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2025-2026学年湖南省部分校高二上学期阶段测试（二）
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
2
1.已知正四面体 ，点 在 上，且 = ，点 为 的中点，则 用基底{ , , }表示为
3
( )
2
A.
1 1 2 1 1
+ B. +
3 2 2 3 2 2
2 1 1 2 1 1C. + D. + +
3 2 2 3 2 2
2.设 , ∈ ，向量 = (1, , )， = (2, 4,2)， // ，则2 + =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3.直线3 4 = 1与直线6 8 = 1间的距离是( )
1 1 1
A. B. C. D. 1
5 10 15
4.已知曲线 ： 2 + 2 = 16( > 0)，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ′， ′为垂足，则线段 ′的中点
的轨迹方程为( )
2 2 2 2
A. + = 1( > 0) B. + = 1( > 0)
16 4 16 8
2 2 2 2
C. + = 1( > 0) D. + = 1( > 0)
16 4 16 8
5.已知圆 2 + ( + 2)2 = 2( > 0)上到直线 = √ 3 + 2的距离为1的点有且仅有2个，则 的取值范围是
( )
A. (0,1) B. (1,3) C. (3,+∞) D. (0,+∞)
6.已知空间中三点 (0,1,0)， (2,2,0)， ( 1,3,1)，则( )
A. 与
2√ 5 √ 5
是共线向量 B. 的单位向量是( , , 0)
5 5
√ 55
C. 平面 的一个法向量是(1, 2,5) D. 与 夹角的余弦值是
11
2
7.已知椭圆 : + 2 = 1的左、右焦点分别为 1， 2，直线 = + 与 交于 ， 两点，若 3 1 面积
是 2 面积的2倍，则 = ( )．
2 √ 2 √ 2 2
A. B. C. D.
3 3 3 3
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2 2 2
8.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (2,0)，离心率为 .若 (0,1)，点 是 上的任意一点，则 3
| | + | |的最大值为( )
A. 3 + √ 5 B. 6 C. 4 + √ 5 D. 6 + √ 5
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知椭圆 : + = 1的两个焦点为 1, 2, 为 上不与 1, 2共线的点，则下列说法正确的有( ) 9
A. 实数 的取值范围是(0,+∞)
B. 若椭圆 的焦点在 轴上，则| 1| + | 2| = 6
C. 若 = 8，则 1 2周长为8
√ 2
D. 若 = 18，则椭圆 的离心率为
2
10.已知正方体 1 1 1 1的棱长为2，下列结论正确的是( )
A. 异面直线 与 1 1所成角为90° B. 平面 1 与平面 1 1 垂直
2√ 3 4
C. 点 到平面 1 的距离为 D. 三棱锥 1 的体积为 3 3
11.已知点 在圆( 5)2 + ( 5)2 = 16上，点 (4,0)、 (0,2)，则( )
A. 点 到直线 的距离小于10 B. 点 到直线 的距离大于2
C. 当∠ 最小时，| | = 3√ 2 D. 当∠ 最大时，| | = 3√ 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知直线 与圆 2 + 2 = 1和( 3)2 + ( 4)2 = 16都相切，则直线 的一般式方程为 . (写出一
个即可)

13.如图，在平行六面体 1 1 1 1中， 为 的中点， = 2 1， 1交平面 为 ，则 的 1
值为 ．
2 2 1
14.已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)， 的上顶点为 ，两个焦点为 1， 2，离心率为 ，过 2 1且垂直于
2的直线与 交于 ， 两点，| | = 6，则△ 的周长是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
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已知圆 的方程为 2 + 2 6 4 + 9 = 0
3π
(1)若直线 经过圆 的圆心，且倾斜角为 ，求直线 的方程；
4
(2)若直线 = + 1与圆 交于 ， 两点，求弦 的长．
16.(本小题15分)
在气象台 正西方向200 处有一台风中心，它正向东北(北偏东45°)方向移动，移动速度的大小为
25km/h，距台风中心150 以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地
大约多长时间后受到影响？(用根式表示)持续时间有多长？
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ∩ = ， ⊥平面 ， = 2√ 2， =
4，点 为线段 中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的大小．
18.(本小题17分)
2 2 √ 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，长轴长为4． 2
(1)求 的方程；
(2)过点(0, 2)的直线 交 于 , 两点， 为坐标原点.若 的面积为√ 2，求| |．
19.(本小题17分)
2 2 2√ 2
已知椭圆 :
2
+ 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ，| | = √ 10．
3
(1)求 的方程;
(2)已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足| | | | = 3．
( )设 ( , )，求点 的坐标(用 ， 表示);
( )设 为坐标原点， 是 上的动点，直线 的斜率是直线 的斜率的3倍，求| |的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. + 1 = 0(答案不唯一，或填7 24 25 = 0或填3 + 4 5 = 0)
2
13.
