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2.2平方根题型归纳
题组一 平方根概念理解
1．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
2．若实数3m﹣6有平方根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m＜2 C．m＞2 D．m≥2
3．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．﹣4的平方根是﹣2 C．40的平方根是20 D．负数没有平方根
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①（﹣3）2的平方根是+3；②﹣m2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；
④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
题组二 求一个数的（算术）平方根
6．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
7．（﹣0.36）2的平方根是（ ）
A．﹣0.6 B．±0.6 C．±0.36 D．0.36
8．下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．（π﹣3.14）0＝0
9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x＝16时，输出的y等于（ ）
A． B． C．4 D．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
题组三 求一个代数式的（算术）平方根
11．关于x的多项式7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项，则﹣（mn+n）平方根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
12．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）
A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．
13．已知正数a的两个平方根分别是2y+1和3y﹣11，则a的值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．36
14．已知一个正数的两个平方根分别是2x+3和x﹣6，则这个正数的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．25
15．当a2＝b2时，下列等式中成立的是（ ）
A．a＝b B． C．a3＝b3 D．
题组四 算术平方根的非负性
16．若，则xyz的值是（ ）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
17．已知x，y为实数，且+（y﹣2）2＝0，则x﹣y＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
18．若，则（b﹣a）2019＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．52019 D．﹣52019
19．若x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
20．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．4 D．5或
题组五 算术平方根的估算
21．在下列哪两个数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
22．已知m＝﹣，则实数m的范围是（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
23．估计的值在哪两个数之间（ ）
A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8
24．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
25．估计的值在（ ）
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
题组六 算术平方根整数部分与小数部分
26．若的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b＝（ ）
A． B． C． D．
27．如果4+与4﹣的小数部分分别是m，n，那么m+n﹣1的值为（ ）
A．7 B．1 C．0 D．﹣1
28．若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
29．若的整数部分是m，小数部分是n，则|n﹣m|为（ ）
A． B． C． D．8
30．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A． B． C． D．
题组七 运用平方根性质解方程
31．求下列各式中的x：
（1）x2﹣143＝1； （2）4（x+1）2＝81．
题组八 算术平方根规律探究
32．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
（1）写出第7个等式 ．（2）请根据上面式子的规律填空：＝ ．
（3）利用（2）中结论计算：．
33．观察下列各式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明；（2）请直接写出的值．
34．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
＝ ；＝ ；＝ ；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：＝ （n为正整数）；
（2）请证明（1）中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
＝ ．
35．阅读材料：
和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1； 和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1；
和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1； …
