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2025-2026学年江苏省南京外国语学校高二上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
2 2
1.已知椭圆 + = 1的一个焦点为 (0,1)，则 =( )
4
A. √ 3 B. √ 5 C. 3 D. 5
2.已知直线 1: = 和 2: 2 + 1 = 0的交点为 ，则点 到直线 = + 1的距离的取值范围是( )
1 1
A. (0,1) B. (0,1] C. [0,1) D. [0, ) ∪ ( , 1)
2 2
3.已知 ( 2,3)、 (2,1)，若斜率存在的直线 经过点 (0, 1)，且与线段 有交点，则 的斜率的取值范围
为( )
A. [ 2,1] B. [ 1,2]
C. ( ∞, 2] ∪ [1,+∞) D. ( ∞, 1] ∪ [2,+∞)
4.设 ∈ ，过定点 的动直线 2 = 0和过定点 的动直线2 + 6 4 = 0交于点 ，点 不与
1 4
, 重合，则 2 + 2的最小值是( )
| | | |
2 9 1
A. 9 B. C. D.
5 25 5
1
5.我们把平面内到定点 的距离不大于定点 到 的距离的 ( ∈ +)倍的动点的集合称为 关于 的 阶亲密
点域，记为动点符合 ( , ).已知 ( 2,5)， (1,1)，动点 ( , )符合 5( , )，则| + 2|的最大值是
( )
A. 2 + √ 2 B. 2 √ 2 C. √ 2 + 1 D. √ 2 1
2 2
6.已知椭圆 : + = 1的右焦点为 ，过 的直线 ( > 0)与椭圆 交于 , ，若 = 4 ，则直线 100 36
的斜率为( )
√ 2 √ 3 √ 5 √ 7
A. B. C. D.
3 3 3 3
7.点 为圆 : ( 4)2 + 2 = 4上的一动点， 为圆 : ( 6)2 + ( 4)2 = 1上一动点， 为坐标原点，则
| | + | | + | |的最小值为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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2 2
8.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 为椭圆 上不与左右顶点重合的动
点，设 ， 分别为 1 2的内心和重心．当直线 的倾斜角不随着点 的运动而变化时，椭圆 的离心率
为( )
1 1 1 1 1 1
A. B. C. 或 D. 或
2 3 2 3 4 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 已知点 ( , )在圆 ：( 1)2 + ( 1)2 = 2上，则 + 的最大值是4
2
B. 已知直线 1 = 0和以 ( 3,1)， (3,2)为端点的线段相交，则实数 的取值范围为 ≤ ≤ 1
3
C. 已知点 ( , )是圆 2 + 2 = 2外一点，直线 的方程是 + = 2，则直线 与圆相离
D. 已知直线 1： + 2 = 0， 2： + + 2 = 0，则存在实数 ，使得 1和 2关于直线 + = 0对称
10.如图，有一组圆 ( ∈ )都内切于点 ( 2,0)，圆 : ( + 3)2 + ( 1)2 + 1 = 2，设直线 + + 2 = 0
与圆 在第二象限的交点为 ，若| +1| = √ 2，则下列结论正确的是( )
A. 圆 的圆心都在直线 + + 2 = 0上
B. 圆 的方程为( + 7)2 + ( 5)29 = 50
C. 若 ≥ 9，则圆 与 轴有交点
D. 设直线 = 2与圆 在第二象限的交点为 ，则| +1| = 2
2 2
11.如图，已知椭圆 + = 1的左、右顶点分别是 ，
4 2 1 2
，上顶点为 ，点 是椭圆上的一点(不同于 1，
2)，直线 1 与直线 = 2交于点 ，直线 交直线 2 于点 ( 是坐标原点)，记直线 1， 2的斜率
分别为 1， 2，则下列说法正确的是( )
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1
A. 1 2 = B. ⊥ 2 2
√ 2
