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=EH,则EH的长为　 　.
1.5
知识梳理
知识点二　相似三角形的判定与性质
1.相似三角形的判定
判定1 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形　
判定2 三边对应成比例的两个三角形　
判定3 两边对应成比例且　 　相等的两个三角形相似
判定4 两角分别　 　的两个三角形相似
相似
相似
夹角
相等
2.相似三角形的判定思路
有平行截线——用平行线的性质或找等角
3.相似三角形的性质
性质1 相似三角形的对应角　 　,对应边成　 　
性质2 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于　
性质3 相似三角形周长的比等于　 　,面积的比等于相似比的
　 　
相等
比例
相似比
相似比
平方
基础对练
5.[人教九下例题改编]如图所示,四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.
(1)若∠B=65°,∠C=82°,∠A′=110°,则∠D=　 　;
(2)若AB∶A′B′=2∶3,A′D′=2,则AD的长是　　.
103°
知识梳理
知识点三　相似多边形
概念 两个边数相同的多边形,如果它们的角分别　 　,边　 　,那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作相似比
性质 相似多边形的对应角　 　,对应边　 　;相似多边形的周长比等于　 　,面积比等于　 　
相等
成比例
相等
成比例
相似比
相似比的平方
基础对练
6.[人教九下练习题改编]如图所示,△ABO三个顶点的坐标分别为A(4,
-5),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形放大为原来的2倍,得到△A′B′O′,则点A的对应点A′的坐标是( )
A.(8,-10)
B.(-8,10)
C.(8,-10)或(-8,10)
D.(8,-10)或(4,5)
C
知识梳理
知识点四　位似图形
1.定义:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过　 　,那么这样的两个图形叫作位似图形,这个点叫作位似中心.
2.性质
(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比;
(2)一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(　 　)或(　 　).
同一个点
kx,ky
-kx,-ky
基础对练
7.数学文化 (2025·江口县模拟)《墨经》中有:“景到,在午有端,与景长,说在端.”大约在两千四百年前,墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验.如图所示的实验中,若物距为10 cm,像距为18 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6 cm,则蜡烛火焰的高度是( )
A
知识梳理
知识点五　相似三角形的应用
1.运用相似三角形解决实际问题的步骤
(1)将实际问题转化为相似三角形问题;
(2)找出一对相似三角形并证明它们相似;
(3)利用相似三角形的对应边成比例,表示相应的量,再列比例式求解.
2.相似三角形的应用的主要类型
(1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的宽度;
(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度.
核心考点1　黄金分割
D
核心考点2　相似三角形的性质与判定(3年3考)
9.(2025·贵阳云岩区校级模拟)如图所示,在三角形纸片ABC中,AB=6,
AC=4,BC=8,沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是( )
A
10.如图所示,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶2,则△ADC与△ACB的周长比是( )
B
11.(2025·贵阳清镇市模拟)如图所示,矩形ABCD中,点E,F分别是BC,AB边上的点,连接EF,FD,DE,若EF⊥DE,则图中①,②,③,④四个三角形一定相似的是( )
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.①和④
C
A
13.如图所示,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF=BE.
(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵BE=CF,∴BE+EC=EC+CF,即BC=EF.
∴AD=EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
(2)连接ED,若∠AED=90°,AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积.
核心考点3　位似
D
15.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC与△A′B′C′是位似图形,位似中心为点O.若点A(-6,2)的对应点为A′(-12,4),则点B(-4,8)的对应点B′的坐标为( )
A.(-8,16) B.(16,-8)
C.(-16,8) D.(18,-16)
A
核心考点4　相似三角形的实际应用
16.(2025·贵州模拟)如图所示,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为( )
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
B
1.下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为( )
A.甲和乙 B.乙和丁
C.甲和丙 D.甲和丁
D
基础过关
甲　　 乙
丙　　 丁
2.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是( )
D
3.(2025·贵阳白云区模拟)如图所示,在5×4的正方形网格中,点A,C是在网格处,线段AC与网格线交于点B,则AB∶BC等于( )
A
D
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为D,AE平分∠BAC,分别交BD,BC于点F,E.若AB∶BC=3∶4,则BF∶FD为( )
A.5∶3 B.5∶4
C.4∶3 D.2∶1
A
6.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC与△A′B′C′是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A′(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B′的坐标为( )
A.(-4,8) B.(8,-4)
C.(-8,4) D.(4,-8)
A
7.(2025·贵阳观山湖区校级一模)玻璃瓶中装入不同量的水,敲击时能发出不同的音阶.实验发现,当水面高度与瓶高之比为黄金比(约等于0.618)时,可以敲击出音阶“sol”.如图所示,若瓶高AB=10 cm,且敲击时发出音阶“sol”,则液面高度AC约为　 　cm.
6.18
8
9.(2025·贵阳白云区校级月考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M为AB的中点,点F是线段CM上一动点,过点F作DE⊥CM分别交边CA,CB于点D,E.
(1)求证:△CDE∽△CBA;
(2)若DE=CM,求证:BC=2DC.
素养培优
(1)解:∠PAD=∠PCD(答案不唯一).
(3)在(2)的条件下,求线段EG的长.
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