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明：
根据题意，得． 等式两边同时 ，得 ＝b．
整理得b﹣a＝2+1． 请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则a＝ ．
（3）若和 为相差4的两个整数，求a的值．
36．阅读下面材料：
将边长分别为a，a+，a+2，a+3，……的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4， ．
则S2﹣S1＝
＝；
＝； ……
根据以上材料解答下列问题：
（1）根据材料中的规律可得面积记为Sn的正方形边长是 ；
（2）猜想Sn+1﹣Sn的结果，并证明你的猜想；
（3）令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+ +tn，求T的值．
题组九 算术平方根规律探究
41．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
（1）写出第7个等式 ＝7 ．
（2）请根据上面式子的规律填空：＝ n+1 ．
（3）利用（2）中结论计算：．
42．观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明；
（2）请直接写出的值．
43．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
＝ ；
＝ ；
＝ ；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：＝ 或 （n为正整数）；
（2）请证明（1）中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
＝ 或 ．
44．阅读材料：
和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1；
和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1；
和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1；
…
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明：
根据题意，得．
等式两边同时 平方 ，得 a+2+1 ＝b．
整理得b﹣a＝2+1．
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程．
（2）若和 为两个相邻整数，则a＝ 25 ．
（3）若和 为相差4的两个整数，求a的值．
45．阅读下面材料：
将边长分别为a，a+，a+2，a+3，……的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4， ．
则S2﹣S1＝
＝；
＝；
……
根据以上材料解答下列问题：
（1）根据材料中的规律可得面积记为Sn的正方形边长是 a+（n﹣1） ；
（2）猜想Sn+1﹣Sn的结果，并证明你的猜想；
（3）令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+ +tn，求T的值．
题组十 平方根的实际应用
46．小红想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
（1）长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？
（2）你是否同意小明同学的说法？说明理由．
47．如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为49m2和81m2的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）．
（1）原长方形空地的长为 16 m，宽为 9 m；
（2）求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度；
（3）求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积．
2.2平方根题型归纳答案
题组一 平方根概念理解
1．一个数的平方根与它本身相等，这个数是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
【解答】解：平方根等于它本身的数是0，
故选：A．
2．若实数3m﹣6有平方根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m＜2 C．m＞2 D．m≥2
【解答】解：若实数3m﹣6有平方根，
则3m﹣6≥0，
解得：m≥2，
故选：D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．﹣4的平方根是﹣2
C．40的平方根是20 D．负数没有平方根
【解答】解：A、4的平方根是±2，故不合题意；
B、﹣4没有平方根，故不合题意；
C、＝，故不合题意；
D、负数没有平方根，符合题意；
故选：D．
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①（﹣3）2的平方根是+3；
②﹣m2没有平方根；
③非负数a的平方根是非负数；
④负数没有平方根；
⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（﹣3）2的平方根是±3，则①错误；
当m＝0时，﹣m2的平方根是0，则②错误；
正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中一个是负数，则③错误；
负数没有平方根，则④正确；
0的平方根等于本身，则⑤错误；
综上，正确的个数是1个，
故选：A．
5．的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【解答】解：＝4，4的平方根是±2．
故选：D．
题组二 求一个数的（算术）平方根
6．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：D．
7．（﹣0.36）2的平方根是（ ）
A．﹣0.6 B．±0.6 C．±0.36 D．0.36
【解答】解：（﹣0.36）2的平方根是±0.36，
故选：C．
8．下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．（π﹣3.14）0＝0
【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、（π﹣3.14）0＝1，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