9
14.13
15.【详解】(1)由题意得圆 的标准方程为：( 3)2 + ( 2)2 = 4，
所以圆心坐标为(3,2)，
3π
由直线的点斜式方程可得直线方程为 2 = tan ( 3)，
4
即 + 5 = 0；
|3 2+1|
(2)圆心(3,2)到直线 = + 1的距离为 = = √ 2，
√ 2
2
所以弦 的长为2√ 22 (√ 2) = 2√ 2．
16.【详解】以气象台 为原点建立直角坐标系，
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则台风中心移动的轨迹在直线 : = + 200上，
距离气象台150 的轨迹为 2 + 2 = 1502，
则台风中心经过图中弦 时，气象台会受到影响，
200 2
又原点到直线 的距离 = = 100√ 2，所以弦 = 2√ 1502 (100√ 2) = 100，
√ 2

即 = = 100√ 2 50，
2
设经过时间 1后开始影响，持续时间为 2
则25 1 = 100√ 2 50 1 = 4√ 2 2，25 2 = 100 2 = 4，
所以气象台所在地大约4√ 2 2小时后受到影响，持续时间为4小时．
17.【详解】(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又底面 为正方形， ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
平面 ，所以 ⊥ ，
⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
1
在 中， = 2√ 2, = = 2√ 2，又点 为线段 中点，所以 ⊥ ，
2
因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ；
(2)如图所示，建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,0,2√ 2)， (2,2,0)， (4,4,0)， (0,4,0)，
则 (1,1,√ 2)， = (1,1, √ 2)， = (0,4, 2√ 2)， = (4,4, 2√ 2)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 4 2√ 2 = 0，即{ ，令 = √ 2，则 = 1，所以 = (0,1,√ 2)．
= 0 4 + 4 2√ 2 = 0
由(1)可知， = (1,1,√ 2)为平面 的法向量，
| | 3 √ 3
设平面 与平面 夹角的夹角为 ，则cos = = = ，
| | | | √ 3×2 2
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π π π
又 ∈ [0, ]，所以 ∈ ，即平面 与平面 夹角为 ．
2 6 6
√ 2
18.【详解】(1)因为长轴长为4，故 = 2，而离心率为 ，故 = √ 2，
2
2 2
故 = √ 2，故椭圆方程为： + = 1．
4 2
(2)
由题设直线 的斜率不为0，故设直线 : = ( + 2)， ( 1, 1), ( 2, 2)，
= ( + 2)
由{ 2 2 2 2
2 2
可得( + 2) + 4 + 4 4 = 0，
+ 2 = 4
故 = 16 4 4( 2 + 2)(4 2 4) = 4(8 4 2) > 0即 √ 2 < < √ 2，
4 2 4 2 4
且 1 + 2 = 2 , 1 +2 2
=
2
，
+2
1 | |√ 32 16 2
故 = × |2 | × | 1 2| = | |√ ( + )21 2 4 1 2 = 2 = √ 2， 2 +2
√ 6
解得 = ± ，
3
2
2 5 √ 32 16×3
故| | = √ 1 + 2| 1 2| = √ 1 + × √ ( 1 + 2)2 4 1 2 = √ × 2 = √ 5． 3 3 +2
3
| | = √ 2 + 2 = √ 10
19.解：(1)由题意得{ 2√ 2 = = ，解得 = 3， = 1，
3
2 = 2 + 2
2
故椭圆方程为 + 2 = 1；
9
(2)( )由题意 (0, 1)， ( , )，
则 = ( , + 1)
∵点 在射线 上，
∴存在唯一的实数 ，使得 = = ( , ( + 1))，
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2
∴ | | · | | = | | · | | = | | = 2 + ( + 1)2 = 3，
3
∴ = ，
2
2
+( +1)
3 3( +1)∴ = = ( 2 , 2)，
2+( +1) 2+( +1)
3 3( +1)
∴ ( 2 , 2 1) ( ≠ 0)；
2+( +1) 2+( +1)
3( +1)
1 2
2 2+( +1) 3( +1) 2 ( +1)
( ) = ， = 3 = ， 3
2
2
+( +1)
2
3 3( +1) 2 ( +1)
∴ = ，
3
即9 = 3( + 1) 2 ( + 1)2，
整理得 2 + 2 + 8 2 = 0，
即 2 + ( + 4)2 = 18，
所以点 在以 (0, 4)为圆心，3√ 2为半径的圆上，
故| |的最大值为 到圆心 距离的最大值加上半径，
2
设椭圆 上的点 ( 0,
0 2
0)，则 + 0 = 1， 9
故| |2 = 20 + (
2
0 + 4) = 9 9
2
0 +
2
0 + 8 0 + 16 = 8
2
0 + 8 0 + 25，
由椭圆方程得 0 ∈ [ 1,1]，
1
所以 0 = 时，| |最大，为3√ 3， 2
所以| |的最大值为3√ 3 + 3√ 2．
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