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实数 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在实数﹣5，0.2，，，﹣π，中，无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．下列各式中错误的是（　　）
A．± =±0.6 B． =0.6
C． =-1.2 D． =±1.2
4．下面计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若，是两个连续整数，且，则a+b的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列判断中，错误的有（　　）
①0的绝对值是0；② 是无理数；③4的平方根是2；④1的倒数是-1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列说法正确的是（　　）
A．有理数与数轴上的点一一对应 B．负数没有立方根
C．两个无理数的和一定是无理数 D．平方根是它本身的数只有0
8．比较三个数-3，-π， 的大小，下列结论正确的是（　　）
A．-π>-3> B． >-π>-3
C． >-3>-π D．-3>-π>
9．在实数0，3， ， ， ，12.3454545…中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB=OC，则下列结论中：
①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c=b；④ ．
其中正确的个数有 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在数轴上，点表示的数为，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数为　 　．
12．规定用符号[m]表示一个不大于实数m的最大整数，例如： 按此规定，的值为　 　。
13． =　 　．
14．若一个正数的两个平方根分别为2a-1和-a+2，则a=　 　。
15．比较大小：　 　6．（用“>”或“<”连接）
16．如图，点，在数轴上，点为原点，按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点表示的数是，则点表示的数是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算： ．
18． 如下表，某计算装置有一数据入口A和一运算结果的出口B，下表给出的是小红输入的数字及所得的运算结果：
A 0 1 4 9 16 25 36
B 0 1 2 3 4 5
若小红输入的数为64，输出的结果应为多少？若小红输入的数字为a，你能用a表示输出结果吗？
19．已知正数的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的平方根．
20．（1）用“>”“<”或“=”填空：
　 　
　 　
（2）由（1）可知：
①
②
（3）计算：
21．对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：．
（1）_______．
（2）求的平方根．
（3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算 是否也满足交换律？请说明理由．
22．已知|x|= ，y是3的平方根，且|y-x|=x-y，求x+y的值．
23．若一个正数的平方根是和，求这个数．
24．阅读下面求 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 ；
②令 则 ；
③ ，则 ；
……以此类推 次，得到
其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的 阶不足近似值.仿照上述方法，求6的近似值.
①取正数 .
②于是 a2= 　 　；则　 　
③ 的3阶过剩近似值 是　 　，3阶不足近似值是　 　
25．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32 768，它是一个整数的立方，求它的立方根.华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘.你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗 请按照下面的方法试一试.
（1）由 因为 ，所以可以确定 是　 　位数.
（2）由32768的个位上的数是8，可以确定、 的个位上的数是　 　，划去32768后面的三位数768得到32，因为 ，可以确定 的十位上的数是　 　.
（3）所以 　 　.
（4）仿照上述方法计算
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实数 单元综合测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在实数﹣5，0.2，，，﹣π，中，无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：由﹣5、0.2、是有理数，、﹣π、是无理数，所以无理数有3个.
故选：B.
【分析】根据无理数的定义即判断，其中无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环， 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，据此逐个分析判断，即可得到答案.
2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可知，当输入x的值为16时，
，
，
把4再次输入数值转换器，
，
，
把2再次输入数值转换器，
．
故答案为：C．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，则正数x就是a的算术平方根，据此求出16的算术平方根，然后判断其与2的大小，如果不小于2，将其作为新的输入数再求算术平方根，这样循环下去直至所求算术平方根小于2输出即可.