9．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x＝16时，输出的y等于（ ）
A． B． C．4 D．
【解答】解：第1次计算得，，而4是有理数，
因此第2次计算得，，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，
故选：A．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、（）2＝3，故此选项正确；
B、±＝±3，故此选项错误；
C、＝4，故此选项错误；
D、＝3，故此选项错误；
故选：A．
题组三 求一个代数式的（算术）平方根
11．关于x的多项式7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项，则﹣（mn+n）平方根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【解答】解：7x3﹣11mx2﹣15x+9+22x2﹣5nx﹣7
＝7x3+（22﹣11m）x2﹣（15+5n）x+2，
∵7x3﹣11mx2﹣15x+9与多项式22x2﹣5nx﹣7相加后不含x的二次项和一次项，
∴22﹣11m＝0，15+5n＝0，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴﹣（mn+n）＝﹣（﹣3×2﹣3）＝9，
∵9的平方根是±3，
∴﹣（mn+n）平方根为±3．
故选：C．
12．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（ ）
A．±（m+1） B．（m2+1） C． D．
【解答】解：由题意得：这个自然数a为：m2，
比这个自然数大1的数为m2+1，即a+1＝m2+1
故a+1的平方根用m表示为：±，
故选：D．
13．已知正数a的两个平方根分别是2y+1和3y﹣11，则a的值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．36
【解答】∵正数a的两个平方根分别为2y+1和3y﹣11，
∴（2y+1）+（3y﹣11）＝0，
解得：y＝2，
∴2y+1＝5，
∴a＝52＝25．
故选：C．
14．已知一个正数的两个平方根分别是2x+3和x﹣6，则这个正数的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．±5 D．25
【解答】解：根据题意知2x+3+x﹣6＝0，
解得：x＝1，
所以2x+3＝5，
所以这个正数为52＝25，
故选：D．
15．当a2＝b2时，下列等式中成立的是（ ）
A．a＝b B． C．a3＝b3 D．
【解答】解：∵a2＝b2，
∴|a|＝|b|，
∴．
故选：B．
题组四 算术平方根的非负性
16．若，则xyz的值是（ ）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵，
∴x﹣2＝0，y+5＝0，z+1＝0，
∴x＝2，y＝﹣5，z＝﹣1，
∴xyz＝10，
故选：A．
17．已知x，y为实数，且+（y﹣2）2＝0，则x﹣y＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【解答】解：∵有意义，
∴x+1≥0，
∵（y﹣2）2≥0，且，
∴，
∴，
∴x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3，
故选：C．
18．若，则（b﹣a）2019＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．52019 D．﹣52019
【解答】解：根据题意可得：，
①×2﹣②得：b+3＝0，
解得：b＝﹣3，
把b＝﹣3代入②得：2a+3+1＝0，
解得：a＝﹣2，
则（b﹣a）2019＝（﹣3+2）2019＝（﹣1）2019＝﹣1．
故选：A．
19．若x，y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则原式＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
题组五 算术平方根的估算
20．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．4 D．5或
【解答】解：∵+|b﹣4|＝0，
∴a2﹣6a+9＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，
∴直角三角形的第三边长为5或，
故选：D．
21．在下列哪两个数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6
【解答】解：依题意，
∵，
∴，
故选：D．
22．已知m＝﹣，则实数m的范围是（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【解答】解：m＝﹣＝3﹣＝2＝，
∵＜，
∴3＜＜4，
即实数m的范围是3＜m＜4，
故选：B．
23．估计的值在哪两个数之间（ ）
A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8
【解答】解：∵，，
∴，
∴7﹣1＜2﹣1＜8﹣1，
∴．
故选：C．
24．估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【解答】解：∵3＝，
且4＜＜5，
∴4＜3＜5，
∴3＜3﹣1＜4，
故选：A．
25．估计的值在（ ）
A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间
【解答】解：∵，且，
∴，
∴．
故选：A．
题组六 算术平方根整数部分与小数部分
26．若的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为＜＜，即2＜＜3，
所以的整数部分是2，小数部分是（﹣2），
即a＝2，b＝﹣2，
所以2a+b＝4+﹣2＝2+，
故选：C．
27．如果4+与4﹣的小数部分分别是m，n，那么m+n﹣1的值为（ ）
A．7 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：由2＜＜3得
6＜4+＜7，
则4+的小数部分是m＝﹣2，
由﹣3＜﹣＜﹣2，得
1＜4﹣＜2，
4﹣的小数部分是n＝3﹣，
m+n﹣1＝﹣2+3﹣﹣1＝0；
故选：C．
28．若的整数部分为x，小数部分为y，则（x+）y的值是（ ）
A． B．3 C． D．﹣3