C. | |的最小值为√ 2 1 D. tan∠ 1的最大值为 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知直线 = 2与曲线√ 1 ( 1)2 = | | 1有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 ．
13.已知圆 : ( + 3)2 + 2 = 21 ( > 7)和 2: ( 3)
2 + 2 = 1，动圆 与圆 1，圆 2均相切，| 1| +
| 2| = 3| 1 2|，则 的值为 ．
2 2 1
14.已知点 是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左顶点，过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于另一点 (点 2
2
在第一象限).以原点 为圆心，| |为半径的圆在点 处的切线与 轴交于点 .若| | ≥ | |，则 2的最大

值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 与圆 : ( + 1)2 + ( + 2)2 = 4关于原点对称．
(1)求圆 的标准方程；
(2)设点 ( , )为圆 上任意一点，求代数式 2 + 2 + 2 + 3的最值．
16.(本小题15分)
已知△ 的三个顶点分别是 (2,3)， (1,2)， (4, 4)．
(1)求边 上的高线 所在直线的方程;
(2)若直线 过点 ，且点 ， 到直线 的距离相等，求直线 的方程;
(3)求△ 的面积．
17.(本小题15分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率 = ，短轴长为2， ( 2 0, 0
)是椭圆外一点．

(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 (2,2)，过点 作直线 与椭圆 相切，求直线 的方程；
(3)若过点 作椭圆 的两条切线互相垂直，求点 的轨迹方程．
18.(本小题17分)
2 2
如图，已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为2(√ 3 + √ 2)和
1
2(√ 3 √ 2)，斜率为 的直线 与椭圆 相交于异于点 (3,1)的 ， 两点．
3
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(1)求椭圆 的方程；
(2)若| | = √ 10，求直线 的方程；
(3)当直线 ， 均不与 轴垂直时，设直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，求证： 1 2为定值．
19.(本小题17分)
2
已知椭圆 1: +
2 = 1的左右顶点为 1， 2，上下顶点为 1， 2，记四边形 1 1 2 4 2的内切圆为 2．
(1)求圆 2的标准方程；
√ 3
(2)已知椭圆 1的右焦点为 ，若 1上两点 ， 满足 + = ( ≠ )，且 ⊥ .求证：以 为直3
径的圆恒过异于点 的一个定点；
(3)已知 为椭圆 1上任意一点，过点 作圆 2的切线分别交椭圆 1于 , 两点，试求三角形 面积的最
小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
4 4
12.[ 2, ) ∪ ( , 2]
3 3
13.17或19
14.2
15.解：(1) : ( + 1)2 + ( + 2)2 = 4的圆心为 ( 1, 2)，半径为2，
因为圆 与圆 : ( + 1)2 + ( + 2)2 = 4关于原点对称，
所以圆 的圆心为 (1,2)，半径为2，
所以圆 的标准方程为( 1)2 + ( 2)2 = 4；
(2)方法一：由(1)知，圆 的圆心 (1,2)，半径 = 2， 2 + 2 + 2 + 3 = ( + 1)2 + 2 + 2，
因为√ ( + 1)2 + 2表示点 ( , )与 ( 1,0)之间的距离，即| |，
所以 2 + 2 + 2 + 3 = | |2 + 2．
又| | = √ ( 1 1)2 + (0 2)2 = 2√ 2 > ，
所以点 在圆 外，所以| |min = | | = 2√ 2 2, | |max = | | + = 2√ 2 + 2，