3．下列各式中错误的是（　　）
A．± =±0.6 B． =0.6
C． =-1.2 D． =±1.2
【答案】D
【解析】【解答】A． =±0.6，A中式子不符合题意；
B． =0.6，B中式子不符合题意；
C． =-1.2，C中式子不符合题意，
D． =1.2，D中式子符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质求解即可。
4．下面计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A. =6，故该选项计算不符合题意，
B.± =±6，故该选项计算不符合题意，
C.- =-6，故该选项计算符合题意，
D. =36，故该选项计算不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根和平方根的定义求出每个式子的值，再判断即可．
5．若，是两个连续整数，且，则a+b的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：，
，
，
，是两个连续整数，且，
，，
，
故答案为：A
【分析】利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将a、b的值代入a+b计算即可。
6．下列判断中，错误的有（　　）
①0的绝对值是0；② 是无理数；③4的平方根是2；④1的倒数是-1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】①|0|=0，故①符合题意；
② 是有理数，故②不符合题意；
③± =±2，故④不符合题意；
④1的倒数是1，故④不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据绝对值可判断①，根据无理数是无限不循环小数，可判断②，根据平方根的意义，可判断③，根据倒数的意义，可判断④．
7．下列说法正确的是（　　）
A．有理数与数轴上的点一一对应 B．负数没有立方根
C．两个无理数的和一定是无理数 D．平方根是它本身的数只有0
【答案】D
【解析】【解答】解：A、实数和数轴上的点一一对应，故选项错误；
B、负数有立方根没有平方根，故选项错误；
C、两个无理数的和一定不一定是无理数，例如，，故选项错误；
D、平方根是它本身的数只有0，故选项正确；
故选D．
【分析】
A、实数与数轴上的点一一对应；
B、任意实数都有立方根，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0；
C、两个无理数互为相反数时和为0；
D、正数有两个平方根，是一对相反数、0的平方根是0、负数没有平方根．
8．比较三个数-3，-π， 的大小，下列结论正确的是（　　）
A．-π>-3> B． >-π>-3
C． >-3>-π D．-3>-π>
【答案】D
【解析】【解答】π2≈9.87， 3<π< ，-3>-π>- ，
故答案为：D．
【分析】先估算无理数的大小，再比较即可。
9．在实数0，3， ， ， ，12.3454545…中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：实数0，3， ， ， ，12.3454545…中，无理数的有， ， ， ，
共3个.
故答案为：B.
【分析】根据无理数是无限不循环的小数，开方开不尽的数是无理数，就可得出已知数中的无理数的个数。
10．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB=OC，则下列结论中：
①abc＜0；②a（b+c）＞0；③a﹣c=b；④ ．
其中正确的个数有 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】∵c＜a＜0，b＞0，
∴abc＞0，
∴选项①不符合题意．
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴b+c＜0，
∴a（b+c）＞0，
∴选项②符合题意．
∵c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，
∴-a+b=-c，
∴a-c=b，
∴选项③符合题意．
∵ =-1+1-1=-1，
∴选项④不符合题意，
∴正确的个数有2个：②、③．
故答案为：B．
【分析】根据图示，可得c＜a＜0，b＞0，|a|+|b|=|c|，据此逐项判定即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在数轴上，点表示的数为，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：OA=3，AB=2，OC=OB
∴在Rt△ABO中，，
，
点C所表示的数为．
故答案为：．
【分析】
本题考查数轴与实数的对应关系，勾股定理，根据勾股定理求出OB的长度是解题关键．
根据数轴上的点与实数的对应关系可知：OA=3，AB=2，OC=OB；再根据勾股定理求得OB的长，即在Rt△ABO中，，结合OC=OB，等量代换可得：，即可得到点C所表示的数，由此可得出答案.
12．规定用符号[m]表示一个不大于实数m的最大整数，例如： 按此规定，的值为　 　。
【答案】-4
【解析】【解答】解：∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
∴-5＜-＜-4，
∴-4＜＜-3，
∴=-4，
故答案为：-4.
【分析】先估算出d的范围，再求出的范围，再根据b表示一个实数的整数部分，即可得出结果.
13． =　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：
【分析】先利用特殊角的三角函数值、二次根式和0指数幂的性质化简，再计算即可。
14．若一个正数的两个平方根分别为2a-1和-a+2，则a=　 　。
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为2a-1和-a+2，
∴2a-1-a+2=0
解之：a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此建立关于a的方程，解方程求出a的值。
15．比较大小：　 　6．（用“>”或“<”连接）
【答案】>
【解析】【解答】∵
∴
故答案为：>．
【分析】利用实数比较大小的方法求解即可。
16．如图，点，在数轴上，点为原点，按如图所示方法用圆规在数轴上截取，若点表示的数是，则点表示的数是　 　．
【答案】-
【解析】【解答】解：设点B所表示的数为a，
∵OA=OB，
∴点A所表示的数为-a，AB=2a，
∵BC=AB，
∴OC=BC+OB=3a，即点C所表示的数为3a，
又∵点C所表示的数是 ，
∴3a= ，
∴a=，
∴点A所表示的数为-.
故答案为：-.
【分析】设点B所表示的数为a，由OA=OB确定出点A所表示的数为-a，再确定AB的长2a，进而确定出OC的长为3a，可得点C所表示的数3a，结合题意列出方程3a= ，求解即可得出解决此题了.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算： ．
【答案】解： ，
= ，
=-1．
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
18． 如下表，某计算装置有一数据入口A和一运算结果的出口B，下表给出的是小红输入的数字及所得的运算结果：
A 0 1 4 9 16 25 36
B 0 1 2 3 4 5
若小红输入的数为64，输出的结果应为多少？若小红输入的数字为a，你能用a表示输出结果吗？
【答案】解：结合题干的运算结果得出：出口B的数加上1后再平方即为数据入口A的值，
∴当小红输入的数为64，此时出口B的数为
∴
解得（在运算结果表中出口B的数大于等于，故舍去）
∵小红输入的数字为a，此时出口B的数为y
∴
∴，舍去．
【解析】【分析】先根据题干的运算结果得出：出口B的数加上1后再平方即为数据入口A的值，进而结合题意即可得到当小红输入的数为64，此时出口B的数为，从而列出一元二次方程，再结合题意即可求出x，同理即可求出y.