【解答】解：∵2＜＜3，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴（x+）y＝（2+）×（﹣2）＝7﹣4＝3，
故选：B．
29．若的整数部分是m，小数部分是n，则|n﹣m|为（ ）
A． B． C． D．8
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是8，小数部分是，
∴m＝8，n＝，
∴|n﹣m|＝，
故选：B．
30．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵9＜15＜16，
∴，
∴，
∴的整数部分是：10，
∴a＝10，
∵，
∴，
∴的小数部分是，
∴，
∴，
故选：B．
题组七 运用平方根性质解方程
31．求下列各式中的x：
（1）x2﹣143＝1；
（2）4（x+1）2＝81．
【解答】解：（1）移项并合并，得x2＝144，
∵（±12）2＝144，
∴x＝±12；
（2）两边都除以4，得（x+1）2＝，
∵（±）2＝，
∴x+1＝±，
解得x＝或x＝﹣．
32．求下列各式中x的值．
（1）9x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝36．
【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，
两边都除以9得，x2＝，
由平方根的定义得，x＝±；
（2）（x﹣1）2＝36，
由平方根的定义得，x﹣1＝±6，
即x＝7或x＝﹣5．
33．求x的值．
（1）5x2﹣1＝9；
（2）4（x﹣1）2＝9．
【解答】解：（1）移项得，5x2＝9+1，
合并同类项得，5x2＝10，
系数化1得，x2＝2，
两边开平方得，x＝±，
即x1＝，x2＝﹣．
（2）两边同时除以4，（x﹣1）2＝，
两边开平方得，x﹣1＝±，
即x﹣1＝或x﹣1＝﹣，
解得：x1＝，x2＝﹣．
34．求下列各式中的x．
①x2﹣18＝0
②（1﹣x）2＝25
③2（x+1）2﹣8＝0．
【解答】解：①移项得x2＝18，
系数化为1得：x2＝36，
开平方得：x＝±6；
②开平方得：（1﹣x）＝±5，
x1＝﹣4，x2＝6．
③移项得：2（x+1）2＝8，
系数化为1得：（x+1）2＝4，
开平方得：x+1＝±2，
x1＝1，x2＝﹣3．
35．解方程：
①（2x﹣1）2﹣169＝0；
②．
【解答】解：①（2x﹣1）2﹣169＝0；
移项得 ①（2x﹣1）2＝169；
开平方得2x﹣1＝±13，
移项得2x＝1±13，
解得x1＝7，x2＝﹣6．
②．
移项得（x﹣4）2＝4
两边同时乘2得（x﹣4）2＝8，
开平方得x﹣4＝±2
移项x＝4±2，
解得x1＝4+2，x2＝4﹣2．
题组八 运用平方根性质解一元二次方程
36．解方程：
（1）x2﹣2x﹣7＝0；
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣7＝0，
移项，得x2﹣2x＝7，
配方，得x2﹣2x+1＝7+1，
即（x﹣1）2＝8，
∴，
解得，．
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x，
移项，得3x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，
因式分解，得（x﹣1）（3x+1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+1＝0，
解得x1＝1，．
37．解方程：
（1）2（x﹣1）2＝4；
（2）2x（x+7）＝3（x+7）；
（3）2x2+3x﹣2＝0．
【解答】解：（1）∵2（x﹣1）2＝4，
∴（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）2x（x+7）＝3（x+7），
2x（x+7）﹣3（x+7）＝0，
（x+7）（2x﹣3）＝0，
∴x+7＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣7，x2＝；
（3）2x2+3x﹣2＝0，
（2x﹣1）（x+2）＝0，
∴2x﹣1＝0或x+2＝0，
解得x1＝，x2＝﹣2．
38．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）2x2﹣5x+3＝0．
【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
（2）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝1．
39．解方程：
（1）4（x﹣1）2﹣8＝0；
（2）x2﹣10x+16＝0；
（3）2x2+3x﹣1＝0．
【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣8＝0，
4（x﹣1）2＝8，
（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）x2﹣10x+16＝0，
（x﹣2）（x﹣8）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝2，x2＝8．
（3）2x2+3x﹣1＝0，
a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
40．解方程：
（1）2（x﹣3）2＝0；
（2）4x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）；
（4）（x+8）（x+1）＝﹣12．
【解答】解：（1）2（x﹣3）2＝0，
（x﹣3）2＝0，
∴x﹣3＝0，
∴x1＝x2＝3；
（2）4x2﹣6x﹣3＝0，
这里a＝4，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝36+48＝84＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），
（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，
∴2x﹣3＝0或2x﹣3﹣5＝0．
∴x1＝，x2＝4；
（4）（x+8）（x+1）＝﹣12，
x2+9x+20＝0，
（x+4）（x+5）＝0，
∴x+4＝0或x+5＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣5．
题组九 算术平方根规律探究
41．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
（1）写出第7个等式 ＝7 ．
（2）请根据上面式子的规律填空：＝ n+1 ．
（3）利用（2）中结论计算：．