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则 2 + 2 + 2 + 3的最小值为(2√ 2 2)2 + 2 = 14 8√ 2，
最大值为(2√ 2 + 2)2 + 2 = 14 + 8√ 2．
方法二：由点 ( , )为圆 上任意一点，
2 2 = 1 + 2cos ,且圆 的标准方程为( 1) + ( 2) = 4，可设{
= 2 + 2sin ,
则 2 + 2 + 2 + 3 = (1 + 2cos )2 + (2 + 2sin )2 + 2(1 + 2cos ) + 3 = 14 + 8(sin + cos ) = 14 +
π
8√ 2sin ( + )．
4
π
因为 1 ≤ sin ( + ) ≤ 1，
4
所以 2 + 2 + 2 + 3的最小值为14 8√ 2，最大值为14 + 8√ 2．
4 2
16.解：(1)由 (1,2)、 (4, 4)，得 = = 2， 4 1
1
因 ⊥ ，故 × = 1，得 = 。 2
1
所以 的直线方程为 3 = ( 2)，
2
整理得 2 + 4 = 0；
(2)直线 过 且 、 到 距离相等，分两种情况：
4 3 7
①，若 // ， = = ， 4 2 2
7
则直线 的方程为 2 = ( 1)，整理得7 + 2 11 = 0；
2
2+4 3+( 4) 1
② 过 的中点，求 的中点 ： ( , )，即 (3, )，
2 2 2
1
2 5
则 的斜率： = 2 = 。
3 1 4
5
∴直线 的方程为 2 = ( 1)，整理得5 + 4 13 = 0，
4
综上，直线 的方程为7 + 2 11 = 0或5 + 4 13 = 0；
4 2
(3)直线 的方程为 2 = ( 1)，即2 + 4 = 0，
4 1
|4+3 4| 3√ 5
点 到直线 的距离为 = = ，又| | = √ (1 4)2 + (2 + 4)2 = 3√ 5，
√ 22+12
5
1 3√ 5 9
所以△ 的面积为 = × 3√ 5 × = ．
2 5 2
√ 3
17.解：(1)由题意得 = 1，因为 = = ， 2 = 2 + 2，所以 = 2，
2
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2
故椭圆 的标准方程为 + 2 = 1；
4
(2)当直线 的斜率不存在时，直线 ： = 2，易得 = 2与椭圆 相切；
当直线 的斜率存在时，设直线 ： 2 = ( 2)，即 = 2 + 2，
= 2 + 2
联立{ 2 ，可得(1 + 4
2) 2 + 16 (1 ) + 16(1 )2 4 = 0，
+ 2 = 1
4
由 = 0可得，162 2(1 )2 4(1 + 4 2)[16(1 )2 4] = 0，
2 2 3即4 + 1 4( 1) = 0，解得 = ．
8
此时直线 的方程为3 8 + 10 = 0．
综上所述，直线 的方程为 = 2或3 8 + 10 = 0．
(3)设切点分别为 ， ，
当直线 斜率不存在时，此时直线 的斜率为0；
当直线 斜率为0时，此时直线 的斜率不存在，易得 (±2,±1)；
当直线 斜率存在且不为0时，此时 0 ≠ ±2， 0 ≠ ±1，
设直线 方程为 0 = ( 0)，
0 = ( 0)
联立{ 2 ，可得(1 + 4
2) 2 + 8 ( ) + 4( )2 4 = 0，
+ 2
0 0 0 0
= 1
4
由于直线 与椭圆 相切，所以 = 0，
化简得( 0 0)
2 1 4 2 = 0，即( 2 20 4) 2
2
0 0 + 0 1 = 0，
1
由于直线 斜率为 ，

1
所以方程( 20 4)
2 2 20 0 + 0 1 = 0的两个根分别为 和 ，
1 2 1
所以 × ( ) = 1 = 02 ， 0 4
化简得 2 20 + 0 = 5，
此时点 的轨迹方程为 20 +
2
0 = 5( 0 ≠ ±2, 0 ≠ ±1)，
将 (±2,±1)代入 20 +
2
0 = 5中成立，
综上所述，点 的轨迹方程为 20 +
2
0 = 5．
2 2
18.(1)解：由椭圆 ： 2 + 2 = 1上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为2(√ 3 + √ 2)和
2(√ 3 √ 2)，
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+ = 2(√ 3 + √ 2)
结合椭圆的几何性质，得{ ,
= 2(√ 3 √ 2)