19．已知正数的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的平方根．
【答案】解：∵正数a的两个平方根分别是和
∴
∴
∴
∵与互为相反数
∴，
∴，
∴
∴的平方根是
【解析】【分析】利用平方根的定义可得，求出x的值，再求出a的值，利用相反数的定义可得，求出b的值，最后将a、b的值代入计算即可.
20．（1）用“>”“<”或“=”填空：
　 　
　 　
（2）由（1）可知：
①
②
（3）计算：
【答案】（1）<；<
（2）①-1
②-
（3）解：原式
=45-1
=44
【解析】【解答】解：(1)∵1<2，2<3，
∴，，
故答案为：<；<.
(2)∵，，
∴①；②；
故答案为：；.
【分析】(1)比较两个数的算术平方根，只需比较被开方数的大小，被开方数较大的大，由此即可求解；
(2)根据负数的绝对值是它的相反数进行化简即可；
(3)首先化简绝对值，发现抵消的规律，由此即可得到结果.
21．对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：．
（1）_______．
（2）求的平方根．
（3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算 是否也满足交换律？请说明理由．
【答案】（1）17
（2）解：
的平方根为.
（3）解：满足交换律，
∵，，
∴，
∴实数a，b的这种新运算满足交换律．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）运用运算公式计算即可；
（2）先求得，再计算平方根，即可求解；
（3）利用公式分别计算和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等．
（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：
的平方根为
（3）解：满足交换律
∵，
，
∴，
∴实数a，b的这种新运算满足交换律．
22．已知|x|= ，y是3的平方根，且|y-x|=x-y，求x+y的值．
【答案】解：由题意，得x=± ，y=± ．
因为|y-x|=x-y，
所以x>y，
所以x= ，y= ，
或x= ，y=- ．
所以x+y= + 或 - ．
【解析】【分析】根据绝对值的性质求出x，根据平方根的定义求出y，由于|y-x|=x-y，得出x>y，据此确定x、y的值，最后代值计算即可.
23．若一个正数的平方根是和，求这个数．
【答案】解：由题意得，当2a﹣3+4﹣a＝0，
解得：a＝﹣1，
则2a﹣3＝﹣2﹣3＝﹣5，
则这个数为25．
【解析】【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数，列关于a的一元一次方程，即可求出a的值，将a代入，从而求出其中一个平方根，将其平方即是这个数.
24．阅读下面求 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 ；
②令 则 ；
③ ，则 ；
……以此类推 次，得到
其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的 阶不足近似值.仿照上述方法，求6的近似值.
①取正数 .
②于是 a2= 　 　；则　 　
③ 的3阶过剩近似值 是　 　，3阶不足近似值是　 　
【答案】；；；
【解析】【解答】解：∵
∴ ，即
，即 .
故答案为： ， ， ， .
【分析】由材料中的公式，将a1的值代入即可求出a2，a3即可解答.
25．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是32 768，它是一个整数的立方，求它的立方根.华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘.你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗 请按照下面的方法试一试.
（1）由 因为 ，所以可以确定 是　 　位数.
（2）由32768的个位上的数是8，可以确定、 的个位上的数是　 　，划去32768后面的三位数768得到32，因为 ，可以确定 的十位上的数是　 　.
（3）所以 　 　.
（4）仿照上述方法计算
【答案】（1）两
（2）2；3
（3）32
（4）解：∵，，且，
∴是一个2位数.
∵13824的个位上的数是4，
∴可以确定，的个位上的数是4.
∵13824前2位的数字是13，且，
∴可以确定十位上的数字是2.
综上所述，.
【解析】【解答】解：（1）（2）（3）∵，，且，
∴是一个2位数.
∵32768的个位上的数是4，
∴可以确定，的个位上的数是2.
∵ 划去32768后面的三位数768得到32 ，且，
∴可以确定十位上的数字是3.
综上所述，.
故答案为：2；3；32.
【分析】 通过第（1）步，求出立方根的数位，然后通过第（2）步分别求出各数位上的数字.
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