【解答】解：（1）根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，
∴第7个等式为：＝7．
故答案为：＝7；
（2）根据材料中给出的规律可知：＝．
故答案为：n+1；
（3）根据（2）中的规律可知，＝＝．
42．观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明；
（2）请直接写出的值．
【解答】解：（1）第n个等式是：（n是正整数）．
证明如下：．
（2）．
43．[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：
＝ ；
＝ ；
＝ ；
……
[发现]根据你的阅读回答下列问题：
（1）请根据上面式子的规律填空：＝ 或 （n为正整数）；
（2）请证明（1）中你所发现的规律．
[应用]请直接写出下面式子的结果：
＝ 或 ．
【解答】解：[观察]，，，
故答案为：，，．
[发现]（1）按照观察部分各个等式中间的规律可得：＝；
按照观察部分各个等式最后运算结果的规律可得：＝．
故答案为：或．
（2）证明：左＝
＝
＝
＝
＝．
∵n为正整数，
∴，
∴左＝＝右．
[应用]
＝1+﹣+1+﹣+1+﹣+…+
＝n+1﹣
＝n+
＝．
故答案为：或．
44．阅读材料：
和为整数，4﹣1＝3＝2×1+1；
和为整数，9﹣4＝5＝2×2+1；
和为整数，16﹣9＝7＝2×3+1；
…
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中a＜b，则有b﹣a＝2+1．并给出了证明：
根据题意，得．
等式两边同时 平方 ，得 a+2+1 ＝b．
整理得b﹣a＝2+1．
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程．
（2）若和 为两个相邻整数，则a＝ 25 ．
（3）若和 为相差4的两个整数，求a的值．
【解答】解：（1）∵和为相邻的两个整数，
∴，
等式两边同时平方得：
a+2+1＝b．
移项得：b﹣a＝2+1．
故答案为：平方；a+2+1；
（2）∵和 为两个相邻整数，
∴由（1）的结论可知：a+11﹣a＝2+1，
∴＝5，
∴a＝25．
故答案为：25；
（3）∵和 为相差4的两个整数，
∴+4＝，
等式两边同时平方得：
a+8+16＝a+216，
∴＝25，
∴a＝625．
45．阅读下面材料：
将边长分别为a，a+，a+2，a+3，……的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4， ．
则S2﹣S1＝
＝；
＝；
……
根据以上材料解答下列问题：
（1）根据材料中的规律可得面积记为Sn的正方形边长是 a+（n﹣1） ；
（2）猜想Sn+1﹣Sn的结果，并证明你的猜想；
（3）令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+ +tn，求T的值．
【解答】（1）解：a+（n﹣1）；
（2）解：猜想：Sn+1﹣Sn＝（2n﹣1）b+2a，
证明：由（1）知：Sn+1＝a+n，Sn＝a+（n﹣1），
∴Sn+1﹣Sn＝（a+n）2﹣[a+（n﹣1）]2＝[a+n+a+（n﹣1）]{（a+n﹣[a+（n﹣1）]}
＝[2a+（2n﹣1）]
＝（2n﹣1）b+2a；
（3）解：∵t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+ +tn，
∴T＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3+﹣﹣﹣+Sn+1﹣Sn＝Sn+1﹣S1＝（a+n）2﹣a2＝2an+n2b．
题组十 平方根的实际应用
46．小红想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小明同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
（1）长方形纸片的长和宽分别是多少厘米？
（2）你是否同意小明同学的说法？说明理由．
【解答】解：（1）解：设长方形纸片的长为5x（x＞0）cm，则宽为3x cm，
依题意得，5x 3x＝600，
15x2＝600，
x2＝40，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴长方形纸片的长为10 cm，宽为6cm，
答：长方形纸片的长是10cm，宽是6cm；
（2）不同意小于同学的说法．
理由：∵面积为900平方厘米的正方形的边长为30厘米，10＞30，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，
∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
47．如图，是一块长方形空地，小刚的爸爸按照图中的方式在空地上用栅栏围出两块面积分别为49m2和81m2的正方形区域ABCD和CEFG（AB、AD、BC、CG、CE、EF、FG均为栅栏）．
（1）原长方形空地的长为 16 m，宽为 9 m；
（2）求围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度；
（3）求长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积．
【解答】解：（1）根据题意得：正方形ABCD的边长分别为，
正方形CEFG的边长分别为，
∴BG＝BC+CG＝7+9＝16m，FG＝9m，
故答案为：16，9；
（2）根据题意得：围成的两个正方形区域所需栅栏的总长度为：
（EF+FG+GC+CE）+（AB+BC+DA）＝4×9+7×3＝57（m）；
（3）根据题意得：AD＝7m，ED＝CE﹣CD＝9﹣7＝2m，
∴长方形空地剩余部分（即阴影部分）的面积为＝7×2＝14m2．
48．小明制作了一张边长为16cm的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个面积为426cm2的长方形信封如图所示，信封长和宽的比为3：2．
（1）求此长方形信封的长和宽；
（2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
【解答】解：（1）∵信封长和宽的比为3：2，
∴设长方形信封的长为 3x cm，宽为2x cm，
根据题意，得3x 2x＝426，∴x2＝71，∵x为正数，∴，
∴长方形信封的长为 ，宽为2cm；
（2）∵71＞64，
∴，
∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．

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