= 2 3
解得{ √ ，则 = √ 2 2 = 2，
= 2√ 2
2 2
故椭圆 的方程为 + = 1．
12 4
1
(2)解：设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 2, 3 2
)．
1
= +
3
由{ 2 2
2 2
消去 ，整理得4 6 + 9 36 = 0．
+ = 1
12 4
4√ 3 4√ 3
由 = ( 6 )2 144( 2 4) > 0，得 < < ，
3 3
3 9 2 36
则 1 + 2 = ， 1 2 = ． 2 4
1 √ 10
| | = √ 1 + √ ( 21 + 2) 4 29 1 2 = √ 16 3 = √ 10， 2
解得 = 2或 = 2．
1
当 = 2时，直线 的方程为 = + 2，此时直线 过点 (3,1)；
3
1
当 = 2时，直线 的方程为 = 2，满足题目条件．
3
1
所以直线 的方程为 = 2．
3
(3)证明：因为直线 ， 均不与 轴垂直，
1
所以直线 ： = + 不经过点(3, 1)和(3,1)，则 ≠ 0且 ≠ 2，
3
1 1
1 1 ( 1+ 1)( 2+ 1)
由(2)可知， 1 2 3 31 2 = = ， 1 3 2 3 ( 1 3)( 2 3)
1 1 2
1 2 ( 1)( 9 3 1+ 2
)+( 1)
= ，
1 2 3( 1+ 2)+9
1 9 2 36 1 3 2
( 1) +( 1) 3 2
= 9 4 3 2
6 1
2 = = 为定值． 9 36 3 2
3 +9 9 18 3
4 2
19.解：(1)因为椭圆 1的左右顶点为 1， 2，上下顶点为 1， 2，
所以四边形 1 1 2 2为菱形， 为其中心点，
又 2， 1坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线 2 1方程为 + 2 = 2，
2 2
则原点 到直线 2 1的距离为 = = ，
√ √ 5 1+22
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2 4
即圆 2的半径 = = ，故圆 的标准方程为
2 + 2 = ．
√ 5 2 5
(2)设 ( , )， ( , )， (√ 3, 0)，
则 = ( √ 3, )， = ( √ 3, )，
又 ⊥ ，所以 = ( √ 3)( √ 3) + = 0，
√ 3
结合 + = ( 3 ≠
)可得， + = 2，
设以 为直径的圆上的点 ( , )，
则 = ( , )， = ( , )，
= ( )( ) + ( )( ) = 0，
2 2 √ 3化简得 + 2 ( + ) = 0，
3
√ 3 2√ 3 2√ 3
令 = 0，则 2 2 = ( + ) ( √ 3) = 0，解得 = 或 = √ 3，
3 3 3
2√ 3
所以该圆恒过异于 的定点( , 0)．
3
1
(3)设直线 方程为 + = 1，由直线 与圆 2相切，可知原点 到直线 的距离 = =√ 2+ 2
2
，整理可得 2 + 2
5
= ，
√ 5 4
2
将直线 方程代入椭圆 1可得， +
2 = ( + )2，
4
2
整理即有(4 2 4)( ) + 8 + 4 2 1 = 0，设 ( , )， ( ,
1 1 2 2
)，
4 2 2
则 1 2
1 4 1
= = = 1，
1 2 4
2 4 54( 2) 4
4
即 = 1，故 ⊥ ，
同理， ⊥ ，故 、 、 三点共线，则 = 2 = | || |，
2 4
设 : = 代入椭圆方程可得 + 2 2 = 1，则 2 =
4 2
，
1+4
2
4(1+ )
故 2 = 2 + 2 = (1 + 2) 2 = 2 ，
1+4
1 2
4[1+( ) ] 2
4( +1)
同理， 2 = = ，
1 2 2
1+4( ) +4

2 2
1 1 1+4 +4 5
从而， 2 + = + = ， 2 2 24(1+ ) 4(1+ ) 4
5 1 1 2 8
所以， = 2 + 2 ≥ ，得| || | ≥ ， 4 | || | 5
8 2√ 10
因此， = | || | ≥ ，当且仅当| | = | | = 时等号成立， 5 5
第 9 页，共 10 页
8
故三角形 面积的最小值为 ．
5
第 10 页，共 10 页

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